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平面向量练习题5



平面向量练习题(一)
一、选择题 1.(2014 年福州质检)已知向量 a ? (m2 ,4),b ? (1,1) ,则“ m ? ?2 ”是“ a // b ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图,在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边 的中点,且 AB ? a, AD ? b ,则 BE ? (<

br />1 1 A. b ? a B. b ? a 2 2 1 C. a ? b 2

)

)
1 D. a ? b 2

3.(2014 年北京东城模拟)若向量 a, b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为( A. ?
1 2

)

B.

1 2

C. ? 1

D. 1 )

4.已知 a, b 满足 | a |? 1, | b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为( A.

? ? ? B. C. 6 4 3

D.

? 2
)

5.(2014 年大同模拟)已知向量 a ? (1,2),b ? (?2, m) ,若 a // b ,则 | 2a ? 3b |? ( A. 70 B. 4 5 C. 3 5 D. 2 5

6.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边,设向量 p ? (b ? c, a ? c), q ? (c ? a, b) , 若 p // q ,则角 A 的大小是( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? ) D. 90 ?

7. 设 a0 为单位向量, ①若 a 为平面内的某个向量, 则 a ?| a | a0 ; ②若 a 与 a0 平行, 则 a ?| a | a0 ; ③若 a 与 a0 平行且 | a |? 1 ,则 a ? a0 .上述命题中,假命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) B.零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 )
1 BA 2

)

D. 3

8.下列说法中正确的是(

A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 C.长度相等的两个向量是相等向量 9. D 是 ?ABC 的边 BA 的中点,则向量 CD ? (
1 A. ? BC ? BA 2 1 B. ? BC ? BA 2

C. BC ?

D. BC ?

1 BA 2

10.已知 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d ,且四边形 ABCD 为平行四边形,则(
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)

A. a ? b ? c ? d ? 0 C. a ? b ? c ? d ? 0 11.给出下列命题:

B. a ? b ? c ? d ? 0 D. a ? b ? c ? d ? 0

①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③ ? a ? 0(? 为实数),则 ? 必为零.④ ? , ? 为实数,若 ? a ? ?b ,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4 )

12.设 a, b 是两个非零向量,则下列选项正确的是(

A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a, b 共线 D.若 a, b 平行,则 | a ? b |?| a | ? | b |

13. 已知 a ? (1,2),b ? (?3,2) ,要使向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直,则 k ? ( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 )

14. 在 ?ABC 中, AB ? c, AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC .则 AD ? ( A.
2 1 b? c 3 3

B.

5 2 b? c 3 3

C.

2 1 1 2 b ? c D. b ? c 3 3 3 3

15. 已知 O 是 ?ABC 所在平面上一点,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的() A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心

? ? ? 16. 设 a、b 、c 为非零向量, t 为实数,则下列命题中正确的是()
A. | a ? b |?| a | ? | b |

? ? ? ? ? ? B. (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
? ? ? ? ? ? D. a ? b ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? C. ta ? b ? tb ? a

1 17.设 OA ? (?5,?1), OB ? (3,?3) ,则 AB 等于() 2
A. (?1,?2) B. (?2,?4) C. (?4,1) D. (4,?1)

? ? ? ? 18. 已知平面向量 a ? ( x,?2), b ? (2,1) ,且 a ? b ,则 x 等于
A. 2 B. ? 2 C. 1 D. ? 1

? ? ? ? 19. 已知平面向量 a ? (2k ? 1, 3), b ? (2, k ) ,若 a // b ,则实数 k 等于
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A. 2

B. ?

3 3 C. 2 或 ? 2 2

D. ? 2 或

3 2

20. 已知向量 a ? (2,1), a ? b ? 10, | a ? b |? 5 2, 则 | b |? A.

(

)

5

B.

10

C. 5

D. 25 ) D. a ? 3b

21.若向量 a ? (1,1),b ? (?1,1), c ? (4,2) ,则 c ? ( A. 3a ? b B. 3a ? b

C. ? a ? 3b

22.(2014 年郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a ? (1,2),b ? (m,3m ? 2) ,且平面内 的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c ? ? a ? ?b(?, ? 为实数),则 m 的取值范围是( A. (??,2) B. (2,??) C. (??,??) D. (??,2) ? (2,??) 23.(2013 年高考湖南卷)已知 a, b 是单位向量, a ? b ? 0 .若向量 c 满足 | c ? a ? b |? 1 ,则 | c | 的 取值范围是( ) )

A. [ 2 ?1, 2 ?1] B. [ 2 ?1, 2 ? 2] C. [1, 2 ? 1] D. [1, 2 ? 2] 24.已知向量 a ? ( x ?1,1),b ? (1, y ? 2) ,且 a ? b ,则 x 2 ? y 2 的最小值为(
1 2 1 A. B. C. 3 3 2

)

D. 1

25.(2014 年北京东城区综合练习)已知向量 a ? (2,3),b ? (?1,2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线, 则
m ?( n

)
1 2

A. ? 2 B. 2 C. ?

D.

