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高二上学期期中试题



高二上学期数学期中测试题
一.选择题(共 12 小题,每个 5 分,共 60 分) 1.已知 a>b,则下列不等式正确的是( ) A.ac>bc B.a﹣c<b﹣c C.a >b
3 3 2

12.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17,T25 中也 是常数的项是(

) A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 二.填空题(共 4 小题,每个 4 分,共 16 分) 13.若不等式 x ﹣2ax+a>0 对 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 )
2

D. <

的解集为 .



2.在等比数列{an}中,若 a5,a6 是方程 x ﹣4x+1=0 的两个根,则 a4?a7=( A.2 B.﹣1 C.1 D.±1 3.在△ABC 中,a =b +c +bc,则 A 的值是( A. B. C. D. )
2 2 2

14.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= ,b= ,B=120°,则 a= 15.已知 a>0,b>0,且 2a+8b﹣ab=0,则 a+b 的最小值为( ) 16.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn 若对任意自然数 n 都有 =

) ,则

4、已知数列 ?an ? 满足a1 ? 1, 且nan?1 ? (n ? 1)an ? 0, 则a2015 ? (

的值为 )



A 2012 B 2013 C 2014 D 2015 5.若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 ,A=60°,则 BC 边的长是( A.5 B.6 C.7 D.8

三.解答题(共 6 小题,共 74 分) 17.已知函数 f(x)=x +bx+c(x∈R) ,且 f(x)<0 的解集为(﹣2,0) . (Ⅰ)求 b,c 的值; ) (Ⅱ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) ,n∈N ,求数列{an}的通项公式 an.
* 2

6.设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=x+2y 的最小值为(

A.2

B.3

C.5

D.9 =( )

7.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 A.1﹣ B.1+ C.3﹣2 D.3+2 )

8.函数 f ? x ? ? 5 x ?

20 ( x ? 0) 的最小值为( x2
D25 )
x
﹣x

A10 B15 C20 9.以下列函数中,最小值为 2 的是( A.y=x+ C.y=1gx+ (0<x<1)

B.y=3 +3

18.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 B 为锐角, c 成等比数列. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)判断△ABC 的形状. )

a﹣2bsinA=0,且 a、b、

D.y=sinx+

(0<x<

10、一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座 灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( ) A. 海里/时 B.34 海里/时 C. 海里/时 D.34 海里/时 19.已知函数 f(x)=x+ ,定义域为 D.

11、在各项均为正数的等比数列{an}中,公比 q∈(0,1) .若 a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an 数列{bn}的 前 n 项和为 Sn,则当 A.8 B.9 + +…+ 取最大值,则 n 的值为( )

C.8 或 9

D.17

(Ⅰ)若 D=(1,+∞) ,求函数的 f(x)最小值; (Ⅱ)若 D=(﹣∞,1)∪(1,+∞)时, (x﹣1)f(x)>mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(Ⅱ)设 bn=
2

,数列{bnbn+2}的前 n 项和为 Tn,若对于任意的正整数 n,都有

Tn<m ﹣m﹣ 成立,求实数 m 的取值范围.

20.某厂 2014 年初用 36 万元购进一生产设备,并立即投入生产,该生产设备第一年维修保养费用 4 万 元,从第二年开始,每年所需维修保养费用比上一年增加 2 万元,该生产设备使用后,每年的年收入为 23 万元,该生产设备使用 x 年后的总盈利额为 y 万元.问: (I)从第几年开始,该厂开始盈利(总盈利额为正值) ; (Ⅱ)到哪一年,年平均盈利额能达到最大值?此时工厂共获利多少万元?

