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山西省山大附中2015届高三12月月考数学理试题及答案



山西大学附中 2014 年高三第一学期 12 月月考 数学试题(理科) 考试时间:120 分钟 满分:150 分
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导, 在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力, 重视学生科学素养的考查. 知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、函数 的性质

及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、 复数、集合、程序框图、排列组合、参数方程、不等式选讲等;考查学生解决实际问题的综 合能力,是份较好的试卷. 【题文】一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.) 【题文】 1. 设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M ,函数 f ( x) ? lg 1 ? x 的定义域为 N ,则
2

?

?

M ?N ? A. ?- 1,0?

B. ?0,1?

C. ?0,1?

D. ?0,1?

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】B 解析:由 x ? x ? 0 得 0≤x≤1,所以 M=[0,1],由 1 ? x ? 0 得-1<x<1,所以 N=(-1,
2

1),则 M

N ? ?0,1? ,所以选 B.

【思路点拨】可先解不等式得 M,求函数的定义域得 N,再求交集即可. 【题文】2.若复数 z 满足 ?2 - i ?z ? 1 ? 2i ,则 z 的虚部位 A.

5 5

B.

5 i 5

C.1

D. i

【知识点】复数的运算 L4 【答案】 【解析】A 解析:因为 z ?

1 ? 2i 5 2 5 5 5 ? ? i ,所以虚部为 ,则选 A. ?2 ? i? ? 2?i 5 5 5 5

【思路点拨】可先由已知条件计算出复数 z 再判断其虚部,即可解答. 【题文】3.命题“若 a , b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的逆否命题是 A.若 a ? b 不是偶数,则 a , b 都不是偶数 B.若 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是偶数 C.若 a , b 都不是偶数,则 a ? b 不是偶数 D.若 a , b 不都是偶数,则 a ? b 不是偶数 【知识点】命题及其关系 A2 【答案】 【解析】B 解析:由命题的逆否命题的含义可知选 B. 【思路点拨】写一个命题的逆否命题,可先写出其否命题,再对条件和结论同时否定即可. 项和为 A.24 B.39 【知识点】等差数列的性质 D2

【题文】4.已知等差数列 ?a n ?且 3?a3 ? a5 ? ? 2?a7 ? a10 ? a13 ? ? 48 ,则数列 ?a n ? 的前 13 C.52 D.104

【答案】 【解析】C 解 析 : 因 为 3? a3 ? a5? ? 2? a7 ? a1 0 ? a1 , 所 以 a7 ? 4 , 则 ?3 ?6 a 4?6 a 1 0?12 a 7? 48 ,所以选 C. S1 3 ? 13a 7 ? 52 【思路点拨】一般遇到等差数列时,可先观察项的项数是否有性质特征,有性质特征的可用 性质转化求解. 【题文】5.若抛物线 y ? ax2 的焦点坐标是(0,1) ,则 a ? A.1 B.

1 2

C.2

D.

1 4

【知识点】抛物线的性质 H7 【答案】 【解析】D 解析:因为抛物线方程为 x ?
2

1 1 1 ? 1 ? y ,所以其焦点坐标为 ? 0, ? ,则有 ? 1, a ? ,所 a 4a 4 ? 4a ?

以选 D. 【思路点拨】 本题主要考查的是抛物线的性质, 由抛物线的方程求其焦点坐标时应先把方程 化成标准方程再进行求值. 【题文】6.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x(ab ? 0, x ? R) 在 x ? 数y ? f?

?
4

处取得最大值,则函

?? ? ? x? 是 ?4 ?

? 3? ? 0? ? , 0? 对称 B.偶函数且它的图像关于点 ? 2 ? 对称 A.偶函数且它的图像关于点 ??, ? 3? ? 0? ? , 0? 对称 C.奇函数且它的图像关于点 ? 2 ? 对称 D.奇函数且它的图像关于点 ??,
【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 【解析】B 解析:因为函数 f ( x) ? a sin x ? b co sx(ab ? 0, x ? R) 在 x ?

