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吉林省长春市十一中2015-2016学年高一上学期期中考试 数学(理)


体验 探究 合作 展示

长春市十一高中 2015-2016 学年度高一上学期期中考试 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,试卷满分为 120 分.答题时 间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是 A.第二象限的角比第一象限的角大 B.若 sin ? ? ( )

1 ? ,则 ? ? 2 6

C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D.不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关 2.设 cos(?800 ) ? m ,那么 tan100 ?
0

( C.

)

A.

1 ? m2 m

B. ?

1 ? m2 m

m 1? m
2

D. ?

m 1 ? m2

3. 已知集合 P ? ? x | x ? sin 则 P 与 Q 的关系是 A.P Q

? ?

(5k ? 9)? 5(9 ? 2m)? ? ? ? ,k ? Z ? , Q ? ? y | y ? cos ,m ? Z ? , 6 3 ? ? ?
( )

B.P

Q

C.P ? Q

D.P∩Q = ?

, 0) 4.在直角坐标系中,一动点从点 A(1 出发,沿单位圆(圆心在坐标原点半径为 1 的圆)圆
周按逆时针方向运动 A. ? ?

2? 弧长,到达点 B ,则点 B 的坐标为 3

( D. ? ?

)

? 1 3? ? 2, 2 ? ? ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 1? ,? ? 2 2? ?

C. ? ?

? 1 3? , ? ? ? 2 2 ? ? ?

? ? ?

3 1? , ? 2 2? ?
( )

5.如果 cos( ? ? A) ? ? A. ?

1 ? ,那么 sin( ? A) 的值是 2 2
B.

1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

6.已知 x ? ( ? A.

?
2

,0) , cos x ?
B. ?

4 ,则 tan 2 x ? 5
7 24
C.

(

)

7 24

24 7

D.

24 7
( )

7.已知 ? 是第三象限角,且 cos A.第一象限角 8.给出下列四组函数: ① y ? sin( x ?

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 是 2

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

3? ) , y ? cos x ; ② y ? sin x , y ? tan x ? cos x ; 2

③ y ? 1 ? ln(x 2 ) , y ? 1 ? 2 ln x ; ④ y ? 2 ? 其中,是相等函数的一共有 A. 1 组 B.2 组 C.3 组

x2 , y ? 2 ? 3 x3 。
( D.4 组 )

9.设 ? ? ?? 2, ? 1, ? ,, , 1, 2, 3? ,则使幂函数 y ? x ? 为奇函数,且在 ?0,??? 上单调递减 的 ? 值的个数为 A. 1 B.2 C. 3 ( D .4 )

? ?

1 1 1 2 3 2

? ?

10.若函数 f ?x? ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数 据如下表:

f (1) ? ?2 f (1.25) ? ?0.984 f (1.438) ? 0.165
3 2

f (1.5) ? 0.625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4065 ) ? ?0.052
( D.1.5 )

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度 0.1)为 A.1.2 B.1.3 C.1.4

11.函数 f ?x ? ? ? A.0
2

?ln x ? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) 的零点个数为 2 x ? 1, ( x ? 0) ?
B.1 C.2

( D.3

)

12.若 cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 对 ? ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m ? 1 ? 2 C. 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2 B. m ? 1 ? 2 D. 1 ? 2 ? m ? 1



第Ⅱ卷(非选择题

共 60 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分 13. 求值 sin

?
2

tan

?
3

? cos 2

?
6

? sin

3? ? ? 3 ? tan ? cos ? sin ? tan 2 ? 2 4 3 4 6
.

.

14. 若 3cos ? ? 4sin ? ? 5 ,则 tan ? =

15. 已知 f ( x) 是定义在 ?? ?,??? 上的偶函数,且在 ?? ?,0? 上是增函数,设

a ? f (log4 7) , b ? f (log1 3) , c ? f (0.20.6 ) ,则 a , b , c 的大小关系是
2

.

16. 已知函数 f ( x) ? log 1
2

ax ? 2 ( a 为常数)在区间 ?2,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 x ?1
.



三、解答题:本大题共 4 小题, 共 40 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)

(Ⅰ)计算:

1 0.008
1 3

? 81 ? log
x ? 3. 100

1 2

2

1 ; 16

(Ⅱ)解方程: lg x ? lg

18.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,点 P ( , ) 在角 α 的终边上,点 Q ( ,?1) 在角 β 的终边上,点

M (sin

2? 2? , cos ) 在角 ? 终边上. 3 3 (Ⅰ)求 sin ? , cos? , tan ? 的值; (Ⅱ)求 sin(? ? 2? ) 的值.

1 2 2 3

1 3

19. (本小题满分 10 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A , B , C 满足 sin(180? ? A) ?

2 cos(B ? 90?) ,

3 cos A ? ? 2 cos(1800 ? B) ,求角 A , B , C 的大小.

20.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4 x ? 1) ? kx(k ? R) 与 g ( x ) ? log 4 ( a ? 2 ?
x

4 a) , 其中 f ( x) 是偶 3

函数. (Ⅰ)求实数 k 的值及 f ( x) 的值域; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围.

21.附加题

满分 10 分)
x

?1? 已知函数 f ?x ? ? ? ? , x ? ?? 1,1? ,函数 g ?x? ? f 2 ?x? ? 2af ?x? ? 3 的最小值为 h?a ? . ? 3?
(Ⅰ)求 h?a ? ; (Ⅱ)是否存在实数 m 、 n 同时满足以下条件: ① m ? n ? 3 ; ②当 h?a ? 的定义域为 ?n, m ? 时,值域为 n 2 , m 2 。 若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,说明理由.

?

?

长春市十一高中 2015-2016 学年度高一上学期期中考试 数学(理科)试题答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分 1D 7B 2B 8A 3 C 9 A 4 A 5 B 11 D 6 D

10 C

12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分 13.

