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课改区2010届高三上学期第五次检测(数学文)



高三上学期数学文科单元测试(5)
[新课标人教版 命题范围 新课标人教版] 新课标人教版 平面向量与解三角形( 第二章、 第一章) 平面向量与解三角形(必修 4 第二章、必修 5 第一章)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上.考试结束,试题 和答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列说法中正确的是 ( ) A.共面向量就是向量所在的直线在同一平面内 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量的长度为零 D.共线向量的夹角为 0° 2.已知 a = (x,1) ,b = (3, x 2) ,则 ab < 0 的解集是 A. ( ∞, ) ( D. ( , +∞) ( D. ) )

1 2

B. (

1 , +∞) 2

C. (∞, )

1 2

1 2

3.如果 a=(1,x),b=(1,3),且(2a+b)∥(a2b) ,则 x= A.-3 B.3 C.

1 3

1 3
( )

4.已知 a = ( 2,1) ,b = (3, x ) ,若(2ab)⊥b,则 x 的值为 A. 1 B.3 C.1 或 3 D. 1 或 3 ( C. 120
0

5.在△ABC 中,若 a 2 = b 2 + bc + c 2 , 则A = A. 30
0


0

B. 60

0

D. 150

6.1、2 是平面内不共线的两向量, e e 已知 AB = e1ke2, = 2e1+e2, CB CD = 3e1e2, A, B, D 若 三点共线,则 k 的值是 A.1 B.2 ( C.3 D.4 ( D.-20 ( D.60°或 120° ) ) )

7.在 ABC 中, a = 5, b = 8, C = 60° ,则 BC CA 的值为 A.10 B. 20 8.在△ ABC 中,若 b = 2a sin B ,则 A = A.30° B.60° C.-10 C.30°或 150°

9.在△ABC 中,若 a cos A + b cos B = c cos C , 则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 10.下列说法中错误的是 ① a b = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 ; A.①、② B.①、③ B.直角三角形 D.等腰直角三角形





( ② (a b)c = a(b c) ; C.②、③ ③ p q = (p q) .
2 2 2



D.①、②、③ ( )

11.在△ABC 中,若∠C=60°,则

a b = + b+c a+c

A.1 B.2 C.3 D.4 12.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1, F2 成 60 角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 w A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7
0





[来源:学科网 ZXXK]

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在横线上. 13.向量 a = ( 3,4) ,则与 a 平行的单位向量的坐标为 14.设 p = (2,7),q = (x,3),若 p 与 q 的夹角 θ ∈ [0, .

π
2

) ,则 x 的取值范围是
o

.

15.以原点 O 及点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使 ∠A = 90 ,则 AB 的坐标 为 . 16. 地面上画了一个 60°的角 ∠BDA, 某人从角的顶点 D 出发, 沿角的一边 DA 行走 10 米后, 拐弯往另一方向行走 14 米,正好到达 ∠BDA 的另一边 BD 上的一点,我们将该点就记 为点 B,则 B 与 D 之间的距离为 米. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

r r r r r r (1)若 a 与 b 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; r r (2)求 | b + c | 的最大值; r r (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b .

设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , 4 sin β )
[来源:学*科*网]

[来源:学科网 ZXXK]

18. (本小题满分 12 分) 已知在 ABC 中, cos A = (1)求 tan A ; (2)若 sin( π + B ) = 2 2 , c = 2 2 ,求 ABC 的面积. 2 3

6 , a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边. 3

[来源:学*科*网]

19. (本小题满分 12 分) 已知等腰直角三角形 AOB 中,AC、BD 为中线,求 AC 与 BD 夹角 θ 的余弦值.

uuur

uuu r

[来源:学+科+网]

[来源:学科网]

20. (本小题满分 12 分)

uuu uuu uuur r r
已知 A、B、C 是直线 l 上的不同三点,O 是 l 外一点,向量 OA, OB, OC 满足

uuu r 3 uuu r uuur OA = ( x 2 + 1)OB (ln x y )OC ,记 y = f ( x) ; 2
(1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)求函数 y = f ( x) 的单调区间.

21. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中, (a-c) (sinA+sinC)=(a-b)sinB, (1)求∠C; (2)若△ABC 的外接圆半径为 2,试求该三角形面积的最大值.

22. (本小题满分 14 分) 已知向量 m=( sin

x x x x , cos ) ,n=( 3 cos , cos ),记 f(x)=mn; 4 4 4 4

(1)若 f(x)=1,求 cos( x +

π

3

) 的值;

(2)若△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围.

