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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理(含解析)



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第七节

正弦定理和余弦定理

[知识能否忆起] 1.正弦定理 分类 定理 内容 a b c = = =2R(R 是△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C ①a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C, 变形 公式 解决的 问题 ②sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, a b c ③sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角

2.余弦定理 分类 定理 内容 在△ABC 中,有 a2=b2+c2-2bccos_A; b2=a2+c2-2accos_B;c2=a2+b2-2abcos_C b2+c2-a2 a2+c2-b2 cos A= ;cos B= ; 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

变形 公式 解决的 问题

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

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[小题能否全取] 1.(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2 )

BC AC 3 2 AC 3 2 2 解析:选 B 由正弦定理得: = ,即 = ,所以 AC= × = sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2 2 3. 2.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° C.60° B.45° D.75° )

b2+c2-a2 1+4-3 1 解析:选 C ∵cos A= = = , 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ,∴A=60° . 3.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45° ,则此三角形有( A.无解 C.一解 B.两解 D.解的个数不确定 )

a b 解析:选 B ∵ = , sin A sin B b 24 ∴sin B= sin A= sin 45° , a 18 2 2 ∴sin B= . 3 又∵a<b,∴B 有两个. 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,B= π ,c=2 3,则 b=________. 6 解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=4+12-2×2×2 3× 答案:2 5.△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 解析:设 BC=x,由余弦定理得 49=25+x2-10xcos 120° , 整理得 x2+5x-24=0,即 x=3. 1 1 3 15 3 因此 S△ABC= AB×BC×sin B= ×3×5× = . 2 2 2 4 3 =4,所以 b=2. 2

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15 3 答案: 4

(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的 角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. (2)在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角 或直角

图形

关系式 解的个

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a> b 一解



利用正弦、余弦定理解三角形

典题导入 [例 1] (2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A = 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. [自主解答] (1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理 a b = ,得 sin B= 3cos B, sin A sin B π 所以 tan B= 3,所以 B= . 3 a c (2)由 sin C=2sin A 及 = ,得 c=2a. sin A sin C 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac.

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所以 a= 3,c=2 3.

在本例(2)的条件下,试求角 A 的大小. 解:∵ a b = , sin A sin B

π 3· sin 3 1 asin B ∴sin A= = = . b 3 2 π ∴A= . 6

由题悟法 1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用 余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷. 2.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该 三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 以题试法 1.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. 解:(1)由正弦定理得, sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即

sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. 故 sin B= b 2sin A,所以 = a 2.

?1+ 3?a (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cos B= . 2c 由(1)知 b2=2a2, 1 故 c2=(2+ 3)a2.可得 cos2B= , 2 又 cos B>0,故 cos B= 2 ,所以 B=45° . 2

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

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典题导入 [例 2] 在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+ (2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. [自主解答] (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)· b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,∵0<A<180° ,∴A=120° . 2 3 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C= . 4 又 sin B+sin C=1, 1 解得 sin B=sin C= . 2 ∵0° <B<60° ,0° <C<60° ,故 B=C, ∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 由题悟法 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相 应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等 变形, 得出内角的关系, 从而判断出三角形的形状, 此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论. [注意] 在上述两种方法的等式变形中, 一般两边不要约去公因式, 应移项提取公因式, 以免漏解. 以题试法 2.(2012· 安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向 7 2A ? 量 m=(4,-1),n=? n= . ?cos 2 ,cos 2A?,且 m· 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状.
2A ? 解:(1)∵m=(4,-1),n=? ?cos 2 ,cos 2A?,

1+cos A A ∴m· n=4cos2 -cos 2A=4· -(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3. 2 2

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7 又∵m· n= , 2 7 ∴-2cos2A+2cos A+3= , 2 1 解得 cos A= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3 (2)在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A,且 a= 3, 1 ∴( 3)2=b2+c2-2bc· =b2+c2-bc.① 2 又∵b+c=2 3, ∴b=2 3-c,代入①式整理得 c2-2 3c+3=0,解得 c= 3,∴b= =c= 3,即△ABC 为等边三角形. 3,于是 a=b

与三角形面积有关的问题

典题导入 [例 3] (2012· 新课标全国卷)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. [自主解答] (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C -sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 A- ? = . 由于 sin C≠0,所以 sin? ? 6? 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 由题悟法 1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要