?
4

处取得最大值,所以 所 以 , 则s a

2 2 a? b ? a 2 ? b2 2 2



b=-a



f

? ??

s

x?

i ?

?a

n?

? ?x
a

c

?? ? o ? ?b ? 4? ?

(a

> s x 0)

i x

?? ? y ? f ? ? x ? ? 2a ?4 ?

?? ? s i x ?n ? ? ? ?2 ?

? 3? ? 0? ? , 所以为偶函数, 且它的图像关于点 x, 2 c o s ? 2 ?

对称,则选 B. 【思路点拨】可先结合最大值点得出 a,b 关系,再把函数 f(x)化成一个角的三角函数进行 解答判断即可.
2 【题文】7.执行如图所示的程序框图,若 f ( x) ? 3x ? 1,取 ? ?

1 ,则输出的值为 10

A.

19 32

B.

9 16

C.

5 8

D.

3 4

【知识点】程序框图 二分法求方程近似解 B9 L1 【答案】 【解析】A 解析:因为 f ? 0? ? ?1 ? 0, f ?1? ? 2 ? 0 ,第一次执行循环体时 f ?

1 ?1? 3 , ? ? ?1 ? ? ? 0 , 4 ?2? 4

a?

1 1 1 1 11 ? 3 ? 27 , b ? a ? 1? ? ? ;第二次执行循环体 f ? ? ? ?1 ? ? 0 , 2 2 2 10 16 ? 4 ? 16

3 1 1 b ? ,b ? a ? ? ; 第三次执行循环体 4 4 10

11 5 1 1 ? 5 ? 75 f ? ?? ?1 ? ? 0, b ? , b ? a ? ? , 64 8 8 10 ? 8 ? 64

9 5 ? 13 9 1 1 ?9? 16 8 ? 19 , 第四次执行循环体 f ? ? ? ? ? 0.a ? , b ? a ? ? ,所以输出 256 16 16 10 2 32 ? 16 ?
则选 A. 【思路点拨】遇到循环结构的程序框图时,可依次执行循环体,直到跳出循环再进行判断即 可. 【题文】8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】D 解析:三棱锥的三视图均为三角形,四个答案均满足;且四个三视图均表示一个高为 3, 底面为两直角边分别为 1,2 的棱锥;A 与 C 中俯视图正好旋转 180°,故应是从相反方向进

行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故 A,C 表示同 一棱锥;设 A 中观察的正方向为标准正方向,以 C 表示从后面观察该棱锥;B 与 D 中俯视图 正好旋转 180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满 足实际情况,故 B,D 中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据 B 中正视图与 A 中 侧视图相同,侧视图与 C 中正视图相同,可判断 B 是从左边观察该棱锥,综上可知选 D. 【思路点拨】由已知中的四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方 向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误的,根据 A 与 C 中俯视图正好旋转 180°,故应是 从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可 得 A,C 均正确,而根据 AC 可判断 B 正确,D 错误. 【 题 文 】 9. 已 知 A,B,C 三 点 是 某 球 的 一 个 截 面 的 内 接 三 角 形 的 三 个 顶 点 , 其 中 AB ? 18, BC ? 24, AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为 A. 1200 ? B. 1400 ? 【知识点】球的截面性质 G8 【答案】 【解析】A
2 2 2

C. 1600 ?

D. 1800 ?

解析:因为 AB ? BC ? AC ,所以三角形 ABC 外接圆圆心在 AC 中点处,半径为 15,设

?R? 2 球半径为 R ,由球的截面性质得 R ? ? ? ? 152 , 得 R ? 300 , 所以该球的表面积为 ?2?
2

2

4? R2 ? 1200? ,则选 A.
【思路点拨】 一般遇到球的截面问题时, 通常利用球的截面性质寻求截面与球半径的关系进 行解答.

