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2016届高考数学(文)一轮复习跟踪检测:4-3+平面向量的数量积


课时作业 25 平面向量的数量积
一、选择题 1.(2014·大纲全国卷)已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b=( A.-1 C.1 D.2 B.0 )

解析:由已知得|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°, ∴(2a-b)·b=2a·b-b
2

=2|a||b|cos〈a,b〉-|b|
2

2

=2×1×1×cos60°-1 =0,故选 B. 答案:B → → → → ) B.60° D.120° → → → → → → → 2.(2014·北京朝阳一模)已知AB和AC是平面内两个单位向量,它们的夹角为 60°,则 2AB-AC与CA的夹角是( A.30° C.90°

→ → → 1 解析: 由题意知|AB|=1, |AC|=1, AB·AC=|AB||AC|cos60°= , 因为(2AB-AC)·CA 2

? 1? 2 =2AB·CA+AC =2×?- ?+1=0, ? 2?
?2AB-AC?·CA 所以 cos〈2AB-AC,CA〉= =0, → → → |2AB-AC||CA| → 答案:C 3.(2014·江西七校一联)已知 a=(3,-2),b=(1,0),向量 λ a+b 与 a-2b 垂直, 则实数 λ 的值为( 1 A.- 6 1 C.- 7 B. D. 1 6 1 7 ) → → → → → → → →



→ →

故 2AB-AC与CA的夹角是 90°.

解析:向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,则(λ a+b)·(a-2b)=0,又因为 a=(3,-2),b 1 =(1,0),故(3λ +1,-2λ )·(1,-2)=0,即 3λ +1+4λ =0,解得 λ =- . 7

答案:C → → 则|AD|等于( A.6 C.4 ) B.5 D.3 → → → 4.(2014·东北三省二模)已知△ABC 中,|BC|=10,AB·AC=-16,D 为 BC 边的中点,

→ → 1 解析:∵D 为 BC 边的中点,∴AD= (AB+AC). 2 → → →
2

→ → → → →
2

又∵|BC|=10,且BC=AC-AB, → → →
2

∴|AC-AB|=10,即(AC-AB) =100, → →
2

即|AC| +|AB| -2AC·AB=100. → → → → →
2


2

∵AC·AB=-16,∴|AC| +|AB| =68, 故(AC+AB) =68-32=36. → → ∴|AB+AC|=6,即|AD|=3.故选 D. 答案:D 5.(2014·陕西宝鸡三模)已知平面向量 a,b 的夹角为 120°,且 a·b=-1,则|a- b|的最小值为( A. 6 C. 2 B. 3 D.1
2 2

)

|a| +|b| 解析:由题意可知:-1=a·b=|a|·|b|cos120°,所以 2=|a|·|b|≤ , 2 即|a| +|b| ≥4,|a-b| =a -2a·b+b =a +b +2≥4+2=6,所以|a-b|≥ 6.选 A. 答案:A 6.(2014·浙江卷)设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实数 t,|b+ta|的 最小值为 1.( )
2 2 2 2 2 2 2

A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定

解析:由于|b+ta| =b +2a·bt+a t ,令 f(t)=a t +2a·bt+b ,而 t 是任意实数, 所 以 可 得 f(t) 的 最 小 值 为
2 2

2

2

2 2

2 2

2

4a b -?2a·b? 4a b -4a b cos θ 4b sin θ = = =1,即 2 2 4a 4a 4

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2

|b| sin θ =1,则知若 θ 确定,则|b|唯一确定. 答案:B 二、填空题 7.(2014·重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b=__________. 解析:因为 a=(-2,-6),所以|a|= ?-2? +?-6? =2 10,又|b|= 10, 1 向量 a 与 b 的夹角为 60°,所以 a·b=|a|·|b|·cos60°=2 10× 10× =10. 2 答案:10 8.(2014·四川卷)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角 等于 c 与 b 的夹角,则 m=__________. c·a 解析:由已知可以得到 c=(m+4,2m+2),且 cos〈c,a〉=cos〈c,b〉 ,所以 |c|·|a| c·b = , |c|·|b| 即 m+4+2?2m+2? ?m+4? +?2m+2? × 1 +2 4?m+4?+2?2m+2? ?m+4? +?2m+2? × 4 +2 即 5m+8 8m+20 = ,解得 m=2. 5 2 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





答案:2 9.(2014·天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC, → → → → → → DC 上,BC=3BE,DC=λ DF.若AE·AF=1,则 λ 的值为__________.

