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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第6章不等式及推理6-6[来源:学优高考网71168]


A 组 考点基础演练 一、选择题 1. (2015 年大连模拟)设 S 是至少含有两个元素的集合, 在 S 上定义了一个二元运算“*”(即 对任意的 a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应),若对 任意的 a,b∈S,有 a*(b*a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( A.(a*b)*a=a C.b*(b*b)=b B.[a*(b*a)]*(a*b)=a D.(a*b)*[b*(a*b)]=b )

解析:由已知条件可得对任意 a,b∈S,a*(b*a)=b,则 b*(b*b)=b,[a*(b*a)]*(a*b) =b*(a*b)=a,(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,即选项 B、C、D 中的等式均恒成立,仅选项 A 中的等式不恒成立.故选 A. 答案:A 2.(2014 年安阳模拟)若 a<b<0,则下列不等式中成立的是( 1 1 A. < a b 1 1 C.b+ >a+ a b 1 1 B.a+ >b+ b a b b+1 D. < a a+1 )

解析:(特值法)取 a=-2,b=-1,验证 C 正确. 答案:C 3.(2015 年张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a +b+c=0,求证 b2-ac< 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

解析:由题意知 b2-ac< 3a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?- 2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案:C f2?1?+f?2? f2?2?+f?4? f2?3?+f?6? 4.已知函数 f(x)满足:f(a+b)=f(a)· f(b),f(1)=2,则 + + f?1? f?3? f?5? f2?4?+f?8? + =( f?7? A.4 C.12 ) B.8 D.16

f?n+1? f2?1?+f?2? 解析:根据 f(a+b)=f(a)· f(b),得 f(2n)=f2(n).又 f(1)=2,则 =2.由 + f?n? f?1?

f2?2?+f?4? f2?3?+f?6? f2?4?+f?8? 2f?2? 2f?4? 2f?6? 2f?8? + + = + + + =16. f?3? f?5? f?7? f?1? f?3? f?5? f?7? 答案:D 2 1 m 5.已知 a>0,b>0,如果不等式 + ≥ 恒成立,那么 m 的最大值等于( a b 2a+b A.10 C.8 解析:∵a>0,b>0,∴2a+b>0. 2 1? ?b a? ?b a? ∴不等式可化为 m≤? ?a+b?(2a+b)=5+2?a+b?.∵5+2?a+b?≥5+4=9,即其最小值 为 9,∴m≤9,即 m 的最大值等于 9. 答案:B 二、填空题 6. (2015 年华师附中一模)如果 a a+b b>a b+b a, 则 a, b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b>a b+b a?( a- b)2· ( a+ b)>0?a≥0,b≥0 且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 7.已知点 An(n,an)为函数 y= x2+1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N*,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 解析: 由条件得 cn=an-bn= n2+1-n= 答案:cn+1<cn 8.(2014 年荆门一模)若记号“※”表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算,即 a a+b ※b= ,则两边均含有运算符号“※”和“+”,且对于任意 3 个实数 a,b,c 都能成 2 立一个等式可以是________. a+b b+a 解析:∵a※b= ,b※a= ,∴a※b+c=b※a+c. 2 2 答案:a※b+c=b※a+c 三、解答题 1 4 9.已知 a,b,m 为非零实数,且 a2+b2+2-m=0, 2+ 2+1-2m=0. a b 1 4 9 (1)求证: 2+ 2≥ 2 ; a b a +b2 7 (2)求证:m≥ . 2 1 4? 2 2 1 4 9 解析:(1)(分析法)要证 2+ 2≥ 2 成立,只需证? ?a2+b2?(a +b )≥9, a b a + b2 1 , ∴cn 随 n 的增大而减小. ∴cn+1<cn. n +1+n
2

)

B.9 D.7

b2 4a2 b2 4 a 2 即证 1+4+ 2+ 2 ≥9,即证 2+ 2 ≥4. a b a b b2 4a2 根据基本不等式,有 2+ 2 ≥2 a b 所以原不等式成立. 1 4 (2)(综合法)因为 a2+b2=m-2, 2+ 2=2m-1, a b 7 由(1),知(m-2)(2m-1)≥9,即 2m2-5m-7≥0,解得 m≤-1 或 m≥ . 2 1 4 7 因为 a2+b2=m-2>0, 2+ 2=2m-1>0,所以 m≥ . a b 2 10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数 列,a,b,c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形. 证明:由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C.① 因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π.② π 由①②得,B= .③ 3 由 a,b,c 成等比数列,有 b2=ac.④ 由余弦定理及③可得, b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac. 再由④得,a2+c2-ac=ac.即(a-c)2=0,因此 a=c.从而有 A=C.⑤ π 由②③⑤得,A=B=C= . 3 所以△ABC 为等边三角形. B 组 高考题型专练 1.(2014 年高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至 少有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析:反证法中否定结论需全否定,“至少有一个”的否定为“一个也没有”. 答案:A 2.设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解析:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, ) b2 4a2 · =4 成立, a2 b2

当 q=1 时,Sn=a1+a1+?+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1,


① ②

qSn=a1q+a1q2+?+a1qn, ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q

(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1, 1q +2a1q =a1q
- + - +

∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 3.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3 a2 b2 c2 (2) + + ≥1. b c a 证明:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 a2 b2 c2 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c,所以 + + ≥1. b c a b c a


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