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函数及其表示


1.2.1 函数的概念
【学习目标】 1、通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示 某些函数的定义域。 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 【学习过程】 (一) 、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; (二)、学习过程 函数是数学中最主要的概念之一,而函数概念贯穿整个中学数学,而掌握好函数的概念 是学好函数的基石。 阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3) “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 通过多教材上三个例子的研究,体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数(function) . 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函

数的定义域(domain) ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函 数的值域(range) . 注意: (1) “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; (2) 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. (3) 函数是非空数集到非空数集的对应关系。 (4)“f:A→B”表示一个函数有三要素:法则 f(是核心),定义域 A(要优先),值域 C(上函数值的集合且 C∈B) 4.区间的概念 区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;

{x | a ? x ? b} ? [a, b] {x | a ? x ? b} ? (a, b]

{x | a ? x ? b} ? [a, b) {x | a ? x ? b} ? (a, b)

{x | x ? b} ? (??, b]
三、精讲精练

{x | a ? x} ? [a,??)

例 1:求函数y= 2 x ? 3 ?

1 2? x

?

1 的定义域。 x

变式训练一:求函数y=

x?2 的定义域; x2 ? 4

例⒉求函数f(x)=

1 ,x∈R,在x=0,1,2处的函数值. x ?1
2

变式训练二:已知A={1,2,3,k} ,B={4,7, a 4, a 2+3 a } , a ∈N+, k∈N+,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B上的一个函数, 求 a ,k,A,B.

课后作业
1. 已知函数 g (t ) ? 2t 2 ? 1 ,则 g (1) ? ( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 ).

2. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是( ). 1 1 A. [ , ??) B. ( , ??) 2 2 1 1 C. (??, ] D. (??, ) 2 2 3. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,若 f (a) ? 1 ,则 a=( ). A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2 4. 函数 y ? x , x ?{?2, ?1,0,1,2} 的值域是 . 2 5. 函数 y ? ? 的定义域是 .(用区间表示) x 6. 已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ,求 f (3) 、 f (? 2) 、 f (a ? 1) 的值. .

7. 已知 y ? f (t ) ? t ? 2 , t ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 . (1)求 t (0) 的值; (2)求 f (t ) 的定义域; (3)试用 x 表示 y.

8.已知函数 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =__ 2 2 3 4 1? x

1.2.1 第二课时

函数的概念 函数概念的应用

【学习目标】 1.进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准; 2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域. 3.经历求函数定义域及值域的过程,培养学生良好的数学学习品质。 【学习过程】 1、创设情境 下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数?为什么? (1)f(x)= (x-1) 0;g(x)=1 ; (2) f(x)=x;g(x)= x2; 、 (3)f(x)=x 2;g(x)=(x + 1) 2 ; (4) f(x) =|x|;g(x)= x2. 2、讲解新课 总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 3、典例 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? x ? 1 ? x ? 1 ; (2) y ?
1
3

x ?3

2

? 5 ? x2 ;

点评: 求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的 x 的取值范围,列出不 等式(组) ,然后求出它们的解集.其准则一般来说有以下几个: ① 分式中,分母不等于零. ② 偶次根式中,被开方数为非负数. ③ 对于 y ? x 0 中,要求 x≠0. 变式练习 1 求下列函数的定义域: (1) y ?
( x ? 1) 0 | x | ?x

; (2) y ? 2x ? 3 ?

1 2?x

?

1 . x

说明:若 A 是函数 y ? f ( x) 的定义域,则对于 A 中的每一个 x,在集合 B 都有一个值输出 值 y 与之对应.我们将所有的输出值 y 组成的集合称为函数的值域.

B A x
f

C
f ( x)

因此我们可以知道:对于函数 f:A

B 而言,如果如果值域是 C,那么 C ? B ,因

此不能将集合 B 当成是函数的值域. 我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义 域都确定了,那么函数的值域也就确定了. 例 2.求下列两个函数的定义域与值域: (1)f (x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}; (2)f (x)=( x-1)2+1.

变式练习 2 求下列函数的值域: (1) y ? x 2 ? 4 x ? 6 , x ? [1 , 5) ; (2) y ?
3x ? 1 ; x ?1

4、 课堂小结 (1)同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 (2)求解函数值域问题主要有两种方法:一是根据函数的图象和性质(或借助基本的函 数的值域)由定义域直接推算;二是对于分式函数,利用分离常数法得到 y 的取值范围.