22.已知函数 f ?x? ? 2x ? 1 ? x ? 2 (1)求不等式 f ?x ? ? 0 的解集。 (2)若存在 x0 ? R, 使得f ?x0 ? ? 2a 2 ? 4a ,求 a 的取值范围。

21、已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足(p﹣1)Sn=p ﹣an(p>0,p≠1) ,且 a3= . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

2

烟台市中英文学校高二级部 11 月份阶段性检测题 数学卷 答案

一.1、解:A.若 c=0,则不等式 ac>bc 不成立,B.∵a>b,∴a﹣c>b﹣c,故 B 不成立, C.函数 y=x 是增函数,则 a >b 成立,D.当 a>0>b 时, < 不成立,故选:D 2、解:∵a5,a6 是方程 x ﹣4x+1=0 的两个根,∴a5a6=1,则在等比数列{an}中,a4?a7=a5a6=1,故选: C 3、解:因为在△ABC 中,a =b +c +bc,所以 cosA= 4、选 D 5、解:依题意及面积公式 S= bcsinA,得 10 = bcsin60°,得 bc=40.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

11、解:∵{an}是等比数列且 a3+a5=5,a2a6=4,公比 q∈(0,1) .a3=4,a5=1∴ 解得:a3=4,a5=1∴ ∴ ,∴a1=16 则 = 则 b1=4,由 bn+1﹣bn=5﹣(n+1)﹣(5﹣n)=

=

=﹣ ,所以 A=

.选:C.

﹣1.∴数列{bn}是以 4 为首项,以﹣1 为公差的等差数列. 则数列{bn}的前 n 项和 ∵cn≥0 时,n≤9∴当 n=8 或 9 时, 12、解:由 a3?a6?a18=a1q ?a1q ?a1 q =(a1 q ) =
2 5 17 8 3

令 取最大值.故选 C. 为常数,所以 a9 为常数, ,

又周长为 20,故 a+b+c=20,b+c=20﹣a,由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣2bccos60° 2 2 2 2 2 =b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc,故 a =(20﹣a) ﹣120,解得 a=7.故选 C 6.解:作出不等式组所表示的平面区域,由 z=x+2y 可得 y=

则 T17=a1?a2…a17= (a1?a17) (a2?a16) (a3?a15) (a4?a14) (a5 ?a13) (a6?a12) ? ( a7?a11) ? (a8?a10) a9= 则 为直线 y= 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小 为常数.故选 C.
2 2 x

做直线 L:x+2y=0,然后把直线 L 向可行域方向平移,当经过点 B 时,z 最小由 可得 B(1,1) ,此时 z=3 故选 B

二.13、解:∵若不等式 x ﹣2ax+a>0 对 x∈R 恒成立∴△=4a ﹣4a<0 即 0<a<1 此时,y=a 为减函 数 又∵a <a ∴2t+1>t +2t﹣3 即 t ﹣4<0 解得﹣2<t<2 故不等式 a 故答案为: (﹣2,2) .∵比数列{an}各项都是正数, 14、解:由正弦定理 15、解:由 2a+8b﹣ab=0,得 2a+8b=ab,即 =8+2+ 当且仅当 =10+ ,∴ ,∴a+b=(a+b)×1=(a+b) (
2t+1 t2+2t﹣3 2 2 2t+1

<a

t2+2t﹣3

的解集为 (﹣2, 2) 故答案为 ) ,

7、解:设等比数列{an}的公比为 q,由题意易知 a3=a1+2a2,即 .∵a1≠0,∴q ﹣2q﹣1=0,解得
2



∴q=1+


2 2

.故选 B.
2 2

8、解:不等式 x ﹣2x+1≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立?(x﹣1) ≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立 2 ?a ﹣2a≤0,解得:0≤a≤2,故选:C. x ﹣x x ﹣x 9、解:A 中不满足 x>0;B 中,y=3 +3 ≥2,当且仅当 3 =3 即 x=0 时取等号; C 中,因为 0<x<1,故 lgx<0,不满足条件;D 中,因为 0<sinx<1,故“=”取不到;故选:B. 10、 解:由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN 中,由正弦定 理,得

,∵a>0,b>0,∴a+b=10+

,即 a=2b 时,取等号,∴a+b 的最小值为 18.

16、解:由等差数列的性质和求和公式可得:

=

+

=

, ∴MN=68×

=34

. 又由 M 到 N 所用时间为 14﹣10=4

=

=

=

=

=

=

故答案为:

(小时) ,∴船的航行速度 v=

=

(海里/时) ;故选 A.

