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数列通项公式经典例题解析



求数列通项公式
一、公式法 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 a n ?1 ? a n ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

/>
a an ?1 an 3 a a 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是 n ?1 n ?1 n 2n 2 2 2 2 2 2 a 3 a 2 3 以 1 ? ? 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n ? 1 ? (n ? 1) , 得 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
n?1 解:an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 两边除以 2 ,得
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 转化为
n

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2
{an } 的通项公式。

练习题:

, 1.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

2. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? a n ? 2 ,求 a n 2 n ?n

, 例 2 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
解:由 an ?1 ? an ? 2n ? 1 得 an ?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2

1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an ?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 二、累乘法 类型 2

a n?1 ? f (n)a n

解法:把原递推公式转化为

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
n

例 3 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

n 解:因为 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2( n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n( n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ( n ?1) 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

? n!.
n

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an 转化为

an ?1 ? 2( n ? 1)5n , 进而求 an



an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2 a1

, 例 4 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通
项公式。 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) 所以 an ?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan 用②式-①式得 an ?1 ? an ? nan . ② ①

2

则 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an ?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 . an ?1 an ?2 a2 2

由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2
an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

进而求出

an an ?1 a ? ?? ? 3 ? a2 , 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 an ?1 an ? 2 a2

通项公式。 练习题: 1.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2.已知 a1 ? 3 , an?1 ?

2 n , a n ?1 ? an ,求 a n 3 n ?1

3n ? 1 an (n ? 1) ,求 a n 3n ? 2

三、待定系数法 类型 3

an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 利用换元法转化为等比数列求解。 例 5 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n

q ,再 1? p

解:设 an ?1 ? x ? 5

n ?1

? 2(an ? x ? 5n )

3

n n ?1 n 将 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 代入④式,得 2an ? 3 ? 5 ? x ? 5 ? 2an ? 2 x ? 5 ,等式两边消去

n

2 a n , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5 , 两 边 除 以 5n , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1, 入 ④ 式 得 , 代 x n

an ?1 ? 5n ?1 ? 2(an ? 5n )



由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则
1 n

an ?1 ? 5n ?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 an ? 5 n

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n ?1 ,故 an ? 2n ?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 转化为 an ?1 ? 5
n n n n ?1

? 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
练习题 1 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

练习题 2 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

过关练习: 1 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n 2 在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________

四、数学归纳法 例 6 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

4

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1) 2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2

(2 ? 1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (1)当 n ? 1 时, a1 ? (2 ? 1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2

[2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 ? [2(k ? 1) ? 1]2
由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。

5

其他类型
类型 4

an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。

(或

an?1 ? pan ? rq n ,其中 p,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q
n ?1

,得:

a n?1 p a n 1 ? ? ? 引入辅助数列 q n?1 q q n q

?bn ? (其中 bn ? a n n
q

) ,得: bn ?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q
5 1 1 n?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 a n 。 6 3 2

课后练习题 已知数列 ?a n ? 中, a1 ?

类型 5 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) ) 解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)



an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f ( S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 a n
进行求解。 课后练习题 已知数列 ?a n ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? (1)求 a n ?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n .

1 2
n?2

.

6

类型 6 a n ?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0) 、 解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x, y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
课后练习题 设数列 ?a n ? : a1 ? 4, a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 a n .

7



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