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2015年步步高二轮复习-专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语



第1讲
考情解读

集合与常用逻辑用语
1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查

集合的运算,近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命 题的否定,考查充要条件的判断.

1.集合的概念、关系 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序

性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进 行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元素的 集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. 2.集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (2)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. 重要结论:A∩B=A?A?B; A∪B=A?B?A. 3.四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命 题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理. 4.充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 5.简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p

为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定是(綈 p)∨(綈 q). 6.全称量词与存在量词 “?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)”;“?x0∈M,p(x0)”的否定为“?x∈M, 綈 p(x)”.

热点一 集合的关系及运算 例1 (1)(2014· 四川)已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0} )

A.{-1,0,1,2} C.{0,1}

(2)(2013· 广东)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且 三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项 正确的是( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 思维启迪 明确集合的意义,理解集合中元素的性质特征. 答案 (1)A (2)B 解析 (1)因为 A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}, 又因为集合 B 为整数集, 所以集合 A∩B ={-1,0,1,2},故选 A. (2)因为(x, y, z)和(z, w, x)都在 S 中, 不妨令 x=2, y=3, z=4, w=1, 则(y, z, w)=(3,4,1)∈S, (x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 的说法均错误,可以排除选项 A、C、 D,故选 B. 思维升华 (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征 的应用,要注意检验结果. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟 悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. (1)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( A.M?N C.M∩N={2,3} B.N=M D.M∪N=(1,4) ) )

(2)(2013· 山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(

A.1 B.3 C.5 D.9 答案 (1)C (2)C 解析 (1)集合 N 是要求在(1,4)范围内取整数,所以 N={x∈Z|1<x<4}={2,3},所以 M∩N= {2,3}. (2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 热点二 四种命题与充要条件 例2 (1)(2014· 天津)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)(2014· 江西)下列叙述中正确的是( )

A.若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若 a,b,c∈R,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2≥0” D.l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β 思维启迪 要明确四种命题的真假关系;充要条件的判断,要准确理解充分条件、必要条件 的含义. 答案 (1)C (2)D 解析 (1)当 b<0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b=0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b>0 时,a>b 有|a|>|b|,所以 a>b?a|a|>b|b|. 综上可知 a>b?a|a|>b|b|,故选 C. (2)由于“若 b2-4ac≤0,则 ax2+bx+c≥0”是假命题,所以“ax2+bx+c≥0”的充分条件 不是“b2-4ac≤0”,A 错; 因为 ab2>cb2,且 b2>0,所以 a>c.而 a>c 时,若 b2=0,则 ab2>cb2 不成立,由此知“ab2>cb2” 是“a>c”的充分不必要条件,B 错;“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2<0”,C 错;由 l⊥α,l⊥β,可得 α∥β,理由:垂直于同一条直线的两个平面平行,D 正 确. 思维升华 (1)四种命题中,原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价;(2)充要条件的判 断常用“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,判断一个命题为假可以借助反例. (1)命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是________. (2)“log3M>log3N”是“M>N 成立”的________条件.(从“充要”、“充分不必要”、“必 要不充分”中选择一个正确的填写)

答案 (1)若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”.

(2)充分不必要

(2)由 log3M>log3N,又因为对数函数 y=log3x 在定义域(0,+∞)单调递增,所以 M>N;当 M>N 时,由于不知道 M、N 是否为正数,所以 log3M、log3N 不一定有意义.故不能推出 log3M>log3N,所以“log3M>log3N”是“M>N 成立”的充分不必要条件. 热点三 逻辑联结词、量词 例3 (1)已知命题 p:?x∈R,x-2>lg x,命题 q:?x∈R,sin x<x,则( B.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(綈 q)是假命题 ) )

A.命题 p∨q 是假命题 C.命题 p∧(綈 q)是真命题

(2)(2013· 四川)设 x∈Z, 集合 A 是奇数集, 集合 B 是偶数集. 若命题 p: ?x∈A,2x∈B, 则( A.綈 p:?x∈A,2x∈B C.綈 p:?x?A,2x∈B B.綈 p:?x?A,2x?B D.綈 p:?x∈A,2x?B