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 【题文】10.已知约束条件 ?ax ? y ? 0 表示的平面区域为 D,若区域 D 内至少有一个点 ?x ? 1 ?
在函数 y ? e 的图像上,那么实数 a 的取值范围为
x

A. ?e,4?

B. ?e,???

C. ?1,3?

? ?? D. ?2,

【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】B x x 解析:由题意作出其平面区域及函数 y=e 的图象,结合函数图象知,当 x=1 时,y=e =e; 故实数 a 的取值范围为[e,+∞) ,所以选 B.

. 【思路点拨】可先作出指数函数 y ? e 的图象,再由不等式表示的平面区域数形结合得出
x

实数 a 满足的条件即可. 【题文】11.已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ?

ln x ?1 ? ,若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? , e? x ?e ?

内有两个实数解,则实数 k 的取值范围是 A. ?

?1 1 ? , ? 2 ? e 2e ?

B. ?

? 1 1? , ? ? 2e e ?

C. ? 0, 2 ?

? ?

1 ? e ?

D. ? ,?? ?

?1 ?e

? ?

【知识点】函数与方程 B9 【答案】 【解析】A 解析:由 f ( x) ? g ( x) 得 k ?

ln x ln x 1 ? 2 ln x ?0得x ? e, ,令 t ? x ? ? 2 ,由 t ' ? x ? ? 2 x x x3

得函数 t(x)在 ? , e ? 上单调递增,在 ? e , e ? 上单调递减,又 ? ? e

?1 ?

? ?

t

1? 1 ?1 ? ? e ? ? 21e , t ? ? ? ? ?e , t ? e ? ? ,所以若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? , e? 内有 e ?e ? ?e?
2 2

两个实数解,则实数 k 的取值范围是 ? 2 , ? ,则选 A. ? e 2e ? 【思路点拨】 一般遇到方程的解的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题; 通过导 数研究函数的单调性及极值;通过对 k 与函数 h(x)的极值的大小关系的讨论得到结论.

?1

1 ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 a2 b2 6 个不同的点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ?1 2? ?1 ? ?2 ? ?1 1? ?1 ? 1? 1? 1? A. ? , ? B. ? , C. ? , D. ? , ? ? ? , ?2 ? ?3 ? ?3 3? ?3 2? ?2 ?
【题文】12.已知椭圆 C: 【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】 【解析】D 解析:6 个不同的点有两个为短轴的两个端点,另外 4 个分别在第一、二、三、四象限,

且上下对称左右对称。不妨设 P 在第一象限, PF 1 ? PF 2 ,当 PF 1 ? F 1F 2 ? 2 c 时, 即 2c>2a-2c, 解得 e ? PF2 ? 2a ? PF1 ? 2a ? 2c ,

c 1 1 ? , 又因为 e<1, 所以 ? e ? 1 ; a 2 2

当 PF2 ? F 1F 2 ? 2c 时, PF 1 ? 2a ? PF 2 ? 2a ? 2c ,即 2a-2c>2c 且 2c>a-c,解得

1 1 1 1 1 ? e ? ,综上可得 ? e ? 或 ? e ? 1 ,故选 D. 3 2 3 2 2
【思路点拨】 可结合椭圆的对称性判断只需在第一象限存在点 P 使三角形为等腰三角形, 再 利用椭圆的定义及在第一象限点 P 到两焦点距离的大小关系进行解答. 【题文】二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.) 【题文】13.已知向量 a ? (4,3), b ? (?2,1) ,如果向量 a ? ?b 与 b 垂直,则 2a ? ?b 的值 为 【知识点】向量的坐标运算 F2 【答案】 【解析】 5 5 解 析 : 由 题 可 知 ( a ? ?b )

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? b =0 即 ? 4 ? 2?,3 ? ? ? ? ?2,1? ? 0 解 得 ? ? 1 所 以