课后作业:
1. 函数 f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 的定义域是( ). A. [?3,1] B. ( ?3,1) C. R D. ? 2x ? 1 2. 函数 y ? 的值域是( ). 3x ? 2 1 1 2 2 1 1 A. (??, ? ) ? (? , ??) B. (??, ) ? ( , ??) C. (??, ? ) ? (? , ??) 3 3 3 3 2 2 3. 下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是( ) A. f ( x) ? x, g ( x) ? ( x )2 B. f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x ? 1)2 ? x ( x ? 0) C. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 D. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ? ?? x ( x ? 0) 4. 函数 f(x) =
x ?1 +

D. R

1 的定义域用区间表示是 2? x

.

? x ? 2, x ? ?1 ? 2 5.已知函数 f ( x) ? ? x , ? 1 ? x ? 2, 若f (a ) ? 3 ,则实数 a 的值是__________. ? 2 x, x ? 2 ?

6.求下列函数的定义域 (用区间表示). x?2 (1) f ( x) ? ? ?3x ? 4 ; x ?3 1 (2) f ( x) ? 9 ? x ? x?4

7.求下列函数的值域(用区间表示) : (1)y=x 2 -3x+4; (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 ; (3)y=

?5 ; x?3

(4) f ( x) ?

x?2 x?3

1.2.2

函数的表示法(一)

学习目标 1.掌握函数的三种表示方法:列表法、图象法、解析法,体会三种表示方法的特点. 2.掌握函数图象的画法及解析式的求法. 自学导引 表示函数的方法常用的有:解析法、图象法、列表法. (1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; (2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系; (3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系

. 一、函数的表示法 例 1 观察下面的表格并回答问题,某同学在一个学期中数学月考成绩如下表: 月 份 9 10 11 12 1 数学成绩 (分) 83 68 97 86 79 你能说出数学成绩关于月份的函数的定义域和值域吗?

变式迁移 1 (1)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位:100 kg)如表所示:
月份 t
零售量 y

1 81

2 84

3

4

5

6

7

8

9

10

11 144

12 123

45 46 9 5 6 15 94 161 则零售量是否为月份的函数?为什么?

(2)由下列图形是否能确定 y 是 x 的函数?

二、函数解析式的求法 例 2 求下列函数的解析式: (1)已知:f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).

变式迁移 2 已知 f(2x+1)=x2+1,求 f(x)的解析式.

三、函数图象的作法 例 3 作出下列各函数的图象: (1)y=1-x,x∈Z; (2)y=|x-1| (x>0).

变式迁移 3 ①若(1)中定义域为{x|x≤0}; ②若(2)中定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}.解析式不变,应如何作图.

1.函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法. 2.画函数图象的方法:(1)列表、描点、连线;(2)图象变换. 3.求函数解析式的方法有:换元法、配凑法、待定系数法等.

一、选择题 1.下图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是(

)

2.下列表格中的 x 与 y 能构成函数的是( ) A. x 非负数 非正数 y 1 -1 B. x 0 奇数 偶数 y 1 0 -1 C. x 有理数 无理数 y 1 -1 D. x 自然数 整数 有理数 y 1 0 -1 1-x2 1 3.若 f(1-2x)= 2 (x≠0),那么 f ( ) 等于( ) x 2 A.1 B.3 C.15 D.30 4.已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)等于( ) A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 5.函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 的交点个数为( ) A.可能无数 B.只有一个 C.至多一个 D.至少一个 二、填空题 6.已知 f(2x+1)=3x-2 且 f(a)=4,则 a 的值为______. 7.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,

该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点 到 6 点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是________.

8.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出. x f(x) x g(x) 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 1

则 f[g(1)]的值为____________;当 g[f(x)]=2 时,x=__________. 9. 设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积 y 关于 x 的函数的解析式,并写出定 义域.

10. 一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? 1 ? 2 x ,求 f ( x) .

11. 若 f ( x ? 1) ? 2 x2 ? 1 ,求 f ( x) .

1.2.2

函数的表示法(二)

学习目标 1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射. 自学导引 1.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应关系 的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段 函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 2.映射的概念 3.映射与函数 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成 函数的两个集合 A,B 必须是非空数集.

一、分段函数的求值问题 x+2 (x≤-1), ? ?2 例 1 已知函数 f(x)=?x (-1<x<2), ? ?2x (x≥2).

(1)求 f[f( 3)]的值;(2)若 f(a)=3,求 a 的值.

变式迁移 1

?2x-1 (x≥0), 设 f(x)=? 1 ?x (x<0),

1

若 f(a)>a,则实数 a 的取值范围是________.