思维启迪 (1)先判断命题 p、q 的真假,再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假;(2)含 量词的命题的否定既要否定量词,还要否定判断词. 答案 (1)C (2)D 解析 (1)对于命题 p,取 x=10,则有 10-2>lg 10,即 8>1,故命题 p 为真命题;对于命题 π π q,取 x=- ,则 sin x=sin(- )=-1,此时 sin x>x,故命题 q 为假命题,因此命题 p∨q 是 2 2 真命题,命题 p∧q 是假命题,命题 p∧(綈 q)是真命题,命题 p∨(綈 q)是真命题,故选 C. (2)命题 p:?x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定綈 p 应为?x∈A,2x?B,选 D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假 与原命题相对立;(2)判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值 范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算. (1)已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命 题 q:“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( A.p 真 q 假 C.“p∧q”为假 B.p 假 q 真 D.“p∧q”为真 )

2 (2)已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R, x0 +2ax0+2-a=0”.若

命题“(綈 p)∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.a≤-2 或 a=1 C.a>1 答案 (1)C (2)C B.a≤2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1

)

解析 (1)△ABC 中,C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R 为△ABC 外接圆半径), 所以 C>B?sin C>sin B.

故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件,命题 p 是假命题. 若 c=0,当 a>b 时,则 ac2=0=bc2,故 a>b ac2>bc2,若 ac2>bc2,则必有 c≠0,则 c2>0,则有 a>b,所以 ac2>bc2?a>b,故“a>b”是 “ac2>bc2”的必要不充分条件,故命题 q 也是假命题,故选 C.
2 (2)命题 p 为真时 a≤1;“?x0∈R, x0 +2ax0+2-a=0”为真,即方程 x2+2ax+2-a=0

有实根,故 Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)∧q 为真命题,即綈 p 真且 q 真, 即 a>1.

1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素的 互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和 Venn 图加以解决. 2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关 系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式 给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 3. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的, 这类试题首先把其中的基本命 题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4. 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系, 但一个命题与这个命题的否定是互 相对立的、一真一假的.

真题感悟 1.(2014· 浙江)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA 等于( A.? C.{5} 答案 B 解析 因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5}, 所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}. 2.(2014· 重庆)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( A.p∧q ) B.綈 p∧綈 q B.{2} D.{2,5} )

C.綈 p∧q 答案 D

D.p∧綈 q

解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2x>0 恒成立,故 p 为真命题; 因为当 x>1 时,x>2 不一定成立,反之当 x>2 时,一定有 x>1 成立,故“x>1”是“x>2”的 必要不充分条件, 故 q 为假命题, 则 p∧q、 綈 p 为假命题, 綈 q 为真命题, 綈 p∧綈 q、 綈 p∧q 为假命题,p∧綈 q 为真命题,故选 D. 押题精练 1. 已知集合 A={x|y=lg(x-x2)}, B={x|x2-cx<0, c>0}, 若 A?B, 则实数 c 的取值范围是( A.(0,1] C.(0,1) 答案 B 解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0} B.[1,+∞) D.(1,+∞) )

=(0,c),因为 A?B,画出数轴,如图所示,得 c≥1.应选 B. 1 2.若命题 p:函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数 y=x- 的单调递增 x 区间是[1,+∞),则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 答案 D 1 解析 因为函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),所以 p 是真命题;因为函数 y=x- x 的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以 q 是假命题.所以 p∧q 为假命题,p∨q 为真 命题,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,故选 D.
? ?log2x,x>0, 3.函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ?-2 +a,x≤0 ?

) B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

)

A.a<0 1 C. <a<1 2 答案 A

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

解析 因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+a(x≤0)没有 零点?函数 y=2x(x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 1 所以函数 f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是 a≤0 或 a>1,应排除 D;当 0<a< 时,函 2 1 数 y=-2x+a(x≤0)有一个零点,即函数 f(x)有两个零点,此时 0<a< 是函数 f(x)有且只有一 2 个零点的既不充分也不必要条件,应排除 B;同理,可排除 C,应选 A.