参考答案
一、选择题 1.C;解析:共面向量就是平行向量,故 A 是错的; 相等向量是指长度相等且方向相同的向量,故 B 是错的; 根据共线向量的概念知共线向量的夹角为 0°或 180°,故 D 是错的; ∴正确的只有 C. 2.C;解析:∵ab = 3 x + x 2 = 4 x 2 < 0 , ∴ab < 0 的解集是 {x | x < } . 3.A;解析:∵2a+b=(1,2x+3),a2b=(3,x6); 又 2a+b∥a2b,∴1×(x6)(2x+3)×3=0,解得 x= 3.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

1 2

4.D;解析:由 a = ( 2,1) ,b = (3, x ) ,得 2ab = (1,2 x ) ; ∵2ab⊥b, ∴(2ab) b=0,即 1 × 3 + ( 2 x ) x = 0 ,解得 x = 1 或 3 .
[来源:Z*xx*k.Com]

5.C;解析: cos A =

b2 + c2 a 2 1 = , A = 1200 . 2bc 2

6. B; 解析: A, B, D 三点共线, ∴ AB 与 BD 共线, ∴存在实数 λ , ∵ 使得 AB = λ BD ; ∵ BD = CD CB = 3 e1 e2 (2e1+e2)= e1 2e2, ∴e1ke2 = λ ( e1 2e2 ) , ∵e1、e2 是平面内不共线的两向量, ∴

1 = λ , k = 2λ ,
0 0

解得 k = 2 .

[来源:学科网]

7.D;解析:由题意可知 BC与CA 的夹角为 180 C = 180 60 = 120° ,
0

∴ BC CA = BC CA cos 120 0 = 5 × 8 ×

1 = 20 . 2 1 , A = 300 或 1500 . 2

8.C;解析: b = 2a sin B,sin B = 2sin A sin B,sin A =

9.B;解析:Q a cos A + b cos B = c cos C ,∴ sin A cos A + sin B cos B = sin C cos C ; ∴ sin 2 A + sin 2 B = sin 2C , 2 sin( A + B ) cos( A B ) = 2 sin C cos C ; ∴ cos( A B ) = cos( A + B ), 2 cos A cos B = 0 ; ∴ cos A = 0 或 cos B = 0 ,得 A =
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

π
2

2 10.D;解析:∵ a ⊥ b 时, a b = 0 ,∴当 a b = 0 时不能得出 a = 0 或 b = 0 ;
∴①是错误的. ∵ a b 是数量,所以 (a b)c 为一个向量,并且此向量与 c 共线;虽然 a(b c) 也是一个向

或B =

π

;∴△ABC 是直角三角形.

量,但它与 a 共线;∴ (a b)c 不一定与 a(b c) 相等;∴②是错误的. ∵ p 2 q 2 =| p | 2 | q | 2 , (p q) 2 =| p | 2 | q | 2 cos 2 θ ( θ 为 p 与 q 的夹角) ;∴当且仅 当 p//q 时, p q = (p q) 才成立;∴③是错误的.
2 2 2

∴本题三种说法均不正确. 11.A;解析:
a b a 2 + ac + b 2 + bc a 2 + b 2 + ac + bc = = ( *) , + b + c a + c (b + c)(a + c) ab + ac + bc + c 2 ∵ ∠ C=60 ° , ∴ a2+b2 - c2=2ab cosC=ab , ∴ a2+b2=ab+c2 , 代 入 ( * ) 式 得

a 2 + b 2 + ac + bc ab + ac + bc + c 2

=1
2 2 2 0 0

12 .D;解析: F3 = F1 + F2 2 F1 F2 cos(180 60 ) = 28 ,所以 F3 = 2 7 .
二、填空题

13. ( , ), ( , ) ;解析:因为| a |= ( 3) + 4 = 5 ,故所求的单位向量为
2 2

3 4 5 5

3 5

4 5

[来源:学科网]

±
14.(

a 1 3 4 = ± (3,4) = ± ( , ) . |a| 5 5 5

21 π 21 ,+∞); 解析: p 与 q 的夹角 θ ∈ [0, ) pq>02x21>0 x > , 2 2 2 21 即 x∈( ,+∞). 2

15. -2,5)或(2,-5) ( ;解析:设 AB = ( x, y ) ,
则由 | OA |=| AB |

5 2 + 2 2 = x 2 + y 2 …………①,

而又由 OA ⊥ AB 得 5 x + 2 y = 0 …………②, 由①②联立得 x = 2, y = 5或x = 2, y = 5 .

∴ AB = (2,5)或 (-2, . 5)
16.16;解析:记拐弯处为点 A,则已知即为△ABD 中,AD=10, AB=14, ∠BDA=60°;
设 BD=x,则 BA = BD + AD 2 BD AD cos ∠BDA ,
2 2 2

即 14 = x + 10 2 10 x cos 60 ,整理得 x 10 x 96 = 0 ,
2 2 2 o 2

解得 x1 = 16 , x 2 = 6 (舍去) BD=16. ;∴ 三、解答题 ( 17.解: 1)∵b-2c = (sin β 2 cos β , 4 cos β + 8sin β ) ,且 a 与 b-2c 垂直,

∴ 4 cos α (sin β 2 cos β ) + sin α (4 cos β + 8sin β ) = 0 , 即 sin α cos β + cos α sin β = 2(cos α cos β sin α sin β ) , ∴ sin(α + β ) = 2 cos(α + β ) , ∴ tan(α + β ) = 2 .(…………4 分)