3 2

14.

4 3

15. b<a<c

16.

a ? [1, 2)

三、解答题:本大题共 4 小题, 共 40 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 0.008
? 1 3

? 812 ? log

1

2

1 ? 5 ? 9 ? 4 ? 10 16
2

---------------5 分

(Ⅱ) lg x ? (lg x ? 2) ? 3 ,即 lg x ? 2lg x ? 3 ? 0 ∴ lg x ? ?1 或 lg x ? 3 , ∴ x ? 0.1 或 x ? 1000 18.(本小题满分 10 分) -------------------------------------------8 分 --------------------------------------------10 分

1 2? 4 3 解: (1) ∵点 P? ?2,3?在角α 的终边上,∴sinα=5,cosα=5. 3 10 10 同理 sinβ=- ,cosβ= , 10 10

--------2 分

-----------------------------------4 分

2π π 1 2π π 3 sin ? =cos =-cos =- ,cos ? =sin =sin = , 3 3 2 3 3 2

3 4 10 ∴sinα= ,cosβ= ,∴ tan? ? ? 5 10 3
3 (2) 由(1)得 sin2β=2sinβcosβ= - , 5 ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β= -1. 19. (本小题满分 10 分) 解:? sin(180 ? ? A) ?

-----------------------------6 分 cos2β= - 4 5 -----------8 分

----------------------10 分

2 cos(B ? 90?) ? sin A ? 2 sin B

① ②

又? 3 cos A ? ? 2 cos( 180? ? B) ? 3 cos A ? ① +②
2 2

2 cos B

2 得 cos A ?

1 ,----------------------------------------------------------------4 分 2
------------------------------------------------------------------5 分

∴ cos A ? ?

2 , 2

? A ? (0, ? ) , 由②知 cos A与cos B同号 ,

2 ? 2 ?A? . ∴ cos A ? , 4 2 ? 3 又由②得 cos B ? , ∴B ? , 6 2 ? ? 7? . ∴C ? ? ? ? ? 4 6 12 ? ? 7? 即 .
A, B, C大小为 ,, 4 6 12
20. (本小题满分 10 分)

则 A, B ? (0,

?

) ,因而 cos A ? ?

2 (舍去) 2
------------------------------------------8 分

-------------------------10 分

解: (1)由函数 f(x)是偶函数可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx,


∴log4

4x+1 =-2kx,即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立, - 4 x+1 -----------------------------------------------------------------2 分

1 ∴k=- . 2

x ∴ f ( x) ? log 4 (2 ?

1 ) ,令 t ? 2 x ? 0 , x 2

1 (t ? 0) ,利用函数单调性定义可知 u?t ? 在 ?0,1? 单调递减,在 ?1,??? 单调 t 递增,故 u?t ? ? u (1) ? 2 , 1 ∴ y ? log 4 u ?t ? ? log 4 u ?1? ? 2 1 1 x ∴ f ( x) ? log 4 (2 ? x ) ? 2 2 ?1 ? 即 f ( x) 的值域为 ? ,?? ? ---------------------------------------------------------4 分 ?2 ?
设 u ?t ? ? t ?
x (2)当 a ? 2 ?

4 a ? 0 时,函数解析式有意义 3 4 4 x 当 a ? 0 时, 2 ? ,得 x ? log 2 ; 3 3 4 4 x 当 a ? 0 时, 2 ? ,得 x ? log 2 。 ---------------------------5 分 3 3 4 综上,当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域为 {x x ? log 2 } ; 3 4 当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域为 {x x ? log 2 } ---------------------------------6 分 3

(3)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 4 1 a· 2x- a?有且只有一个实根, 即方程 log4(4x+1)- x=log4? 3 ? ? 2 1 4 即方程 2x+ x=a· 2x- a 有且只有一个实根, ------------------------------------7 分 2 3 4 令 t=2x>0,则方程(a-1)t2- at-1=0 有且只有一个正根, 3 3 ①当 a=1 时,t=- ,不合题意; 4 3 3 ②当 a≠1 时,由 Δ=0 得 a= 或-3,若 a= ,则 t=-2 不合题意; 4 4 1 若 a=-3,则 t= 满足要求; 2 ----------------------------------------8 分

若 Δ>0,则此时方程应有一个正根与一个负根, ∴ -1 3 <0,∴a>1,又 Δ>0 得 a<-3 或 a> ,∴a>1. 4 a-1 -----------------------9 分

综上,实数 a 的取值范围是{-3}∪(1,+∞). ----------------------------------------10 分 21. (附加题,10 分) 解: 1?x ?1 ? ?1?x ?1 ? (1) ∵x∈[-1,1],∴ ? ?3? ∈?3,3?. 设?3? =t,t∈?3,3?,

则 g(x)=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2. ----------------2 分

1? 28 2a 1 1 2 当 a< 时,h(a)=φ? ?3?= 9 - 3 ;当3≤a≤3 时,h(a)=φ(a)=3-a ; 3 当 a>3 时,h(a)=φ(3)=12-6a. ----------------4 分

? 1 ∴ h(a)=? ? 3-a ? ?3≤a≤3? ?12-6a (a>3)
2

28 2a - 9 3

?a<1? ? 3?

----------------5 分

(2) ∵m>n>3,a∈[n,m], ∴h(a)=12-6a. ----------------6 分 ∵ h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],且 h(a)为减函数,-----------------7 分
?12-6m=n2 ? ∴? 2 , ?12-6n=m ?

-------------------------------------------------------------------------8 分

两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n), ∵m>n,∴m-n≠0,得 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾, ---------------9 分

故满足条件的实数 m,n 不存在. ----------------------------10 分


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