? ? 2a ? ? b ? ? 1 0, 5 ? , 2a ? ?b = 5 5 .
【思路点拨】可应由向量垂直计算出λ 的值,再由向量的求模公式求得所求向量的模. 【题文】 14.有 5 种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色, 五个侧面分别编有 1,2,3,4,5 号,而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有 种. 【知识点】基本计数原理 J1 【答案】 【解析】1020 解析:在五个侧面上顺时针或逆时针编号.分 1 号面、3 号面同色和 1 号面、3 号面不同色 两种情况:1、3 同色,1 和 3 有 5 种选择,2、4 各有 4 种、5 有 3 种,共有 5x4x4x3=240 种; 1、3 不同色,1 有 5 种选择,2 有 4 种,3 有 3 种,再分 4 与 1 同,则 5 有 4 种,4 不与 1 同, 4 有 3 种, 5 有 3 种, 共有 5x4x3x (4+3x3) =780 种; 根据分类加法原理得共有 240+780=1020 种. 【思路点拨】可在五个侧面上顺时针或逆时针编号,分 1 号面、3 号面同色和 1 号面、3 号 面不同色两种情况:当 1、3 同色,1 和 3 有 5 种选择,2、4 各有 4 种、5 有 3 种,当 1、3 不同色,1 有 5 种选择,2 有 4 种,3 有 3 种,再分 4 与 1 同,则 5 有 4 种,4 不与 1 同,4 有 3 种,5 有 3 种,最后根据分类加法得结果. 【题文】15.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称,则 ab 的取值范围是 【知识点】直线与圆的位置关系 函数的值域 H4 B3
2 2

【答案】 【解析】 ? ??, ? 4

? ?

1? ?

解析:因为圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称,则说
2 2

明直线过圆心,则有-2a-2b+2=0,a+b=1,那么 ab ? a ?1 ? a ? ? a ? a 利用二次函数的值域可
2

知它的取值范围是 ? ??, ? . 4

? ?

1? ?

【思路点拨】可先结合圆的特征确定圆心位置,再转化为二次函数求值域问题进行解答. 【题文】16.函数 y ? ( )

1 3

x ?1

? 4 cos 2

?
2

x ? 2( ?3 ? x ? 5) ,则此函数的所有零点之和等于

【知识点】函数与方程 B9 【答案】 【解析】8

?1? 解析:由 y ? ? ? ?3?

x ?1

和 y ? ?4 cos

2

?
2

x ? 2 ? ?2 cos ? x 图像如图,交点的横坐标是零点的

值,由图像可知,那些零点关于 x=1 对称,所以所有零点的值为 8.

【思路点拨】一般遇到判断函数的零点个数问题,若直接判断不方便时,可转化为两个函数 的图象交点个数问题进行判断,本题抓住两个函数图象都关于直线 x=1 对称是解题的关键. 【题文】三、解答题(本大题共 5 题,每小题 12 分,共 60 分.) 【题文】 17. 如图,在 ?ABC 中, B ?

?
3

, BC ? 2 ,点 D 在边 AB 上, AD ? DC ,

DE ? AC , E 为垂足.
(1)若 ?BCD 的面积为 (2)若 ED ?

3 ,求 CD 的长; 3

6 ,求角 A 的大小. 2

【知识点】解三角形 C8 【答案】 【解析】(1)

? 2 7 ;(2) 4 3
1 2 3 3 BC·BD·sin B= ,又 BC=2,sin B= ,∴BD= , 2 3 3 2

解析:(1)由已知得 S△BCD= cos B=

1 . 2

在△BCD 中,由余弦定理,得 CD =BC +BD -2BC·BD·cos B=2 + ?
2 2 2 2

2 1 28 2 7 ?2?2 . ? -2×2× 3 × 2 = 9 . ∴CD= 3 ?3?

BC CD DE 6 ? ∵CD=AD= ,在△BCD 中,由正弦定理,得 sin ?BDC sin B ,又∠BDC ? sin A 2sin A
2
=2A,得 sin 2 A

?