(2)∵b+c = (sin β + cos β , 4 cos β 4 sin β ) , ∴b+c =

(sin β + cos β ) 2 + (4 cos β 4 sin β ) 2

= 1 + 2sin β cos β + 16 32 cos β sin β = 17 15sin 2β ,
∴当 sin 2 β = 1 时,b+c取最大值,且最大值为 32 = 4 2 .(……8 分) (3)∵ tan α tan β = 16 ,∴

sin α sin β = 16 ,即 sin α sin β = 16 cos α cos β , cos α cos β

∴ (4 cos α ) (4 cos β ) = sin α sin β ,即 a = (4 cos α ,sin α ) 与 b = (sin β , 4 cos β ) 共 线,∴a∥b. 18.解: (1)因为 cos A = (…………12 分)

6 3 2 ,∴ sin A = ,则 tan A = . 3 3 2

(…………5 分)

(2)由 sin(

π
2

+ B) =

2 2 2 2 1 ,得 cos B = ,∴ sin B = , 3 3 3
6 , 3

(…………7 分)

则 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = 由正弦定理,得 a =

(…………9 分)

c sin A =2, sin C 1 2 2 ac sin B = . (……12 分) 2 3

∴ ABC 的面积为 S =

19.解:如图,分别以等腰直角三角形 AOB 的两直角边为 x 轴、

y 轴建立直角坐标系,设 A(2a,0 ), B(0,2a ) ,
则 D (a,0 ), C (0, a ) , a > 0 )(……3 分) ( ; ∴ AC = ( 2a, a ), BD = (a,2a ) , ∵ AC 与 BD 的夹角为 θ , (…………6 分)

uuur

uuu r

∴ cos θ =

AC BD AC BD

=

( 2a, a ) (a,2a ) = 4a 2
5a 5a 5a
2

4 = , 5
(…………12 分)

即 AC 与 BD 夹角 θ 的余弦值为

uuur

uuu r

4 . 5 uuur

20.解:(1)∵ OA = ( x + 1)OB (ln x y )OC ,且 A、B、C 是直线 l 上的不同三点,
2

uuu r

3 2

uuu r

∴ ( x + 1) + (ln x y ) = 1 ,
2

3 2

∴y=

3 2 x + ln x ; 2

(…………6 分)

3 2 1 3x 2 + 1 ′( x) = 3 x + = (2)∵ f ( x ) = x + ln x ,∴ f , (…………8 分) 2 x x
∵ f ( x) =

3 2 3x 2 + 1 x + ln x 的定义域为 (0, +∞) ,而 f ′( x) = 在 (0, +∞ ) 上恒正, 2 x

∴ y = f ( x) 在 (0, +∞ ) 上为增函数,即 y = f ( x) 的单调增区间为 (0, +∞ ) . (……12 分) 21.解: (1)由(a-c) (sinA+sinC)=(a-b)sinB,得(a-c) +c)=(a-b)b, (a ∴a2-c2=ab-b2,∴a2+b2-c2=ab,∴cosC= 又∵0°<C<180°,∴C=60° (2)S=
a2 + b2 c2 1 = 2ab 2

(…………4 分) (…………6 分)

1 1 3 absin C= × ab=4 3 sinAsinB=4 3 sinAsin(120°-A) 2 2 2

=4 3 sinA(sin120°cos A-cos120°sinA)=6sinAcosA+2 3 sin2A =3sin2A- 3 cos2A+ 3 =2 3 sin(2A-30°)+ 3

(…………10 分) (…………12 分)

∴当 2A= 120°,即 A=60°时,Smax=3 3

[来源:Z。xx。k.Com]

22.解: (1)f(x)=mn= 3 sin ∵f(x)=1,

x x x 3 x 1 x 1 x π 1 cos + cos 2 = sin + cos + = sin( + ) + , 4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 2
(…………4 分) (…………6 分)

x π 1 )= , 2 6 2 π π 1 2 x ∴ cos( x + ) = 1 2sin ( + ) = . 3 2 6 2
∴ sin( +

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴由正弦定理得 (2sin A sin C ) cos B = sin B cos C , ∴ 2 sin AcosB sin C cos B = sin B cos C ,∴ 2 sin A cos B = sin( B + C ) , ∵ A + B + C = π ,∴ sin( B + C ) = sin A ,且 sin A ≠ 0 , (…………10 分) ∴ cos B cos BB =∴ B = = , = ,

1 2

π
3

23



(…………12 分)

2π π A πA π π 1 A πA π π π , ∴ < + < , < < sin( sin( ) + 1 ) < 1 ; ∴, < + < + < 3 6 2 62 2 2 2 2 2 62 6 6 6 x π 1 A π 1 又∵f(x)= sin( + ) + ,∴f(A)= sin( + ) + , = 2 6 2 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ) . (…………14 分) 2
∴0 < A <



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