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云南省玉溪一中2014-2015学年高二下学期期末考试理科数学试题



玉溪一中 2014—2015 学年下学期期末考试

高二理科数学试题
命题人:杨本铭

本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 考试时间:120 分钟;满分:150 分.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在

每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.)
x ? ? ? ?1? ? 1.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x ? ? ? 2? , B ? y y ? lg(x 2 ? 1) ,则(?U A )∩ B ? 2 ? ? ? ? ? ?

?

?

A. x x ? ?1或x ? 0 C. x x ? 0

?

?

B. ( x, y) x ? ?1, y ? 0 D. x x ? ?1

?

?

?

?
1 2 ? z 对应的点所在象限为 z
B.第二象限

?

?

2.复数 z ? 1 ? i ,则 A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

3.把函数 y ? sin 3 x 的图象适当变换就可以得到 y ? 以是 A.沿 x 轴方向向右平移 C.沿 x 轴方向向右平移

2 (sin 3x ? cos 3x) 的图象,这个变换可 2
B.沿 x 轴方向向左平移

?
4

?
4

?
12

D.沿 x 轴方向向左平移

?
12

( x ? 0) ? 0, ? 4.已知函数 f ( x) ? ? ? , ( x ? 0) ,则 f ( f ( f (?1))) 的值等于 ?? ? ? 1, ( x ? 0) ?
A. ? 2 ? 1 D.0 5.数列 ?an ?中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? an ?1 ? an ( n ? N * ),则 a2015 ? A.2 D. ? 2 B.1 C. ?1 B. ? C. ? 2 ? 1

6.某高三学生进入高中三年来的第 1 次至 14 次数学考试成绩分别为:79,83,93,86,99, 98,94,88,98,91,95,103,101,114,依次记为 A1 , A2 ,?, A14 .如图是成绩在一定范 围内考试次数的一个算法流程图.那么输出的结果是 A.8 B.9 D.11

C.10

7.设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : x 2 ? 8 y 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心, FM 为半 径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是 A.(2, ? ? ) B.[2, ? ? ) D.[0, 2] 8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.15 B.16 D.18
开始 输入 A1, A2 ,? , A14
n ? 0, i ? 1

C.(0, 2)

C.17

i ? i ?1 n ? n ?1
i ? 14
否 是

是 Ai ? 90



正视图

侧视图

输出 n 结束
俯视图

(6 题图) 9.在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2 B ,则 A. (0, 2) D. ( 2 , 3 )

(8 题图)

(10 题图)

c 的范围是 b
C. (1, 3 )

B. ( 2 , 2)

10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB//DC,AB=2DC=2,∠DAB=60° ,E 为 AB 的中点,将 △ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 P﹣DCE 的 外接球的体积为

A. D.

6? 2

B.

6? 8

C.

6? 24

4 3? 27

11.设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) , 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ?( x) 成立, 则 A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定
y
B A

x2 y2 12.如右图, F1 、 F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、 a b
右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、

B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为
A.4 C. B. 7 D. 3

F1

O

F2

x

2 3 3

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
? ? ? ? ? ? ? ? 13.已知 a ? 2 , b ? 3 , (a ? 2b ) ? (2a ? b ) ? ?1 ,那么向量 a 与 b 的夹角为________.

?x ? y ? 0 ? 14.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ( a 为常数)表示的平面区域的面积是 16, ?x ? a ?
那么实数 a 的值为______________.

? 1 ? 15.若 a ? ? cos xdx ,则二项式 ? a x? ? ? ? 的展开式中的常数项为 ? x? ? 2

?

?

4

2



16.若 sin x ? sin y ? ,则 t ? sin x ? cos 2 y 的最大值为

1 3



三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn ? Sn ?1 ? 0 ( n ? 2 ,且 n ? N * ), a1 ?

1 . 2

?1? (Ⅰ)求证: ? ? 是等差数列; ? Sn ?
(Ⅱ)若 bn ? Sn ? Sn ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒, 其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随 机抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前 的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图.《中华人民共和国环境保 护法》规定食品的汞含量不得超过 1.0ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率; (Ⅱ)若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以 此 15 条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 罗非鱼的汞含量(ppm) 0 1 2 3 5 5 6 7 8 8 9 1 3 5 5 6 7

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ⊥底面
ABCD , E 、 F 分别为 AB 、 PC 的中点.

