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等差数列概念



第23届到第28届奥运会举行的年份依次为: 1984 1988 1992 1996 2000 2004 得到数列:1984,1988,1992 1996,2000,2004

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000, 第六天:8500, 第七天:9000

.

得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

耐克运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)

1 22 ,23, 2 1 24 ,25, 2

1 ,24, 23 2

1 ,26 25 2

观察归纳
奥运会举行年份的数列: 1884,1988,1992,1996,2000,2004 姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 运动鞋尺码的数列:

观察:以上数列有什么共同特点?

1 1 1 1 , 23 , , 24 , 22 23 24 ,25,25 ,26 2 2 2 2

从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。

等差数列定义
第2项起,每一项与它 项起 一般地,如果一个数列从第 同一个常数 的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常 用字母d表示。

an?1 ? an ? d 或an ? an ?1 ? d
? n ? 2?

an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2)

练一练 判断下列数列是否为等差数列;如果是,求出公差

1、数列4,7,10,13,16,…. 公差是3
2、数列6,4,2,0,-2,-4; 3、数列 1,1,1,1,1; 公差是-2 公差是0

4、数列 -3,-2,-1,1,2,3 ; 不是

公差d是每一项(第2项起)与它的前一 项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且 公差可以是正数,负数,也可以为0.

如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …,

是等差数列,它的公差是d,那么

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d a5 ? a4 ? d ? (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? 4d
由此可知,等差数列

? ? ?? ?a ?
n

的通项公式为

an ? a1 ? (n ?1)d

当d≠0时,这是 关于n的一个一 次函数。

分析2:根据等差数列的定义:

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

( 1 )
(2)

(3 )
(n ? 1 )
*

an ? an?1 ? d

将上面 n ? 1 个等式相加得:

an ? a1 ? (n ? 1)d ,n ? N
由此得到:

an ? a1 ? (n ?1)d.

(通项公式)

结论:若一个等差数列{an},它的首项为 公差是 1 d,那么这个数列的通项公式是:



a

an ? a1 ? (n ?1)d
a 1、d 、n 、a n中

知三求一

在等差数列{an}中, 1)已知a1=2,d=3,n=10,求an
解:a10=a1+9d=2+9×3=29 2)已知a1=3,an=21,d=2,求n 解:21=3+(n-1)×2 3)已知a1=12,a6=27,求d 解:a6=a1+5d,即27=12+5d d=3 4)已知d=-1/3,a7=8,求a1 解:a7=a1+6d 8=a1+6×(1/3) n=10

练 一 练

例1.

1)等差数列8,5,2,······ 的第20项是几?
2 ) -401 是 不 是 等 差 数 列 -5,-9,-13······ 的 项?如果是,是第几项? 解: 1)由题意得,a1=8,d=-3 ∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49 2)由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401 an=a1+(n-1)d -401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100 ∴-401是这个数列的第100项。

知识延伸:

am ? a1 ? (m ? 1)d a1 ? am ? (m ? 1)d

an ?

a1 ? (n ? 1)d

= am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即得第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d
∴ d=

am ? an m?n

例 2. 在等差数列{ an} 中,已知 a5=10,a12=31, 求 首项a1与公差d。 解:由题意,a5=a1+4d a12=a1+11d 即 10=a1+4d

31=a1+11d
解之得 a1=-2 d=3 若让求a7,怎样求?

巩固练习
1.在等差数列{an}中,已知a3=9,a9=3,求a12 答案:a12=0 a8 2. 在等差数列{ an }中,已知 a2=3,a4=7, 求 a6 、 解:由题意得,a1+d=3, a1+3d=7 ∴ a1=1, d=2 ∴a6=a1+5d=1+5×2=11 a8=a1+7d=1+7×2=15

提问:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A b成等差数列,那么A应满足什么条件? 因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由 定义可以知道: A – a = b - A
a?b 即 A? 例如 (1) 2, 5 ,8 2
(2) 3 ? 1, 3 , 3 ? 1

等差中项
如果a,A,b组成了一个等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项

等差数列的图象 1 10
9 8




(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1
● ● ● ●



2

3

4

5

6

7

8

9

10

等差数列的图象 2 10
9 8 (2)数列:7,4,1,-2,…


7 6 5 4
3 2 1 0 1





2

3

4


5

6

7

8

9

10

等差数列的图象 3 10
9 8 (1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

应用延伸
1.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果 前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是 多少? 解:由题意得, a6=a1+5d>0 a7=a1+6d<0 ∴-23/5<d<-23/6 ∵d∈Z ∴d=-4 2.已知等差数列{an}的首项为30,这个数列从 第12项起为负数,求公差d的范围。 解:a12=30+11d<0 a11=30+10d≥0 ∴ -3≤d<-30/11 即公差d的范围为:-3≤d<-30/11

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