? 1? 解析:由题意可得AB·AD=|AB|·|AD|cos120°=2×2×?- ?=-2,在菱形 ABCD 中, ? 2?
→ → → → → → → → 1 1 易知 AB = DC , AD = BC ,所以 AE = AB + BE = AB + AD , AF = AD + DF = AB + AD , AE · AF = 3 λ → → → → → → → →

?→ 1→? ? 1 → →? 4 4 ? 1 ? ?AB+ AD?·? AB+AD?=λ +3-2?1+3λ ?=1,解得 λ =2. ? ? 3 ? ?λ ? ?
答案:2

三、解答题 10.(2014·江苏南通高三期末测试)设向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), 其中 0<β <α <π . (1)若 a⊥b,求|a+ 3b|的值; (2)设向量 c=(0, 3),且 a+b=c,求 α ,β 的值. 解析:(1)因为 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ), 所以|a|=1,|b|=1. 因为 a⊥b,所以 a·b=0. 于是|a+ 3b| =a +3b +2 3a·b=4, 故|a+ 3b|=2. (2)因为 a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ )=(0, 3),
2 2 2

?cosα +cosβ =0, ① 所以? ?sinα +sinβ = 3. ②
由①式得 cosα =cos(π -β ),由 0<β <π , 得 0<π -β <π , 又 0<α <π ,故 α =π -β . 代入②式,得 sinα =sinβ = 3 . 2

2π π 而 0<β <α <π ,所以 α = ,β = . 3 3 11.(2014·佛山质检)设向量 a=(4cosα ,sinα ),b=(sinβ ,4cosβ ),c=(cosβ , -4sinβ ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tanα tanβ =16,求证:a∥b. 解析:(1)因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·(b-2c)=4cosα sinβ -8cosα cosβ +4sinα cosβ +8sinα sinβ =4sin(α +β ) -8cos(α +β )=0, 因此 tan(α +β )=2. (2)由 b+c=(sinβ +cosβ ,4cosβ -4sinβ ),得 |b+c|= ?sinβ +cosβ ? +?4cosβ -4sinβ ? = 17-15sin2β ≤4 2. π 又当 β =- 时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4
2 2

4cosα sinα (3)由 tanα tanβ =16 得 = ,所以 a∥b. sinβ 4cosβ 12.(2014·广东揭阳一中摸底)已知向量 a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c= (-1,0). π (1)若 x= ,求向量 a,c 的夹角; 6

?π 9π ? (2)当 x∈? , ?时,求函数 f(x)=2a·b+1 的最大值. 8 ? ?2
解析:(1)∵a=(cosx,sinx),c=(-1,0), ∴|a|= cos x+sin x=1, |c|= ?-1? +0 =1. π ? ? 3 1? π ? π 当 x= 时,a=?cos ,sin ?=? , ?, 6 6 ? ? 2 2? 6 ? a·c= 3 1 3 a·c 3 ×(-1)+ ×0=- ,cos〈a,c〉= =- . 2 2 2 |a|·|c| 2
2 2 2 2

5π ∵0≤〈a,c〉≤π ,∴〈a,c〉= . 6 (2)f(x)=2a·b+1=2(-cos x+sinxcosx)+1 =2sinxcosx-(2cos x-1)=sin2x-cos2x π? ? = 2sin?2x- ?. 4? ? π ?3π ?π 9π ? ? ∵x∈? , ?,∴2x- ∈? ,2π ?, 8 ? 4 ? 4 ?2 ? π? ? 2? ? 故 sin?2x- ?∈?-1, ?, 4? ? ? 2? π 3π π ∴当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=1. 4 4 2
2 2


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