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第2章《圆锥曲线与方程》章综合(北师大版选修1-1)zx



第二章 圆锥曲线与方程

1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考考查的重 椭圆

点内容,多以选择题、填空题的形式考查.
2.直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点,主要以 解答题的形式考查.

双曲线

双曲线的定义、标准方程、几何性质是考查的重点,
以选择题、填空题为主.

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1.多考查抛物线定义的应用,常在选择题、填空题中 抛物线 出现.

2.焦点弦问题是命题的热点.
第二章 圆锥曲线与方程

一、曲线和方程
求轨迹问题时,如果已知所求轨迹的类型, 则用待定系数法;如果所求轨迹的类型未知, 则采用轨迹方程求解的常规方法:直接法、定 义法、相关点法.一般步骤为:建系 → 设点 → 列式 → 化简 → 证明,要注意完备性和纯粹性的 检验.

第二章 圆锥曲线与方程

设圆(x-2)2+y2=4的圆心为C,过
原 点 作 圆 的 弦 OA , 求 OA 中 点 B 的 轨 迹 方

程.
解析: 方法一 ( 直接法 ) :设 B 点坐标为 (x , y) ,由 题意,得|OB|2+|BC|2=|OC|2,如图所示, x2+y2+(x-2)2+y2=4 即OA中点B的轨迹方程为

(x-1)2+y2=1(去掉原点)
第二章 圆锥曲线与方程

方法二(定义法):设 B 点坐标为(x,y).由题意知 CB⊥OA, OC 的中点记为 M(1,0), 1 |MB|=2|OC|=1 ∴B 的轨迹是以 M 为圆心以 1 为半径的圆(除去原点). ∴B 点的轨迹方程为(x-1) +y =1(去掉原点)
2 2

第二章 圆锥曲线与方程

△ABC的三边a、b、c成等差数列且满
足 a > b > c , A 、 C 两点的坐标分别是 ( - 1,0) 、

(1,0).求顶点B的轨迹.
解析: ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c, 即 2|AC|=|AB|+|BC|.而|AC|=2, ∵|BA|+|BC|=4. x2 y2 根据椭圆的定义,易得点 B 的轨迹方程为 4 + 3 =1. 又∵a>b>c,∴a>c,即|BC|>|AB|.

第二章 圆锥曲线与方程

即(x-1) +y >(x+1) +y ,∴x<0. x y 故点 B 的轨迹是椭圆的一半,方程为 + =1(x<0). 4 3 又当 x=-2 时,点 A、B、C 在同一条直线上,不能构成三 角形 ∴x≠-2. x y 故点 B 的轨迹方程为 4 + 3 =1(-2<x<0).
第二章 圆锥曲线与方程

2

2

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2

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2

2

2

二、圆锥曲线定义的应用
对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的 意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如: (1)在求轨迹 方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲 线的定义,写出所求的轨迹方程; (2)涉及椭圆、双曲线上的点

与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知
识来解决; (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意

义去解决.总之,圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用, 要注意灵活运用.
第二章 圆锥曲线与方程

x2 y2 双曲线 9 -16=1 的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 在 双曲线上,若 PF1⊥PF2,求点 P 的坐标.
解析: 由双曲线的方程知 a=3,b=4,c=5,不妨设点 P 在第一象限,坐标为(x,y),F1 为左焦点,
? ?|PF1|-|PF2|=6 则? 2 2 2 ? | PF | + | PF | = | F F | ? 1 2 1 2 =100

① ②

由①两边平方得(|PF1|-|PF2|)2=36, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=36. 将②代入,得|PF1|· |PF2|=32.
第二章 圆锥曲线与方程

在直角三角形 PF1F2 中, |PF1|· |PF2|=|F1F2|· y=32, 16 3 41 所以 y= 5 ,代入双曲线的方程,得 x= 5 ,
?3 ? 即点 P 在第一象限的坐标是? ?

41 16? ? ,再根据双曲线的对 , ? 5 5?

称性得点 P 的坐标还可以是
? 3 ? ?- ? ? ? 41 16? 16? 16? ? ?3 41 ? ? 3 41 ? , ? ,? ,- ?,?- ,- ?. 5 5? ? 5 5? ? 5 5?
第二章 圆锥曲线与方程

三、圆锥 曲线 的定义、标准方程及几何性质的应 用椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性 质是圆锥曲线的重点内容,是历年高考的重点.重在 考查基础知识、基本思想方法,例如数形结合思想和 方程思想等.而该部分在高考中多以选择题、填空题 为主,为中档题目.

第二章 圆锥曲线与方程

x y 求经过点 M(1,2),且与椭圆12+ 6 =1 有相同离心率 的椭圆的标准方程.
解析: k2(k2>0), 1 4 4 1 将 M 点坐标代入,得12+6=k1 或12+6=k2, 3 1 解得 k1=4,k2=2, x2 y2 y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 9 6 3 2
第二章 圆锥曲线与方程

2

2

x2 y2 y2 x2 设所求 椭圆 方程为 + = k1(k1>0) 或 + = 12 6 12 6

x y 已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2 a b =1 的一个焦点, 且这条准线与双曲线的两个焦点连线互相垂直. 又 3 抛物线与双曲线交于点(2, 6),求抛物线和双曲线的方程.
解析: 3 设抛物线的方程为 y =2px(p>0),根据点(2, 6)
2 2

2

2

3 在抛物线上可得( 6) =2p×2. 解之,得 p=2. 故所求抛物线方程为 y2=4x. 抛物线准线方程为 x=-1.
第二章 圆锥曲线与方程

又双曲线的左焦点在抛物线的准线上, ∴c=1,即 a2+b2=1. x2 y2 故双曲线方程为 2- =1. a 1-a2 3 又点(2, 6)在双曲线上, 9 6 ∴4a2- =1, 1-a2 1 解得 a =4.
2

3 同时 b = . 4
2

4 2 故所求双曲线方程为 4x -3y =1
2

第二章 圆锥曲线与方程

四、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方

程、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨

迹、最值、对称范围、线段的长度等多种问题,

是解析几何部分综合性较强问题,也是以往高
考的重点和热点问题.高考中,大多是以解答

题的形式出现且难度较大,往往成为体现试题
区分度的题目.
第二章 圆锥曲线与方程

已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.

(1) 当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

解析:
2

2 2 ? ?4x +y =1, (1)由? ? ?y=x+m, 2

得 5x +2mx+m -1=0. 因为直线与椭圆有公共点,所以 Δ=4m2-20(m2-1)≥0, 5 5 解得- 2 ≤m≤ 2 .
第二章 圆锥曲线与方程

(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0, 2m 1 2 由韦达定理,得 x1+x2=- ,x1x2= (m -1). 5 5 所以 d= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 2?x1-x2?2 = 2[?x1+x2?2-4x1x2] =
?4m2 4 ? 2 2? 25 -5?m -1?? ? ?

2 =5 10-8m2, 2 10 当 m=0 时,d 取得最大值为 5 , 此时直线方程为 y=x.
第二章 圆锥曲线与方程

方程思想
解析几何中大部分题目是以方程的形式给出直线和

圆锥曲线的,因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线
的位置关系,一般是将直线方程代入圆锥曲线方程,

消去一个未知数,转化为关于x(或y)的一元二次方程,

由根与系数的关系求出 x1 + x2 , x1·x2( 或 y1 + y2 , y1·y2) ,

进而解决与“距离”“中点”有关的问题.

第二章 圆锥曲线与方程



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