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交替使用. 1 1 1 2.在解决三角形问题中,面积公式 S= absin C= bcsin A= acsin B 最常用,因为公式 2 2 2 中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理结合应用. 以题试法 1 3.(2012· 江西重点中学联考)在△ABC 中, cos 2A=cos2A-cos A. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,sin B=2sin C,求 S△ABC. 1 解:(1)由已知得 (2cos2A-1)=cos2A-cos A, 2 1 π 则 cos A= .因为 0<A<π,所以 A= . 2 3 (2)由 b c sin B b = ,可得 = =2, sin B sin C sin C c

即 b=2c. b2+c2-a2 4c2+c2-9 1 所以 cos A= = = , 2bc 4c2 2 解得 c= 3,b=2 3, 1 1 3 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= ×2 3× 3× = . 2 2 2 2

1. 在△ABC 中, a、 b 分别是角 A、 B 所对的边, 条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 C B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 a<b?A<B?cos A>cos B.

)

π 2.(2012· 泉州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= ,b= 3 1,△ABC 的面积为 A.1 C. 3 2 3 ,则 a 的值为( 2 ) B.2 D. 3

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1 1 π 3 解析:选 D 由已知得 bcsin A= ×1×c×sin = ,解得 c=2,则由余弦定理可得 2 2 3 2 π a2=4+1-2×2×1×cos =3?a= 3. 3 3.(2013· “江南十校”联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan A 2c a=2 3,c=2 2,1+ = ,则 C=( tan B b A.30° C.45° 或 135° )

B.45° D.60°

tan A 2c 解析:选 B 由 1+ = 和正弦定理得 tan B b cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A, 即 sin C=2sin Ccos A, 1 所以 cos A= ,则 A=60° . 2 2 3 2 2 由正弦定理得 = , sin A sin C 则 sin C= 2 , 2

又 c<a,则 C<60° ,故 C=45° . 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2 =2c2,则 cos C 的最小值为( A. 3 2 ) B. 2 2

1 C. 2

1 D.- 2

1 1 解析:选 C 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,又 c2= (a2+b2),得 2abcos C= (a2 2 2 a2+b2 2ab 1 +b2),即 cos C= ≥ = . 4ab 4ab 2 5.(2012· 上海高考)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 a2+b2-c2 <0,所以 C 是钝角,故 2ab )

解析:选 C 由正弦定理得 a2+b2<c2,所以 cos C= △ABC 是钝角三角形.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 b=2asin B,则角 A 的大小为 ________.

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解析:由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0, 1 ∴sin A= ,∴A=30° 或 A=150° . 2 答案:30° 或 150° π 7.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A= ,则 C 的大小为________. 3 bsin A 解析:由正弦定理可知 sin B= = a π π π -A-B=π- - = . 3 6 2 π 答案: 2 8.(2012· 北京西城期末)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b= π 5 2 5,B= ,sin C= ,则 c=________;a=________. 4 5 解析:根据正弦定理得 b c bsin C = ,则 c= =2 2,再由余弦定理得 b2=a2+c2 sin B sin C sin B 3sin 3 π 3 1 π 5π = ,所以 B= 或 (舍去),所以 C=π 2 6 6

-2accos B,即 a2-4a-12=0,(a+2)(a-6)=0,解得 a=6 或 a=-2(舍去). 答案:2 2 6 1 9.(2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 1? 解析:根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×? ?-4?,解得 b=4. 答案:4 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 故 cos B= 2 ,因此 B=45° . 2 2+ 6 . 4

(2)sin A=sin(30° +45° )=sin 30° cos 45° +cos 30° sin 45° = 2+ 6 sin A 故 a=b× = =1+ 3, sin B 2 sin C sin 60° c=b× =2× = 6. sin B sin 45°

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11.(2013· 北京朝阳统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的 边,且满足 3a-2bsin A=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB ·AC 的值. 解:(1)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0, 3 . 2

因为 sin A≠0,所以 sin B= π 又 B 为锐角,所以 B= . 3

π (2)由(1)可知,B= .因为 b= 3

7.

