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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习:选修系列—综合测试]


选修系列——综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2014· 银川一中第一次月考)已知命题 α:如果 x<3,那么 x<5;命题 β:如果 x≥3, 那么 x≥5;命题 γ:如果 x≥5,那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确 的是( )

①命题 α 是命题 β 的否命题,且命题 γ 是命题 β 的逆命题 ②命题 α 是命题 β 的逆命题,且命题 γ 是命题 β 的否命题 ③命题 β 是命题 α 的否命题,且命题 γ 是命题 α 的逆否命题 A.①③ C.②③ [答案] A [解析] 逆命题把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以 否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③ 正确,选 A. 2.在如下图所示的各图中,两个变量具有相关关系的是( ) B.② D.①②③

A.(1)(2) C.(2)(4) [答案] D

B.(1)(3) D.(2)(3)

[解析] (1)为函数关系,(4)关系很不明显. 1-2i 3.(2014· 广州一测)已知 i 是虚数单位,则 等于( 2+i A.i 4 3 C. - i 5 5 [答案] D 4 B. -i 5 D.-i )

[解析]

1-2i ?1-2i??2-i? 2-4i-i+2i2 -5i = = = =-i,故答案选 D. 5 2+i ?2+i??2-i? 22-i2

4.在等差数列{an}中,若 an>0,公差 d>0,则有 a4· a6>a3· a7,类比上述性质,在等比数 列{bn}中,若 bn>0,公比 q>1,则 b4、b5、b7、b8 的一个不等关系是( A.b4+b8>b5+b7 C.b4+b7>b5+b8 [答案] A [解析] 在等差数列{an}中, 由于 4+6=3+7 时有 a4· a6>a3· a7, 所以在等比数列{bn}中,由于 4+8=5+7, 所以应有 b4+b8>b5+b7,选 A. 5.(2014· 唐山二模)若命题“?x0∈R ,使得 x2 0+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.[2,6] C.(2,6) [答案] A [解析] 因命题“?x0∈R, 使得 x2 故其否命题“?x∈R, 0+mx0+2m-3<0”为假命题, x2+mx+2m-3≥0 恒成立”为真命题,因为二次函数图像开口向上,所以 Δ=m2-4(2m- 3)≤0,∴m∈[2,6]. 6.(2014· 杭州质检)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此 ^ 进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程y=0.67x+ 54.9.表中一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为( 零件数 x(个) 加工时间 y(min) A.75 C.68 [答案] C - - m+307 [解析] 设表中模糊看不清的数据为 m,由表中数据得: x =30, y = ,因为由 5 ^ - - m+307 最小二乘法求得回归方程为y=0.67x+54.9,将 x =30, y = 代入回归直线方程,得 5 m=68,故选 C. 7.(2013· 辽宁大连 24 中高二期末)f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,且 f(-2)=0,则不等式 f(x)· g(x)<0 的解集为( A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) ) 10 62 B.62 D.81 20 30 75 ) 40 81 50 89 ) B.[-6,2] D.(-6,-2) B.b4+b8<b5+b7 D.b4+b7<b5+b8 )

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] A

D.(-∞,-2)∪(0,2)

[解析] 令 h(x)=f(x)· g(x),h(-x)=f(-x)· g(-x), ∵f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), ∴h(-x)=-f(x)· g(x)=-h(x), ∴函数 h(x)为奇函数, 又∵h(-2)=f(-2)· g(-2)=0,∴h(2)=0. 又 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0 在 x<0 时恒成立,∴函数 h(x)在(-∞,0)上是减函 数. 又∵h(x)为奇函数,∴h(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴不等式 f(x)· g(x)<0 的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 8. (2014· 北京西城区期末)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( )

A.3 C.7 [答案] D

B.6 D.10

[解析] 由框图可知该循环结构框图的作用是求数列的和,到 n=4 时结束循环,所以 S =0+1+2+3+4=10.故选 D. 9.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值依次是( A.12,-15 C.5,-4 [答案] B [解析] y′=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)· (x+1), 令 y′=0, 得 x=-1 或 x=2, ∵x∈[0,3], ∴x=-1 舍去. 列表如下: B.5,-15 D.-4,-15 )

x f ′(x) f(x)

0

(0,2) -

2 0 极小值-15

(2,3) +

3

5

-4

由上表可知,函数在[0,3]上的最大值为 5,最小值为-15,故选 B. 10.(2013· 广东深圳高二期中)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳 推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等 于( ) A.f(x) C.g(x) [答案] D [解析] 观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得,偶函数的导 函数为奇函数,又∵f(x)为偶函数,∴f(x)的导函数 g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x),故选 D. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上) 11.(2014· 浙江五校联考)已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f′(x)是 f(x)的导函数,若 f′(α) =2f(α),则 tan2α=__________________. 3 [答案] - 4 [解析] ∵f′(x)=cosx+sinx,由 f′(α)=2f(α)得 cosα+sinα=2sinα-2cosα,故 tanα=3, ∴tan2α= 2×3 2tanα 3 =- . 2 = 4 1-tan α 1-9 B.-f(x) D.-g(x)

x y 12.在平面直角坐标系内,方程 + =1 表示在 x,y 轴上的截距分别为 a,b 的直线, a b 拓展到空间,在 x,y,z 轴上的截距分别为 a,b,c(abc≠0)的平面方程为________. [答案] x y z + + =1 a b c

x y z [解析] 由类比推理可知,方程为 + + =1. a b c 13.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,?,则 a8 =________. [答案] 512 [解析] 由 a1,a2,a3,a4 的形式可归纳, ∵1+2+?+7=28, ∴a8 的首项应为第 29 个正奇数, 即 2×29-1=57,

