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1.3.2函数的极值与导数教学设计



联合体教学设计

河北任丘一中数学组:张海昌

教学课题

选修 2-2 第一章 1.3.2 函数的极值与导数
一、知识与技能: 1.结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 二、过程与方法: 1. 结

合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 2. 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 三、情感态度与价值观: 通过本节的学习,体会导数的方法在研究函数性质的一般性和有效性,通过函数的极值 与单调性之间的联系,体会知识的发展的过程,逐步提高科学地分析、解决问题的能力。

课标要求

认知层次 知识点 知识点 1 可导函数在某 点取极值的充 分、必要条件 知识点 2 极值的概念 知识点 3 求极值的步骤 知识点 4: 极值的综合应 用 1. 2. 3. 4.

识记

理解

应用

综合



∨ ∨

∨ 理解极大值、极小值的概念; 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 掌握求可导函数的极值的步骤; 通过学习让学生体会极值是函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。

目标设计

情境一:1.通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么?(提问学生回答) 2.观察下图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图象,回答以下问 题: h ?( a ) ? 0 h 单调递增 问题 1:在点 t=a 附近的图象有什么特点? 单调递减 h ?( a ) ? 0 问题 2:函数在 t=a 处的函数值和附近函数值之间有什么关系? h ?( a ) ? 0 问题 3:在点 t=a 附近的导数符号有何变化规律? o a t 问题 4:函数在 t=a 处的导数是多少? (函数 h(t)在 a 点处 h (a)=0,在 t=a 的附近,当 t<a 时,函数 h ? t ? 单调递增, h ? t ? >0;当 t>a 时,函数 ' ' ' h ? t ? 单调递减, h ? t ? <0,即当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时, h ? t ? 先正后负,且 h ? t ? 连续变化,于是 / h (a)=0. ) 情境二:观察 1.3.9 图所表示的 y=f(x)的图象,回答下面的问题:
/

'

问题 1:函数 y=f(x)在 a.、b 两点的函数值与这些点附近的函数值有什么关 系? 问题 2:函数 y=f(x)在 a、b 两点的导数值是多少? 问题 3:在 a、b 两点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么,并且有什么关
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联合体教学设计

河北任丘一中数学组:张海昌

系呢? 学生观察图像思考、小组讨论、归纳: ①在点 a 的左侧与右侧附近,函数 y=f(x)的函数值都大于 f(a);在点 b 的左侧与右侧附近,函数 y=f(x)的 函数值都小于 f(b). ②函数 y=f(x)在 a 点的导数值是 f ? ( a ) ? 0 ; 函数 y=f(x)在 b 点的导数值是 f ? ( a ) ? 0 ③在 a 点左侧附近,函数 y=f(x)的导数 f ? ( x ) ? 0 ;在点 a 右侧附近,函数 y=f(x)的导数 f ? ( x ) ? 0 , 左右两侧附近的导数值符号要相反。 在点 b 左侧附近,函数 y=f(x)的导数 f ? ( x ) ? 0 ;在点 b 右侧附近,函数 y=f(x)的导数 f ? ( x ) ? 0 , 左右两侧附近的导数值符号要相反。 极值的定义: 我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值;点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值 点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点统称为极值点, 极大值与极小值统称为极值. 问题 4:通过以上探索,你能归纳出可导函数 y=f(x)在某点 x0 取得极值的充要条件吗? 充要条件:f′(x0)=0 且点 x0 的左右附近的导数值符号要相反 问题 5: 导数为 0 的点一定是极值点吗?能举例说明吗?导数为 0 是可导函数在此处取极值点的什么条件? (必要不充分条件) 情境三 学生探究:引导学生观察图 1.3.10,回答以下问题: 问题 1:找出图中的极值点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极 小值点? 问题 2:极大值一定大于极小值吗? 问题 3:函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗? 问题 4:区间的端点:能成为极值点吗?(此处点出极值点只能出现在区间的内部,而不可能是区间端点) 问题 5:极值是相对于函数的定义域而言的吗?(此处引出极值的局部性) 情境四:再探究: 如果 f ? ( x 0 ) ? 0 ,应该如何判断 x 0 是函数的极大值还是极小值呢? 例 1:求函数 f(x)= 1 x?-4x+4 的极值 3

归纳:求函数 y=f(x)极值的方法是: 1 求 f?(x);2 解方程 f?(x) =0,当 f?(x0) =0 时: ?2 (1)如果在 x0 附近的左侧 f?(x)>0,右侧 f?(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f?(x)<0,右侧 f?(x)>0,那么 f(x0)是极小值 【课堂练习】 求出下列函数的极值。 (1) f ( x ) ? x ? 27
3 3 2

2

(2) f ( x ) ? 6 ? 12 x ? x

3

(3) f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? 5 解题方法总结: 求函数 y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法: (1)求导数 f ? ( x ) ; (2)令 f ? ( x ) ? 0 求极值点; (3)列表,讨论单调性; (4)写出极值. 例 2:已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax
3 2

? bx ? a 在 x ? ? 1 时有极值 0,求常数 a , b 的值。 (此题为易错题,通
2

过此题让学生进一步强化函数在某点出取极值的充要条件,并注意验证根的合理性和必要性) 例 3:求函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a ( a ? R ) 的极值,并讨论 a 为何值时函数恰有一个零点。(极值的应用)
3 2

习题设计:
2

联合体教学设计
4 3 1.给出函数① y ? x ② y ? x ? 1 ③ y ? x ④ y ?

河北任丘一中数学组:张海昌

x ,其中在 x=0 处取得极值的函数是

(知识点 2,易)

2. 对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的( ) (知识点 1,易) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 确定函数 y=
x x ?1
2

的单调区间,并求函数的极大、极小值 (知识点 3,中)
王新敞
奎屯 新疆

4. 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? ( a ? 6 ) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 (
3 2

) (知识点 3,中)

(A) ? 1 ? a ? 2

(B) ? 3 ? a ? 6
3 2

(C) a ? ? 3 或 a ? 6

(D) a ? ? 1 或 a ? 2

5. 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? x ? x ? a . (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点.(知识点 4,难)

3



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