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【教学随笔】类比余弦定理解题


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类比余弦定理解题
数学解题,关键在于转化.构造几何模型,化数为形,以形的直观性使问题解决,就是 一种重要的转化方法.下面例析将问题转化为三角形问题,再利用余弦定理来解决. 一、三角求值 例 1 求 sin 20 ? cos 80 ? 3 sin 20 cos80 的值.
2 2 ? ? ? ?

分析: 原式可化为 sin 20 ? sin 10 ? 3 sin 20 sin 10 .从形式上看,酷似余弦定理公
2 2

?

?

?

?

式,从角度分析第三角 150 是特殊角.因此,可以构造三角形利用正、余弦定理求解. 解:原式可化为 sin 20 ? sin 10 ? 3 sin 20 sin 10 .
2 2 ? ? ? ?

?

构造 ?ABC, 使A ? 20? , B ? 10? , 则C ? 150? .由正、余弦定理可得:

sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? 2 sin A sin B cosC .
把 A、B、C 的值分别代入上式,即得:

1 sin 2 20? ? sin 2 10? ? 3 sin 20? sin 10? = . 4 1 ? sin 2 20? ? cos2 80? ? 3 sin 20? cos80? = . 4
2 2

评注:更一般地,在△ABC 中,有 sin A = sin B + sin C - 2sin B sin C cos A . 二、解方程组

2

? x ? y ? 25 ? 2 2 2 例 2 已知 x,y、z 为正数,且满足方程组 ? y ? z ? yz ? 7 ,试求 z 的值. ? z 2 ? x 2 ? zx ? 242 ?
分析:由于方程组中每条方程的结构类似余弦定理,故可构造三角形来解决. 解:原方程组可化为 A y

? x ? y ? 25 ? 2 2 2 ? y ? z ? 2 yz cos 60? ? 7 ? z 2 ? x 2 ? 2 zx cos120? ? 24 ?

60 ?
2

D

z
C

120?

x
B

以上第二、三式结构类似余弦定理,且右 2 2 2 边常数有 7 +24 =25 的特征,于是可构造 Rt△ABC,使∠C=90° ,AC=7,BC=24,则 AB=25.在 Rt△ABC 斜边 AB 上取一点 D,使∠ADC=60° ,∠BDC=120° ,则 AD=y,CD =z,BD=x,(如图 1). ∵ S△ADC ? S△C D B ? S△ABC . ∴

1 1 1 yzsin60° + zxsin120° = ?7?24, 2 2 2

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即 z(x+y) =112 3 .得 z=

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112 3. 25

评注:由于所求的值几何意义恰是面积,于是利用面积和整体来解决. 三、证明不等式 例 3 试证: 对任何正实数 a, b, c, 都有 a2 ? b2 ? ab ? b2 ? c2 ? bc ? c2 ? a2 ? ac , 当

1 1 1 ? ? 时,等号成立. b a c
分析:由三个被开方式,如 a +b -ab 与余弦定理为类似,变形得 a2 ? b2 ? ab =
2 2

的三角形的另一边长,于是可构造 a2 ? b2 ? 2ab cos60? ,表示以 a,b 为边,夹角为 60° 三角形来解题. 解:由表达式的结构形式,可构造如图 2 所示的几何图形,使 AB=a,BD=b,BC=c, ∠ABD=∠CBD=60° ,由余弦定理得 AD= a2 ? b2 ? 2ab cos60? = a2 ? b2 ? ab . 同理,CD= b2 ? c2 ? bc ,CA= c2 ? a2 ? ac . 因为 AD+DC≥AC, 所以原不等式成立. 当 A,D,C 三点共线时,等号成立.此时, S△ABC ? S△ABD ? S△CBD ,即

1 1 1 acsin120° = absin60° + bcsin60° . 2 2 2 1 1 1 整理,得 ? ? ,以上步步可逆,命题得证. b a c
评注:对于形如“a +b +kab=c (a,b,c>0,|k|<2)”的结构,这时可类比余弦定理, 进行几何代换,从而把代数问题转化为三角形问题来解决.
2 2 2

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