P

(Ⅰ)求证: EF // 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? 2 ,试问在线段 EF 上是否存在点 Q ,使得二面角

F

Q ? AP ? D 的余弦值为
明理由.

5 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说 5
D

A

E

B

C

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,短轴的一个端点为 M (0,1) ,直线 2 2 a b

1 l : y ? kx ? 与椭圆相交于不同的两点 A , B . 3 4 26 (Ⅰ)若 AB ? ,求 k 的值; 9 (Ⅱ)求证:不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过定点 M .

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 ?1, e?上的最大值为 2,求 a 的值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PBC 是过点 O 的割线, PA ? 10 , PB ? 5 ,
?BAC 的平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .

AB PA (Ⅰ)求证: ; ? AC PC (Ⅱ)求 AD? AE 的值.

A

C

O

D

B

P

E

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 在以原点 O ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin? . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 若点 P 的直角坐标为 (3, 5 ) , 圆 C 与直线 l 交于 A ,B 两点, 求 PA ? PB 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若实数 a , b 满足 ab ? 0 ,且 a 2b ? 4 ,若 a ? b ? m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的最大值; (Ⅱ)若 2 x ?1 ? x ? a ? b 对任意的实数 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围

玉溪一中 2014—2015 学年下学期期末考试
高二理科数学试题参考答案
一、选择题: 1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.B 11.A 12.B

二、填空题: 13. 120
o

14.2

15.24

16.

4 9

17.解析:(Ⅰ)证明:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, ∵满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N*), ∴Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0, 化为

?1? 1 1 1 1 ? =2, ? =2,∴ ? ? 是等差数列. S n S n ?1 S1 a1 ? Sn ?
1 =2+2(n﹣1)=2n, Sn

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得

∴ Sn ?

1 . 2n
1 1?1 1 ? ? ? ? ?. 4n(n ? 1) 4 ? n n ? 1 ?

∴bn=Sn?Sn+1=

∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn=

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ??

n 1? 1 ? = ?1 ? . ?= 4 ? n ? 1 ? 4( n ? 1)
18.解:(Ⅰ)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A ,则

P( A) ?

1 2 C5 C10 45 , ? 3 91 C15

∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为

45 . 91 5 1 ? , 15 3

(Ⅱ) 依题意可知, 记 “这批罗非鱼中任抽 1 条, 汞含量超标” 为事件 B, 则 P( B) ?

? 的可能取值为 0,1,2,3.
1? 8 1? 4 0? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ? 则 P(? ? 0) ? C3 , P(? ? 1) ? C3 ?1 ? ? ? 3 ? 3? 9 27 ? 3? 1? 2 1 2 ?1? ? 3? 1 ? P(? ? 2) ? C3 ? ? ? ?1 ? ? ? , P(? ? 3) ? C3 . ? ? ? 27 ? 3? ? 3? 9 ? 3?
其分布列如下:
2 3 3 2

?

0

1

2

3

P

8 27

4 9

2 9

1 27

所以 E? ? 0 ?

8 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 . 27 9 9 27

19.证明:(Ⅰ)取 PD 中点 M,连接 MF,MA.在 ΔCPD 中,F 为 PC 的中点,
∴MF 平行且等于

1 1 DC ,正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点, AE 平行且等于 DC , 2 2

∴AE 平行且等于 MF,故:EFMA 为平行四边形,∴EF∥AM 又∵EF ? 平面 PAD,AM ? 平面 PAD ∴EF∥平面 PAD (Ⅱ)如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

? 1 ? ?1 1 ? P(0,0,2) , B(0,1,0) , C (1,1,0) , E ? 0, ,0 ? , F ? , ,1? ? 2 ? ?2 2 ?
? 由题易知平面 PAD 的法向量为 n ? (0,1,0) ,

?1 ? 假设存在 Q 满足条件,则设 EQ ? ? EF , EF ? ? ,0,1? , ?2 ? ?? 1 ? ?? 1 ? Q? , , ? ? , ? ? ?0,1? , AP ? (0,0,2) , AQ ? ? , , ? ? ?? 2 ? ?2 2 ?
? 设平面 PAQ 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则

1 ?? ? ? x ? y ? ?z ? 0 ,取 x ? 1 得, m ? (1,?? ,0) 2 ?2 ? ?z ? 0

? ? ? ? m?n ?? ? 5 ∴ cos ? m, n ?? ? ? ? ,由已知: ? 2 2 mn 5 1? ? 1? ?

