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1.1.2 四种命题



1.1.2

四种命题

引入

请将命题“正弦函数是周期函数”

改写成“ 若p, 则q ”的形式.

若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数.

条件

结论

命题:
(1)若 f ( x)

是正弦函数,则 f ( x)是周期函数.
(2)若f ( x )是周期函数,则f ( x )是正弦函数.

(3)若 f ( x)不是正弦函数,则 f ( x )不是周期函数.
(4)若f ( x )不是周期函数,则f ( x )不是正弦函数.

思考:上面四个命题中,命题(1)与 命题(2)(3)(4)的条件和结论之 间分别有什么关系?

探究

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)

的条件和结论之间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.

探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之 间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; p q (2)若f(x)是周期函数,则 f(x)是正弦函数;

q

p

互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件,这两个命题叫做互逆命题. 原 命 题:其中一个命题叫做原命题. 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题. 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题 是“两直线平行,同位角相等”.

探究点2 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p (3)若f(x)不是正弦函数,则 f(x)不是周期函数.
┐p ┐q

为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分 别记作 “┐p” “┐q”

互否命题 原命题 (原命题的)否命题 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命题 是“同位角不相等,两直线不平行”.

探究点3 观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
┐q ┐p

互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题 是“两直线不平行,同位角不相等”.

三个概念

1.互逆命题:一般地,对于两个命题,如果一个命题
的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题

叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.
2.互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和

结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,
我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命 题.

3.互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的 条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的 否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题. 如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做 原命题的逆否命题.

判一判:
判断下面两个命题的真假:

(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”. 假命题 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”. 真命题

比一比:否命题与命题的否定
?

否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新 命题. 命题的否定是,只否定结论不否定条件.

?

?

对于原命题:
否命题:



p , 则 q

若┐p , 则┐q .

命题的否定:

若 p ,则┐q .



写出下列命题的逆命题、否命题与逆否

命题.
(1)若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根; 逆命题:若方程x2+2x-k=0有实根,则k>0. 否命题:若k≤ 0,则方程x2+2x-k=0没有实根. 逆否命题:若方程x2+2x-k=0没有实根,则k≤0.

(2)四条边都相等的四边形是正方形.

原命题改写为:若四边形的四条边都相等,则它是正 方形.
逆命题:若四边形是正方形,则它的四条边都相等. 否命题:若四边形的四条边不都相等,则它不是正方 形.

逆否命题:若四边形不是正方形,则它的四条边不全 相等.

【提升总结】
如何写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题? 1.找出原命题的条件p和结论q; 2.将原命题改写成“若p,则q”的形式;
结论作为条件
条件作为结论

逆命题: 若q,则p

原命题: 若p , 则q

条件的否定作为条件 结论的否定作为结论

否命题: 若?p,则?q

结论的否定作为条件 条件的否定作为结论

逆否命题: 若?q,则?p

练一练:写出下列四组命题的逆命题、否命
题及逆否命题,并判断四种命题的真假.

(1)原 命 题 : 若 a ? b, 则 a ? c ? b ? c 逆 命 题 : 若 a ? c ? b ? c, 则 a ? b 否 命 题 : 若 a ? b, 则 a ? c ? b ? c
逆 否 命 题 : 若 a ? c ? b ? c, 则 a ? b
( 2 )原 命 题 : 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2

真 真 真 真



真 真 逆 否 命 题 : 若 x ? 2, 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 假

逆 命 题 : 若 x ? 2, 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 否 命 题 : 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2

( 3 )原 命 题 : 若 a ? 0, 则 ab ? 0 逆 命 题 : 若 ab ? 0, 则 a ? 0

真 假 假 真 假 假 假 假

否 命 题 : 若 a ? 0, 则 ab ? 0

逆 否 命 题 : 若 ab ? 0, 则 a ? 0
( 4 )原 命 题 : 若 a ? b, 则 ac ? bc

逆 命 题 : 若 ac ? bc, 则 a ? b 否 命 题 : 若 a ? b, 则 ac ? bc
逆 否 命 题 : 若 ac ? bc, 则 a ? b

准确地作出反设 (即否定 )是非常重要的,下面是一 些常见的结论的否定形式.
原结论 反设词 不是 不都是 不大于 大于或等于 存在某x, 不成立 原结论 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立


都是 大于 小于 对所有x, 成立

至少有一个
至多有一个 至少有n个 至多有n个 对任何x, 不成立

1.判断命题“若x- 2 不是有理数,则x不是无理数”
的真假.

逆否命题:若x是无理数,则x- 2 是有理数.
“假命题” 2.教材上练习

通过这节课的学习,你学到了哪些知识呢? 四种命题的概念及其形式:

原命题: 若p,则q.
逆命题:若q,则p.

否命题:若?p,则?q.
逆否命题:若?q,则?p.

看书和学习是思想的经常营养,是思想的
无穷发展。



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