6 ? 2 2sin A sin B ,解得 cos A= 2 ,所以 A= 4 .

【思路点拨】在求边与角时,可先分析所求的边与角所在的三角形,再由已知条件结合正弦 定理或余弦定理进行求解.
2

【题文】18.已知函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数,数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2 f (an ? 1) ? 1 ,且

a1 ? 3, an ? 1(1)设 bn ? log 2 (an ? 1) ,证明:数列 ?bn ? 1?为等比数列(2)设 cn ? nbn , 求数列 ?c n ?的前 n 项和 S n
【知识点】等比数列 数列求和 D3 D4 【答案】 【解析】 (1)略; (2) Sn ? ? n ? 1? ? 2
2
n ?1

?2?

n ? n ? 1? 2

解析: (1)证明:因为函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数,所以 b=0,则

an ?1 ? 2 ? an ? 1? ? 1, an ?1 ? 1 ? 2 ? an ? 1? , log 2 ? an ?1 ? 1? ? 2 log 2 ? an ? 1? ? 1 ,所以
2 2

bn?1 ? 1 log 2 ? an?1 ? 1? ? 1 2log 2 ? an ? 1? ? 2 o g ? ? ? 2 ,又 b1 ?1 ?l bn ? 1 log 2 ? an ? 1? ? 1 log 2 ? an ? 1? ? 1
数列 ?bn ? 1?为首项为 2,公比为 2 的等比数列; (2)由(1)得 bn ? 1 ? 2n , bn ? 2n ?1,所以 cn ? n ? 2n ? n ,令

2

? ?1 ? ?a 1 1

2 ? ,所以

S ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?
? S ? 2 ? 22 ? 23 ?

? n ? 2n , 2S ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

? n ? 2n?1 ,两式相减得

? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2 ? 2n?1 ? n ? 2n ?1 ? ?1 ? n ? ? 2n ?1 ? 2 ,所以 1? 2 n ? n ? 1? . 2

S ? ? n ?1? ? 2n?1 ? 2 ,则 Sn ? ? n ? 1? ? 2n?1 ? 2 ?

【思路点拨】证明等比数列时通常利用其定义直接证明,求数列的前 n 项和时,通常先确定 数列的通项公式,再结合通项公式特征确定求和思路. 【题文】19. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC= 2 2 (1)求证:平面 ABC⊥平面 APC (2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值

(3)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角 M-PA-C 的余弦值为

2 2 ,求 BM 的最小值 3

P

A

C

B 【知识点】垂直关系 空间角的求法 G5 G11 【答案】 【解析】(1) 略;(2)

21 8 70 ? 2 105 ; (3) 7 35

解析: (1)取 AC 中点 O,因为 AP=BP,所以 OP⊥OC 由已知易得三角形 ABC 为直角三角形, ∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ∴OP⊥平面 ABC, ∵OP 在平面 PAC 中,∴平面 ABC⊥平面 APC (2) 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, 2 3 ), ∴ 得方程组 ? 设平面 PBC 的法向量 ,由

? ??2 x ? 2 y ? 0 ,取 n1 ? 2 x ? 2 3 z ? 0 ? ?

?

3, 3,1 ∴

?

cos AP, n1 ?

21 21 ,∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ; 7 7
, 设平面 PAM 的法向量为

(3)由题意平面 PAC 的法向量

n3 ? ? x, y, z ? , M ? m, n,0 ? ∵ AP ? 0, 2, 2 3 , AM ? ? m, n ? 2, 0 ? ,又因为

?

?

?2 y ? 2 3 z ? 0 ? 3 ? n ? 2? ? ? ,取 n3 ? ? , ? 3,1? AP ? n3 ? 0, AM ? n3 ? 0 ,∴ ? ? ? m ? ?mx ? ? n ? 2 ? y ? 0 ? ?
2 3 ? n ? 2? m ?n?2? 2 3? ? ? 3 ?1 ? m ?
2

? cos n2 , n3 ?