1 ,所以:满足条件的点 Q 存在,是 EF 中点. 2 c 2 20.(Ⅰ)由题意知 ? ,b ?1 a 2
解得: ? ? 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可得 c ? b ? 1 , a ? 2 ∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

1 ? y ? kx ? ? 4 16 3 ? 由? 2 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? kx ? ? 0 3 9 ? x ? y2 ? 1 ? ?2
?? 16 2 ?4 ? 16 ? k ? 4(2k 2 ? 1) ? ? ? ? ? 16k 2 ? ? 0 恒成立 9 9 9 ? ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?

4k 16 , x1 x2 ? ? 2 3( 2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

∴ AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 化简得 23k 4 ? 13k 2 ? 10 ? 0 ,即 (k 2 ? 1)(23k 2 ? 10) ? 0 解得 k ? ?1 (Ⅱ)∵ MA ? ( x1, y1 ?1) , MB ? ( x2 , y2 ?1)

4 (1 ? k 2 )(9k 2 ? 4) 4 26 , ? 9 3(2k 2 ? 1)

∴ MA ? MB ? x1x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ?1) ? 1 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ?

?

?

4 3

16 9

??

16(1 ? k 2 ) 16k 2 16 ? ? ?0. 2 2 9(2k ? 1) 9(2k ? 1) 9

∴不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M . 21.解:(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x,

f ?( x) =

1 ﹣1, x

曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 f′(1)=0, 又切点为(1,﹣1), 则切线方程为:y=﹣1;

1 1 ? ax , ?a ? x x 1 1 ①当 a>0 时,由 f′(x)>0,得 0<x< ,f′(x)<0,得 x> , a a 1 1 ∴f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减. a a 1 若 ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递减, a
(Ⅱ)定义域为(0,+∞),f′(x)= ∴f(x)max=f(1)=﹣a=2,a=﹣2 不成立;

1 1 ≥e,即 0<a≤ 时,f(x)在[1,e]上单调递增, e a 1 ∴f(x)max=f(e)=1﹣ae=2, ∴a= ? 不成立; e 1 1 1 1 若 1 ? <e,即 ? a ? 1 时,f(x)在(1, )上单调递增,在( ,e)上单调递减, e a a a 1 ﹣ ∴f(x)max=f( )=﹣1﹣lna=2,解得,a=e 3,不成立. a
若 ②当 a≤0 时,f′(x)>0 恒成立,则有 f(x)在[1,e]上递增, 则有 f(e)最大,且为 1﹣ae=2,解得 a= ?

1 . e

综上知,a= ?

1 . e

22.解析:(Ⅰ)∵PA 为圆 O 的切线,∴∠PAB=∠ACP, 又∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA,∴

AB PA ? AC PC

(Ⅱ)∵PA 为圆 O 的切线,PBC 是过点 O 的割线, ∴PA2=PB· PC,又 PA=10,PB=5,∴PC=20, BC=15, 由(Ⅰ)知,

AB PA 1 = ,∠CAB=90° , ? AC PC 2

∴AC2+AB2=BC2=225, ∴AC=6 5 ,AB=3 5 连接 CE,则∠ABC=∠E,又∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB, ∴

AB AD ? AE AC

所以 AD· AE=AB· AC=3 5 × 6 5 =90.

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 23.解:(Ⅰ)由 ? 得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
又由 ? ? 2 5 sin? 得圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 即 x2 ? ( y ? 5 )2 ? 5 . (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? ? ? 2 ? ? ? ? 2 t ? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 3 ? t 得? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?
由于 ? ? (3 2 )2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实数根, 所以 ? 1

2

? ?t ? t2 ? 3 2 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 ? ?t1 ? t2 ? 4

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 24.解:(Ⅰ)由题设可得 b ?

4 4 a a 4 >0,又 ab ? 0 ,∴a>0.∴a+b=a+ 2 = ? ? 2 ≥3, 2 2 2 a a a

当 a=2,b=1 时,a+b 取得最小值 3,∴m 的最大值为 3. (Ⅱ)要使 2|x-1|+|x|≤a+b 对任意的实数 a,b 恒成立,需且只需 2|x-1|+|x|≤3. 用零点区分法易求得实数 x 的取值范围是

1 5 ≤x≤ . 3 3



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