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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 5.4 数列求和限时集训 理



限时集训(三十)

数 列 求 和

(限时:50 分钟 满分:106 分) 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)
?1? 1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?

5 项和为( A. C. 15 或5

8 31 16

) 31 B. 或 5 16 15 D. 8
n

2.若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n-1,则数列{an}的前 n 项和 Sn 为( A.2 +n -1 C.2
n+1 n
2

)

B.2

n+1

+n -1

2

+n -2

2

D.2 +n-2 )

n

1 1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1- C.n +1-
2 2

1 n 2 1 2
n-1

1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2 )

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S8=30,S4=7,则 a4 的值等于( A. C. 1 4 13 4 ) 2 B.
n+1

9 B. 4 17 D. 4

1 1 3 n 5. + + +?+ n等于( 2 2 8 2 A. C. 2 -n-1 n 2 2 -n+1 n 2
n n

-n-2 n 2 -n+2 n 2
*

2 D.
2

n+1

6.已知数列{an}的通项公式为 an=n cos nπ (n∈N ),Sn 为它的前 n 项和,则 等 2 013 于 ( A.1 005 C.2 011 B.1 006 D.2 012 )

S2 012

1

7. (2013·锦州模拟)设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1, 则数列? ∈N )的前 n 项和是( A. C.
*

m

? ?f?

1

n?

? ?(n ?

) B.

n n+1 n n-1
n

n+2 n+1 n+1 n
*

D.

8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1·an=2 (n∈N ),设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 012 = ( A.2
2 012

)

-1
1 006

B.3×2 -1 D.3×2

1 006

-3 -2

C.3×2

1 006

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 1 9.(2013·大同模拟)数列 1, , ,?的前 n 和 Sn=________. 1+2 1+2+3 10.(2012·江西高考)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意 的 n∈N 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=________. 11.已知数列{an}中, a1=-60, an+1 =an +3,则这个数列前 30 项的绝对值的和是 ________ 12.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 13.设数列{an}是公差大于 0 的等差数列,a3,a5 分别是方程 x -14x+45=0 的两个实 根,则数列{an}的通项公式是 an=________;若 bn= ________. 14.数列{an}的通项 an=n?cos ________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
2 *

n

an+1
2
n+1

,则数列{bn}的前 n 项和 Tn=

? ?

2


2

-sin

2

nπ ?

(n∈N ),其前 n 项和为 Sn,则 S2 013= 2 ? ?
*

2

16.(2012·合肥模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x +1 上,n∈N . (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.
*

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N ). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;

*

Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1, 数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 013 的 n 2n-1
的最小值.

答 案 [限时集训(三十)] 1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.解析:由于数列的通项

an=

1 = 1+2+3+?+n n?

2

n+1?
3

1 ? ?1 =2? - ?, ?n n+1?

? 1 1 1 1 1 ∴Sn=2?1- + - + - +?+ ? 2 2 3 3 4
1 ? n n+1? ? 1 - =2?1- 答案:

? ?

1 ? 2n = . n+1? n+1 ?

2n n+1
2 2

10.解析:由 an+2+an+1-2an=0,得 anq +anq-2an=0,显然 an≠0,所以 q +q-2= 1×[1-? -2? 0.又 q≠1,解得 q=-2.又 a1=1,所以 S5= 1-? -2? 答案:11 11. 解析: 由题意知{an}是等差数列, n=-60+3(n-1)=3n-63, a≥0, a 令 解得 n≥21. ∴|a1|+|a2|+|a3|+?+|a30| =-(a1+a2+?+a20)+(a21+?+a30)=S30-2S20 = ? -60+90-63? 2 ×30 -(-60+60-
5

] =11.

63)×20=765. 答案:765 12.解析:∵an+1-an=2 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+ (a2-a1)+a1 =2
n-1 n

+2
n

n-2

+?+2 +2+2

2

2-2 n n = +2=2 -2+2=2 . 1-2 2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 答案:2
n+1 n+1

-2
2

13.解析:因为方程 x -14x+45=0 的两个根分别为 5、9,所以由题意可知 a3=5,a5 =9,所以 d=2,所以 an=a3+(n-3)d=2n-1. ∵bn=

an+1
2
n+1

1 =n· n, 2 ①

1 1 1 1 1 ∴Tn=1× +2× 2+3× 3+?+(n-1)× n-1+n· n, 2 2 2 2 2

4

1 1 1 1 1 ∴ Tn=1× 2+2× 3+?+(n-1)× n+n· n+1,② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n+2 ①-②得, Tn= + 2+ 3+?+ n-1+ n-n· n+1=1- n+1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 Tn=2- 答案:2n-1

n+2
2
n

.

2-

n+2
2
n

14.解析:∵an=n?cos =ncos nπ ,

? ?

2


2

-sin

2

nπ ?
2 ? ?

∴a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,?, ∴S2 013=(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+?+(-2 009)+2 010+(-2 011)+2 012 +(-2 013) =[(-1)+2]+[(-3)+4]+[(-5)+6]+?+[(-2 009)+2 010]+[(-2 011)+2 012]+(-2013) =1+1+?+1+1-2 013 =1 006-2 013=-1 007. 答案:-1 007 15.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d, 由题意得
? ?3a1+3d=-3, ? ? ?a1? a1+d? ? a1+2d?

=8.

解得?

?a1=2, ? ? ?d=-3,

或?

?a1=-4, ? ? ?d=3.

所以由等差数列通项公式可得

an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7.
故 an=-3n+5 或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-7|
?-3n+7,n=1,2, ? =? ? ?3n-7,n≥3.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn.

5

当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7) ? n-2? =5+ [2+? 3n-7? 2 ] 3 2 11 = n - n+10.当 n=2 时,满足此式. 2 2

综上可知,

?4,n=1, ? Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10,n>1. ?
16.解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N ). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, 即 an+1=4an,n>1. 又 a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,an+1=4an,
*

an+1=4n, bn=log4an+1=n. cn=an+bn=4n-1+n, Tn=c1+c2+?+cn=(40+1)+(41+2)+?+(4n-1+n)
=(1+4+4 +?+4 (1+2+3+?+n) 4 -1 ? 1+n? n = + . 3 2 17.解:(1)证明:因为 Sn+n=2an,即 Sn=2an-n, 所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N ). 两式相减化简,得 an=2an-1+1. 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N ). 所以数列{an+1}为等比数列. 因为 Sn+n=2an,令 n=1,得 a1=1.
* * 2

n-1

)+

n

a1+1=2,所以 an+1=2n,
即 an=2 -1. (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1, 所以 bn=(2n+1)·2 . 所以 Tn=3×2+5×2 +7×2 +?+(2n-1)·2
2 3

n

n

n-1

+(2n+1)·2 ,①
6

n

2Tn=3×2 +5×2 +?+(2n-1)·2 +(2n+1)·2
2 3

2

3

n

n+1

,②
n+1

①-②,得-Tn=3×2+2(2 +2 +?+2 )-(2n+1)·2 2 -2 n+1 =6+2× -(2n+1)·2 1-2 =-2+2
n+2
2

n

n+1

-(2n+1)·2
n+1

n+1

=-2-(2n-1)·2

.
n+1

所以 Tn=2+(2n-1)·2 若 则

.

Tn-2 >2 013, 2n-1
2+?
10

2n-1? ·2 2n-1
11

n+1

-2 n+1 >2 013,即 2 >2 013.

由于 2 =1 024,2 =2 048, 所以 n+1≥11,即 n≥10. 所以满足不等式

Tn-2 >2 013 的 n 的最小值是 10. 2n-1

7



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