2 3 ? n?2? ? , ∴ 3? ∴ ? ? 32 , 3 ? m ?

2



B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ?

8 2 ? 2 3 8 70 ? 2 105 . ? 35 35

【思路点拨】证明线面垂直通常利用其判定定理进行证明,一般遇到空间角的问题,通常建 立空间直角坐标系,利用空间向量进行转化解答. 【题文】20.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离 心率等于

y2 x2 1 ? ? 1的 ,它的两个顶点恰好是双曲线 15 3 2

焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P(2,3), Q(2,?3) ,在椭圆上, A, B 是椭圆上位于 直线 PQ 两恻的动点,

1 , 求四边形 APBQ 面积的最大值; 2 ②当 A, B 运动时, 满足于 ?APQ ? ?BPQ , 试问直线 AB 的斜率是否为定值, 请说明理由.
①若直线 AB 的斜率为 【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 1 ? ?1; (2)① Smax ? 12 3 ;②直线 AB 的斜率是定值 16 12 2

解析:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 c 1 ? 2 ? 1 ,则 b ? 2 3 .由 ? , a 2 ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 2 a 2 a b

x2 y 2 ? ?1. ∴椭圆 C 的方程为 16 12
(2)①解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ?
2 2 得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4

x2 y 2 1 x ? t , 代入 ? ?1, 2 16 12

由 韦 达 定 理 得 x1 ? x2 ? ?t , x1 x2 ? t ? 12 .
2

四 边 形

APBQ 的 面 积

S?

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 ∴当 t ? 0 , Smax ? 12 3 . 2

②解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k

则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

? y ? 3 ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 y 2 ?1 (2) ? ? ?16 12

(1)

( 1 ) 代 入 ( 2 ) 整 理 得 ( ? 3 k 24 x2 ) ?

8 ? ( k 3k ? x 2

) ?2 k 4 (? 3

? 2

)

4

x1 ? 2 ?

8( 2k ? 3)k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

16k 2 ? 12 ?48k , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k 1 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2
1 . 2

所以 AB 的斜率为定值

【思路点拨】 求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答; 一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.. 【题文】21.已知函数 f ( x) 的定义域 ?0, ? ? ?,若 y ?

f ( x) 在 ?0, ? ? ? 上为增函数,则称 x

f ( x) 在 ?0, ? ? ?上为增函数,则称 f ( x) 为“二阶比增函 x2 数” 。把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为 A1 ,把所有由“二阶比增函数”组成的集 合记为 A2 3 2 (1)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? A1 且 f ( x) ? ? A2 ,求实数 h 的取值范围 (2)已知 f ( x) ? A2 ,且存在常数 k ,使得对任意的 x ? ?0, ? ?? ,都有 f ( x) ? k ,求 k 的

f ( x) 为“一阶比增函数” ;若 y ?

最小值 【知识点】导数的应用 函数的单调性 B3 B12 【答案】 【解析】 (1)h<0; (2)0 解析: (1)若 f ( x) ? A1 且 f ( x) ? ? A2 ,即 g ? x ? ?

f ? x? ? x 2 ? 2hx ? h 在 ?0, ? ? ?上为增 x

函 数 , 所 以 h ≤ 0 ; 而 F ? x? ?

f ? x? h ? x ? ? 2h 在 ?0, ? ?? 上 不 为 增 函 数 , 因 为 2 x x

F '? x? ? 1?

h ,则 h<0,综上得 h<0; x2

? ? ?成立,假设存在 x0 ? ? 0, ??? ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,记 (2)先证明 f(x) ≤0 对 x∈ ?0,
f ? x? f ? x0 ? ? m ? 0 ,因为 f(x)∈A2,所以 f(x)为“二阶比增函数”,即 2 是增函数, 2 x x0