1 2

26.在 ?ABC 中, AB ? ( 3,?1), BC ? (1,? 3) ,则 cos B ? ( A. ?
3 3 3 B. C. 2 2 4

)

D. 0

二、填空题 1 . (2014 年衡阳六校联考 ) 已知向量 a ? (2,?1),b ? (?1, m), c ? (?1,2) , 若 (a ? b) // c , 则 m ? ________. 2.(2014 年南昌模拟)已知向量 e1 ? (cos

?
4

, sin

?
6

), e 2 ? (2 sin

?
4

,4 cos

?
3

) ,则 e1 ? e2 ? ________.

3. 在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC, M 为 BC 的中点,则 MN ? (用 a, b 表示).
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4.设 a, b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 2a ? b 共线,则 ? ? . 5. 给出下列命题: ?向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ?向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ?两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则点 A, B, C , D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为. 6 . (2014 年 淮 阴 模 拟 ) 已 知 ?ABC 和 点 M 满 足 MA ? MB ? MC ? 0 . 若 存 在 实 数 m 使 得

AB ? AC ? m AM 成立,则 m ? .
7. 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点 O, AB ? AD ? ? AO ,则

? ?.

8. 如图,在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别在边
CD 和 BC 上,且 DC ? 3DE, BC ? 3BF ,若

AC ? m AE ? n AF, (m, n ? R) ,则 m ? n ? .
9. 设向量 a ? (?1,2),b ? (2,?1) ,则 (a ? b)(a ? b) ? . 10. 设向量 a ? (1,2),b ? (2,3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4,?7) 共线,则 ? ? . 11. 已知向量 a ? (2,?3) 则与 a 垂直的单位向量的坐标是. 12. 已知向量 OA ? (2,2),OB ? (4,1) ,在 x 轴上有一点 P ,使 AP ? BP 有最小值则此时点 P 的坐 标为.
? 13. 与向量 a ? (6,8) 共线的单位向量是.

14.若平面向量 a, b 满足 | a ? b |? 1, a ? b 平行于 y 轴, a ? (2,?1) ,则 b ? . 15. (2013 高考江苏卷)设 D, E 分别是 ?ABC 的边 AB, BC 上的点, AD ?
1 2 AB , BE ? BC .若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC(?1, ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为 .
16.(2014 年昆明模拟)已知向量 a, b 的夹角为 120 ? ,且 | a |? 1, | b |? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a ? b
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方向上的投影是 . 17. (3013 年新课标全国Ⅱ卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 中点,则 AE ? BD ? . 18. (2013 年高考江西卷)设 e1 , e2 为单位向量,且 e1 , e2 的夹角为 量 a 在 b 方向上的投影为 . 19.已知 a, b 都是单位向量,且 | a ? b |? 1 ,则 a, b 的夹角 ? 的取值范围是 . 20. 已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | c | 的最大 值是 . 21.已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60 ? , c ? t a ? (1 ? t )b .若 b ? c ? 0 ,则 t ? . 22.在 ?ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP ? 2PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA ? (4,3), PQ ? (1,5) , 则 BC ? . 三、解答题 1. 已知 P 为 ?ABC 内一点, 且 3AP ? 4BP ? 5CP ? 0 .延长 AP 交 BC 于点 D ,若 AB ? a, AC ? b , 用 a, b 表示向量 AP, AD . 2.设点 O 在 ?ABC 内部,且有 4OA ? OB ? OC ? 0 ,求 ?ABC 的面积与 ?OBC 的面积之比. 3. 设两个非零向量 a, b 不共线. (1)若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证: A, B, D 三点共线; (2)试确定实数 k ,使得 k a ? b 和 a ? k b 共线. 4.(满分 10 分) 已知 a, b 如图,求作以下向量 (1) a ? b ; (2) a ? 2b . 5. 已知向量 a, b 满足 | a |? 6, | b |? 4, 且 a 与 b 的夹角为 60 ? ,求 | a ? 3b | .
? ? 6. 已知 a ? (4,2) ,求与 a 的夹角为 60 ? 的单位向量的坐标.

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向 3

? ? ? ? ? 7.已知 | a |? 5, | b |? 4 , a 与 b 的夹角是 60 ? ,求 (a ? 2b )(a ? 3b ) 的值.
8. (2013 年高考江苏卷)已知 a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ),0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;
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(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 9. 已 知 锐 角 三 角 形 ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 定 义 向 量
m ? (2 sin B, 3 ), n ? (2 cos 2 B ? 1, cos 2 B) ,且 m ? n . 2

(1) 求 f ( x) ? sin 2 x cos B ? cos2 x sin B 的单调递减区间; (2) 如果 b ? 4 ,求 ?ABC 面积的最大值. 10.已知 A(?2,4), B(3,?1), C (?3,?4) .设 AB ? a, BC ? b, CA ? c ,且 CM ? 3c, CN ? ?2b . (1)求 3a ? b ? 3c ;(2)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m, n ; (3)求 M , N 的坐标及向量 MN 的坐标.

? 11.(2013 年高考辽宁卷)设向量 a ? ( 3 sin x, sin x), b ? (cos x, sin x), x ? [0, ] . 2
(1)若 | a |?| b | ,求 x 的值;(2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值. 12.已知 a ? (1,0),b ? (2,1) .(1)求 | a ? 3b | ; (2)当 k 为何实数时, k a ? b 与 a ? 3b 平行,平行时它们是同向还是反向?
1 13 . (2013 年 高 考 陕 西 卷 ) 已 知 向 量 a ? (cos x,? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R , 设 函 数 2

f ( x) ? a ? b .

? (1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)求 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值. 2

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