二、分段函数的实际应用

例 2 在运距不超过 500 公里以内投寄快递包裹, 首重不超过 1 000 克需付邮资 5 元, 5 000 克以内续重每 500 克需付邮资 2 元,5 001 克以上续重 500 克需付邮资 1 元.一件重 x 克的包 裹需付邮资 y 元,请写出在运距不超过 500 公里以内投寄快递包裹需付邮资 y 元与包裹重量 x 克(0<x≤4 000)之间的函数表达式,求出函数的值域,并作出函数的图象.

变式迁移 2 某地出租车的出租费为 4 千米以内(含 4 千米), 按起步费收 10 元, 超过 4 千米按 每千米加收 1 元,超过 20 千米(不含 20 千米)每千米再加收 0.2 元,若将出租车费设为 y,所 走千米数设为 x,试写出 y=f(x)的表达式,并画出其图象.

三、映射概念及运用 例3 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么?

(1)A= x | x ? R* , B ? ?y | y ? R? , f :x?y?? x (2)A=R,B= ?0,1?, 对应关系 f: x ? y ? ? (3)A=Z,B=Q,对应关系 f: x ? y ?

?

?

?1, x ? 0; ?0,x ? 0;

1 ; x

(4)A= ?0,1,2,9?, B ? ?0,1,4,9,64? ,对应关系 f: a ? b ? (a ? 1) 2 。

变式迁移 3 下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? (1)A=R,B=R,f:x ? y ?

1 ; x ?1

(2)A= ?a | a ? n, n ? N ? ?,B= ?b | b ? (3)A=[0,+ ? ],B=R,f:x ? y ? x
2

? ?

1 1 ? , n ? N ? ?, f : a ? b ? ; n a ?

(4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外接圆.

1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定 义域、值域的并集. 2.判断一个对应是不是映射,先看第一集合 A:看集合 A 中的每一个元素是否都有对应元素, 若有,再看对应元素是否唯一;至于集合 B 中的元素不作任何要求.

1.设数集 A={a.,,b,c},集合 B=R,以下对应关系中,一定能建立 A 到 B 的映射的是( A.对 A 中的数开平方, B.对 A 中的数取倒数 C.对 A 中的数求算术平方根, D.对 A 中的数开立方 2.已知 A= ?? 1,1? ,映射 f:A ?A,则对 x∈A,下列关系中肯定错误的是( A.f(x)=x B.f(x)=-1, C.f(x)=x2 3.下列给出的函数是分段函数的是( ), D.f(x)=x+2
? x ? 1, x ? R,
2 ? x , x ? 2,

)

)

? x 2 ? 1,1 ? x ? 5, (1)f(x)= ? ?2 x, x ? 1
(3)f(x)= ? A.(1)(2)

(2)f(x)= ?

?2 x ? 3,1 ? x ? 5,
2 ? x , x ? 1,

(4)f(x)= ? C.(2)(4)

? x 2 ? 3, x ? 0, , ? x ? 1, x ? 5
D.(3)(4), ),

B.(1)(4),

? x?x ? 0 ? ? x 2 ?x ? 0? 4.已知 f(x)= ? ,g(x)= ? ,则当 x<0 时,f[g(x)]为( 2 ?? x ? x ? 0 ? ? x?x ? 0 ?

A.-x B.-x2 C .x D.x2, 5.已知 A={x|0≤x≤3}, B={y|0≤y≤3}, 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系不是映射的是( Af: x ? y ?

),

1 2 x 2

B.f: x ? y ?

1 2 1 x C. f : x ? y ? x 2 3 4

D. f : x ? y ?

1 2 x 5

6.设函数 f(x)= ?

?| x ? 1 |, x ? 1 使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是__________., ?? x ? 3, x ? 1

?0 ? x ? 0 ? ? 7.已知 f(x)= ?? ? x ? 0 ? ,则 f(f(f(-1)))的值是__________., ? x ? 1? x ? 0 ? ?
8.已知函数 f(n)= ?
?n ? 3 ? n ? 10 ? ? ,其中 n∈N,则 f(8)=________. ? ? n ? 10 ? f ? f n ? 5 ? ? ? ? ? ?

9.若[x]表示不超过 x 的最大整数,画出 y=[x] (-3≤x≤3)的图象.

10.设 f : A ? B 是从集合 A 到 B 的映射, A ? B ? ( x, y) x ? R, y ? R ,

?

?

f : ( x, y) ? (kx, y ? b) ,若 B 中元素(6,2)在映射 f 下的原象是(3,1), 则 k , b 的值分别为________.


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