∴a8=57+59+61+63+65+67+69+71=512. 14.(2013· 武汉市部分重点中学高二期中)若 y=alnx+bx2+x 在 x=1 和 x=2 处取得极 值,则 a=________,b=________. 2 [答案] - 3 1 - 6

a [解析] y′= +2bx+1, x a+2b+1=0 ? ? 由题意得?a , ?2+4b+1=0 ? 2 1 解得 a=- ,b=- . 3 6 x2 y2 15.(2014· 绍兴月考)若双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 a b 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 [答案] 2 3 3 两段,则此双曲线的离心率为________.

b x2 y2 [解析] 根据题意, 作图如下, 抛物线 y2=2bx 的焦点 F( , 0), 双曲线 2- 2=1(a>b>0) 2 a b b +c b b |F1F| 2 5 的焦点 F1(-c,0),F2(c,0),则|F1F|= +c,|F2F|=c- ,故 = = ,解得:c=2b, 2 2 |F2F| b 3 c- 2 c c c 2 3 所以 e= = 2 = . 2= a 3 3 c -b c 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x2 y2 16. (本题满分 12 分)(2013· 山东临沂市重点中学高二期末)已知命题 p: 方程 + 2-m m-1 =1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线,命题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,又 p 或 q 为真,? q 为真,求实数 m 的取值范围. [答案] m≥3
?2-m<0 ? [解析] p:? ,∴m>2. ? ?m-1>0

故 p:m>2.

q:△=16(m-2)2-16<0, 即 m2-4m+3<0, ∴1<m<3. 故 q:1<m<3. 又∵p∨q 为真,? q 为真, ∴p 真 q 假,
?m>2 ? 即? , ?m≤1或m≥3 ?

∴m≥3. 17.(本题满分 12 分)过抛物线 y=ax2(a>0)的顶点 O 作两条相互垂直的弦 OP 和 OQ, 求证:直线 PQ 恒过一个定点.
2 [解析] 证明:设 P(x1,ax2 1),Q(x2,ax2),则直线 PQ 的斜率为 kPQ=a(x1+x2),

∴其方程为 y-ax2 1=a(x1+x2)(x-x1), 即 y-a(x1+x2)x+ax1x2=0, ∵OP⊥OQ,∴kOP· kOQ=-1?a2x1· x2=-1. 1 ∴y- =a(x1+x2)(x-0). a 1? ∴PQ 恒过定点? ?0,a?. 18.(本题满分 12 分)用分析法证明:若 a>0,则 [解析] 要证 只需证 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2, a a 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1 1 a2+ 2+2≥a+ + 2. a a

∵a>0,∴两边均大于 0. ∴只需证?

?

1 1 ? a+ + 2?2. a2+ 2+2 2≥? ? a ? ? a 1 1 1 a+ ? , a2+ 2≥a2+ 2+4+2 2? a? ? a a

1 只需证 a2+ 2+4+4 a 只需证

1 1 2 a+ ?, a2+ 2≥ ? a 2 ? a?

1 1 2 1 a + 2+2?, 只需证 a2+ 2≥ ? a ? a 2? 1 只需证 a2+ 2≥2,而这显然是成立的. a ∴原不等式成立. 19.(本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们

刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按 同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你 得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1 (2)f(n)=2n2-2n+1 3 1 (3) - 2 2n

[答案] (1)41

[解析] (1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ?? 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n?f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1) +4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. 1 1 1 1 1 (3)当 n≥2 时, = = ( - ), f?n?-1 2n?n-1? 2 n-1 n ∴ 1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ · (1- + - + - +?+ - ) 2 2 2 3 3 4 n-1 n 1 1 3 1 =1+ (1- )= - . 2 n 2 2n 20.(本题满分 13 分)(2013· 河南安阳市第二中学期末)已知椭圆 C 短轴的一个端点为 2 2 (0,1),离心率为 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 y=x+2 交椭圆于 A、B 两点,求线段 AB 的长. x2 6 3 [答案] (1) +y2=1 (2) 9 5 x2 y2 [解析] (1)由题意可设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 2 2 ∵b=1, = , a 3 ∴a2=9,b2=1. x2 ∴椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 9 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). y=x+2 ? ?2 由?x ,得 10x2+36x+27=0. 2 + y = 1 ?9 ? 18 27 ∴x1+x2=- ,x1x2= , 5 10 ∴|AB|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 2 324 108 6 3 - = . 25 10 5

6 3 ∴线段 AB 的长为 . 5 21.(本题满分 12 分)设 a∈R,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[0,2]时,若|f(x)|≤2 恒成立,求 a 的取值范围. 1 1 [答案] 增区间[-∞,- )和(1,+∞),减区间(- ,1) 3 3 (2)[-1,0] [解析] (1)对函数 f(x)求导数, 得 f ′(x)=3x2-2x-1. 1 令 f ′(x)>0,解得 x>1 或 x<- ; 3 1 令 f ′(x)<0,解得- <x<1. 3 1 所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,- )和(1,+∞), 3 1 ? f(x)的单调递减区间为? ?-3,1?. (2)由(1)知,f(x)在(0,1)上是递减的,在(1,2)上是递增的,

所以,f(x)在[0,2]上的最小值为 f(1)=-1+a; 由 f(0)=a,f(2)=2+a,知 f(0)<f(2), 所以,f(x)在[0,2]上的最大值为 f(2)=2+a. 因为,当 x∈[0,2]时, |f(x)|≤2?-2≤f(x)≤2
?-1+a≥-2 ? ?? ,解得-1≤a≤0, ? ?2+a≤2

即 a 的取值范围是[-1,0].



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