π 根据余弦定理,得 7=a2+c2-2accos , 3 整理,得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,得 ac=6. 又 a>c,故 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= = = , 2bc 14 4 7 所以 AB ·AC =| AB |· | AC |cos A=cbcos A =2× 7× 7 =1. 14

12. (2012· 山东高考)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 解:(1)证明:在△ABC 中,由于 sin B(tan A+tan C)= tan Atan C, sin A sin C ? sin A sin C 所以 sin B? , ?cos A+cos C?=cos A· cos C 因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, 所以 sin Bsin(A+C)=sin Asin C. 又 A+B+C=π, 所以 sin(A+C)=sin B, 因此 sin2B=sin Asin C.

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由正弦定理得 b =ac, 即 a,b,c 成等比数列. (2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2, a2+c2-b2 12+22-2 3 由余弦定理得 cos B= = = , 2ac 2×1×2 4 因为 0<B<π,所以 sin B= 1-cos2B= 7 , 4

2

1 1 7 7 故△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4

1.(2012· 湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连 续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( A.4∶3∶2 C.5∶4∶3 B.5∶6∶7 D.6∶5∶4 )

解析:选 D 由题意可得 a>b>c,且为连续正整数,设 c=n,b=n+1,a=n+2(n>1, ?n+1?2+n2-?n+2?2 且 n∈N*),则由余弦定理可得 3(n+1)=20(n+2)· ,化简得 7n2-13n- 2n?n+1? 60=0,n∈N*,解得 n=4,由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4. A+B 2.(2012· 长春调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin2 - 2 7 cos 2C= ,且 a+b=5,c= 7,则△ABC 的面积为________. 2 A+B 7 解析:因为 4sin2 -cos 2C= , 2 2 7 所以 2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1= , 2 7 1 2+2cos C-2cos2C+1= ,cos2C-cos C+ =0, 2 4
2 2 1 1 a +b -7 解得 cos C= .根据余弦定理有 cos C= = , 2 2 2ab

ab=a2+b2-7,3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,ab=6,所以△ABC 的 1 1 3 3 3 面积 S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 3 3 答案: 2 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小;

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3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 4 解:(1)法一:由(2b-c)cos A-acos C=0 及正弦定理,得 (2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0, sin B(2cos A-1)=0. ∵0<B<π,∴sin B≠0, 1 ∴cos A= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3 法二:由(2b-c)cos A-acos C=0, b2+c2-a2 a2+b2-c2 及余弦定理,得(2b-c)· -a· =0, 2bc 2ab b2+c2-a2 1 整理,得 b2+c2-a2=bc,∴cos A= = , 2bc 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3 1 3 3 (2)∵S△ABC= bcsin A= , 2 4 1 π 3 3 即 bcsin = , 2 3 4 ∴bc=3,① π ∵a2=b2+c2-2bccos A,a= 3,A= , 3 ∴b2+c2=6,② 由①②得 b=c= 3, ∴△ABC 为等边三角形.

1.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+ C=2B,则 sin C=________. 解析:在△ABC 中,A+C=2B,∴B=60° .又∵sin A= ∴C=90° ,∴sin C=1. 答案:1 2.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( ) asin B 1 = ,∴A=30° 或 150° (舍), b 2

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A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

解析:选 A 法一:(化边为角)由正弦定理知: sin A=2sin Bcos C,又 A=π-(B+C), ∴sin A=sin(B+C)=2sin Bcos C. ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, ∴sin(B-C)=0. 又∵B、C 为三角形内角,∴B=C. a2+b2-c2 法二:(化角为边)由余弦定理知 cos C= , 2ab a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴a=2b· = , 2ab a ∴a2=a2+b2-c2,∴b2=c2,∴b=c. 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 1 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 1 解:(1)因为 cos 2C=1-2sin2C=- ,且 0<C<π, 4 所以 sin C= 10 . 4

a c (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理 = ,得 c=4.由 cos 2C=2cos2C-1= sin A sin C 1 6 - ,及 0<C<π 得 cos C=± . 4 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 b2± 6b-12=0,解得 b= 6或 2 6,

?b= 6, ?b=2 6, 所以? 或? ?c=4 ?c=4.
4.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 4 且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

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4 3 解:(1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 a b a 10 5 由正弦定理 = ,可得 = ,所以 a= . sin A sin B sin 30° 3 3 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· sin B,sin B= , 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16, 5 即 a2+c2=20. 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10.



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