所以当 x>x0>0 时,

f ? x ? f ? x0 ? =m,即 f(x)>mx2;所以一定存在 x1>x0>0,使得 ? 2 2 x x0

2 f(x1)>m x1 >k 成立,这与 f(x)<k 对任意的 x∈(0,+∞)成立矛盾,所以 f(x)≤0

对任意的、x∈(0,+∞)都成立;再证明 f(x)=0 在(0,+∞)上无解,假设存在 x2>0, 使得 f(x2)=0;∵f(x)为“二阶比增函数”,即

f ? x? 是增函数,∴一定存在 x3>x2>0, x2

使得

f ? x3 ? f ? x2 ? =0 成立,这与上述的证明结果矛盾.所以 f(x)=0 在(0,+∞)上无 ? x32 x2 2

解,综上所述,当 f(x)∈A2 时,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<0 成立,所以当常 数 k≥0 时,使得对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<k;故 k 的最小值为 0. 【思路点拨】(1) 根据“一阶比增函数”及“二阶比增函数”的定义求出参数满足的条件, 再求交集; (2)利用反证法先证明 f(x)≤0 对任意的 x∈(0,+∞)成立,再证明 f(x) =0 在(0,+∞)上无解,从而可是当 f(x)∈A2 时,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x) <0 成立,故当常数 k≥0 时,使得对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)<k;从而求最小 值. 请考生在 22.23 题中任选一题作答,如多做,则按所做的第一题计分.(10 分) 【题文】22.己知抛物线 y ? x ? m 的顶点 M 到直线 l : ?
2

? ?x ? t (t 为参数)的距离为 1 ? ? y ? 1 ? 3t

(1)求 m ; (2)若直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点,与 y 轴交于 N 点,求 S?MAN ? S?MBN 的值 【知识点】参数方程 N3 【答案】 【解析】 (1)-1 或 3; (2) 3 解析: (1)M(0,m),直线 l 的一般方程 3x ? y ? 1 ? 0 M 到直线 l 的距离为

?m ? 1 2

? 1,解得 m ? ?1 或 3 ;

(2)直线与抛物线相交于 A、B 两点,故 m ? ?1 .

1 ? x? t ? 2 ? 2 2 将直线 l 的一个标准参数方程为 ? 代入抛物线 y ? x ?1 得 t ? 2 3t ? 8 ? 0 , ? y ? 1? 3 t ? ? 2
故 t1 ? t2 ? 2 3 , S?MAN ? S?MBN =

1 t1 ? t2 ? 3 2

【思路点拨】 由参数方程解决问题不方便时可化成普通方程, 遇到直线上的点到直线经过的 顶点的距离问题时注意直线的参数的几何意义的运用. 【题文】23.设 f ( x) ? x ? a ? 2x ,其中 a ? 0

(1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? x ? 3 的解集 (2)若 x ? (?2,??) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 【知识点】不等式选讲 N4 【答案】 【解析】(1) ? ??,

? ?

5? ? ;(2) a≥2 2?

解 析 : (1) 当 a=2 时 , 由 不 等 式 f ( x) ? x ? 3 得 x ? 2 ? 2x ? x ? 3 , 得

?x ? 2 ?x ? 2 5 5? ? ,解得 2 ? x ? 或 x<2,所以不等式的解集为 ? ??, ? ; 或? ? 2 2? ? ?3x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 2 ? x ? 3
(2) 因 为 f ? x ? ? x ? a ? 2 x ? ?

?3x ? a, x ? a ,显然函数在 R 上单调递增,所以当 ? x ? a, x ? a

x ? (?2,??) 时, f ? x ? ? f ? ?2? ? a ? 2 ,若 x ? (?2,??) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,则 a-2≥0,
得 a≥2. 【思路点拨】 一般遇到含绝对值函数通常转化为分段函数进行解答, 遇到不等式恒成立问题 通常转化为函数的最值问题进行解答.



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