三.17、解: (Ⅰ)∵x +bx+c<0 的解集为(﹣2,0) ,∴﹣2 和 0 是方程 x +bx+c=0 的两根, 2 ∴x1+x2=﹣b=﹣2,x1x2=c=0,∴b=2,c=0; (Ⅱ)∵b=2,c=0,∴Sn=f(n)=n +2n,∴an=Sn﹣Sn﹣1 2 2 =(n +2n)﹣[(n﹣1) +2(n﹣1)]=2n+1(n≥2) ,又∵a1=S1=1+2=3 满足上式,∴an=2n+1.

2

2

18、解: (Ⅰ)由 解得 sinB=

a﹣2bsinA=0 可得

,由正弦定理

=


2

.又∵B 为锐角,∴B=

. (Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列,∴ac=b .
2 2

∴(a ﹣1) (1﹣b )<0,即 a +b <1+a b ,∴(a+b) <(1+ab) , ∴|a+b|<|1+ab|. 22. 解: (Ⅰ)由题设知(p﹣1)a1=p ﹣a1,解得 p=a1 或 p=0(舍去) . 2 由条件可知(p﹣1)S2=(p﹣1) (a1+a2)=p ﹣a2,解得 a2=1. 再由(p﹣1)S3=(p﹣1) (a1+a2+a3)=p ﹣a3,解得 a3= . 由 a3= 可得 = ,故 p=3=a1.则 2Sn=9﹣an, 当 n>1 时,2Sn﹣1=9﹣an﹣1,以上两式作差得 2(Sn﹣Sn﹣1)=an﹣1﹣an, 即 2an=an﹣1﹣an,故 an= an﹣1.故数列{an}是首项为 3,公比为 的等比数列.
2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

∴cosB=

=

= ,化简得 a +c ﹣2ac=0,解得 a=c.∴△ABC 是等边三角形. >0,x1>0…(2 分) +1=5(当且仅当 x=3 取等号)

19.解: (Ⅰ)当 D=(1,+∞) ,即 x>1,∴ ∴f(x)=x+ =x﹣1+ +1

∴函数的 f(x)最小值为 5.…(6 分) (Ⅱ)D=(﹣∞,1)∪(1,+∞)时, (x﹣1)f(x)>mx 恒成立,化为 x ﹣(m+1)x+4>0 恒成立, 2 2 当△=(m+1) ﹣16<0 即﹣5<m<3 时,x ﹣(m+1)x+4>0 恒成立…(10 分) 2 当△=(m+1) ﹣16=0 即 m=3 或 m=﹣5 时,均不合题意 综上所述,﹣5<m<3.…(12 分) 20.解:前 x 年每年的维修保养费用构成首项为 4,公差为 2 的等差数列, ∴前 x 年的总维修保养费用为[4x+ ∴y=23x﹣[4x+
2 2 2

故 an=3( )

n﹣1

=3

2﹣n



(Ⅱ)因为 bn=

=

= ,

]万元;
*

所以 bnbn+2=

= ( ﹣

) ,Tn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2 )]
2 2

]﹣36=﹣x +20x﹣36(x∈N ) ;

= [(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ = (1+ ﹣ ﹣
2

(I)解不等式﹣x +20x﹣36>0 得,2<x<18;故从第 3 年开始,该厂开始盈利; (Ⅱ)∵ =20﹣(x+ )≤20﹣12=8; (当且仅当 x=6 时,等号成立) ;

)< .故要使 Tn<m ﹣m﹣ 恒成立,只需 ≤m ﹣m﹣ ,即 m ﹣m﹣2≥

∴到 2019 年,年平均盈利额能达到最大值,此时工厂共获利 48 万元.

0 解得 m≤﹣1 或 m≥2.故所求实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) .

1 ? ?? 2 x , x ? ? 2 ? 1 ? 1 21.解: (1) f ? x ? ? ?1,? ? x ? 2 ? 2 1 ? ?2 x , x ? 2 ?
当 x ? ? 时, 有 f(x)<2,得-2x<2,得 x>-1

1 2

1 1 ? x ? 时,f ? x ? ? 2 2 2 1 当x ? 时,由f ? x ? ? 2得x ? 1 所以 f(x)<2 的解集为 ?x ? 1 ? x ? 1} 2 当?
(2)当 a、b∈M 时,﹣1<a<1,﹣1<b<1,∴a <1,b <1,
2 2



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