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2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题



2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
(考试时间:2015 年 5 月 17 日上午 8:30—10:30) 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 考试座位号: 满分: 150 分

题号 得分

填空题

11

12

13

总分<

br />
注意:1. 所有答题均写在密封线右边,写在其他纸上一律无效; 2. 密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 一、填空题 (本大题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分,请将答案填写在下面答题卡相应的横线上) 所在学校:

1. 6.
1.函数 y ? 答题不要超过此线 2. 6
11

; 2. ; 7.

; 3. ; 8.

; 4. ; 9.

; 5. ; 10.

; ;

2 x 2 ? 3 x ? 2 ? x 2 ? x 的最小值是

1 10 2 9 10 ? C11 6 ? C11 6 ? ? ? C11 6 ? 1 被 8 除所得余数是_______ .

3.已知实数 x, y , z 满足 x ?

y ? 2 z ? 4, xy ? yz ? zx ? 2 ,则 z 的取值范围是_______.
1 (n ? 1) n ? n n ? 1
( n ? N? ) ,其前 n 项和为 S n ,则在

4.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ?

准考证号:

密封线

数列 S1 , S 2 ,… , S 2015 中,有理数项共有 5.四面体 A ? BCD 中, AB ? CD ? 5, AC ? BD ? 的外接球半径为
2

项.

34, AD ? BC ? 41 ,则四面体 A ? BCD

.

性别:

6 . 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 , a, b, c 互 异 , 且 都 在 集 合

A ? {n || n |? 5, n ? Z } 中取值,则这些抛物线中通过点 (0, ? 1) 的有_______个.
7. ?ABC 内有 2015 个点,加上三个顶点,共有 2018 个点.把这些点连线,形成互不重叠的小三 . 角形,则一共可以形成小三角形的个数是 8.在锐角 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边长依次为 a, b, c ,若 围为 .

b2 cos 2 B ? , 则 ?B 的取值范 ac cos A ? cos C

姓名:

9 .设复数 z1 ? (2 ? a ) ? (1 ? b) i , z2 ? (3 ? 2a ) ? (2 ? 3b) i , z3 ? (3 ? a ) ? (3 ? 2b) i , 其中 a, b ? R , 当 z1 ? z2 ? z3 取得最小值时, 3a ? 4b ? __________.
2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 1页(共 4页)

10.设正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1,, 2 ?, 500? 中任取一个元素 m, m 整除 n 的概 率是

1 ,则正整数 n 的最大值是 100

.

二、解答题 (本大题共 3 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

11. (本小题满分 20 分)
设 a, b, c ? R , 且 a ? b ? c ? 3 ,求
?

a4 b4 c4 的最小值. ? ? b2 ? c c2 ? a a 2 ? b

2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 2页(共 4页)

12. (本小题满分 25 分) 如图,已知 PA 、 PB 是由圆 O 外一点 P 引出的两条切线, M 、 N 分别是线段 AP 、 AB 的中点, 点 E 在 M 与 N 之间,PC 与圆 O 交于点 D , 延长 ND 与 PB 交于点 Q . 直线 MN 与圆 O 交于点 C 、E , 求证:四边形 MNQP 为菱形.

(第 12 题图)

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13. (本小题满分 25 分) 动点 P 在椭圆 x ? a ( y ? 1) ? a ( a ? 0) 上移动时,求连结原点 O 和点 P 所得线段长的最大值.
2 2

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