(推荐时间:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则 M∩N 等于( A.[0,1] C.(0,1] 答案 B 解析 N={x|-1<x<1},M∩N=[0,1).故选 B. 2.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={5,6,7},C={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈B},则 C 中所含 元素的个数为( A.5 C.12 答案 D 解析 若 x=5∈A, y=1∈A, 则 x+y=5+1=6∈B, 即点(5,1)∈C; 同理, (5,2)∈C, (4,1)∈C, (4,2)∈C,(4,3)∈C,(3,2)∈C,(3,3)∈C,(3,4)∈C,(2,3)∈C,(2,4)∈C,(2,5)∈C,(1,4)∈C, (1,5)∈C.所以 C 中所含元素的个数为 13,应选 D. 3.设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6},B={x∈Z|-1<x≤3},则图中阴影 部分表示的集合的真子集的个数为( ) ) B.6 D.13 B.[0,1) D.(0,1) )

A.3 C.7 答案 C

B.4 D.8

解析 因为 A={x∈N|y= 7x-x2-6}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, 由题意, 知 题图中阴影部分表示的集合为 A∩B={1,2,3},所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2}, {1,3},{2,3},共 7 个. 4.“(m-1)(a-1)>0”是“logam>0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析

? ?m>1, ?m<1, ?m>1, ?0<m<1, ? ? ? (m-1)(a-1)>0 等价于? 或? logam>0 等价于? 或? 所 ?a>1 ? ? ? ? ?a<1. ?a>1 ?0<a<1,

以前者是后者的必要不充分条件,故选 B. π 5.已知命题 p:?x∈(0, ),使得 cos x≤x,则该命题的否定是( 2 π A.?x∈(0, ),使得 cos x>x 2 π B.?x∈(0, ),使得 cos x≥x 2 π C.?x∈(0, ),使得 cos x>x 2 π D.?x∈(0, ),使得 cos x≤x 2 答案 C 解析 原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题.而“cos x≤x”的否定是 “cos x>x”,故选 C. 1 6.在△ABC 中,“A=60° ”是“cos A= ”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 1 1 解析 在 A=60° 时,有 cos A= ,因为角 A 是△ABC 的内角,所以,当 cos A= 时,也只有 2 2 A=60° ,因此,是充分必要条件.
? 1x ? 2 7. (2013· 湖北)已知全集为 R, 集合 A=?x|?2? ≤1?, B={x|x -6x+8≤0}, 则 A∩?RB 等于( ? ?

)

)

)

A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 答案 C 解析 ∵A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}, ∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. 8.已知集合 A={(x, y)|x+y-1=0,x,y∈R}, B={(x,y)|y=x2+1,x,y∈R}, 则集合 A∩B

的元素个数是( A.0 C.2 答案 C

) B.1 D.3

解析 集合 A 表示直线 l:x+y-1=0 上的点的集合,集合 B 表示抛物线 C:y=x2+1 上的 点的集合.
? ?x+y-1=0, 由? 消去 y 得 x2+x=0, 2 ? ?y=x +1

由于 Δ>0,所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点. 即 A∩B 有两个元素.故选 C. π π 9. 设命题 p: 函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ; 命题 q: 函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 对 2 2 称.则下列判断正确的是( A.p 为真 C.p∧q 为假 答案 C 解析 p 是假命题,q 是假命题,因此只有 C 正确. 10.已知 p:?x∈R,mx2+2≤0,q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.[1,+∞) C.(-∞,-2] 答案 A 解析 ∵p∨q 为假命题, ∴p 和 q 都是假命题. 由 p:?x∈R,mx2+2≤0 为假命题, 得綈 p:?x∈R,mx2+2>0 为真命题, ∴m≥0.① 由 q:?x∈R,x2-2mx+1>0 为假命题, 得綈 q:?x∈R,x2-2mx+1≤0 为真命题, ∴Δ=(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1 或 m≥1.② 由①和②得 m≥1.故选 A. 二、填空题 11.已知集合 P={x|x(x-1)≥0},Q={x|y=ln(x-1)},则 P∩Q=__________. 答案 (1,+∞) ) B.(-∞,-1] D.[-1,1] ) B.綈 q 为假 D.p∨q 为真

解析 由 x(x-1)≥0 可得 x≤0 或 x≥1, 则 P=(-∞,0]∪[1,+∞); 又由 x-1>0 可得 x>1, 则 Q=(1,+∞), 所以 P∩Q=(1,+∞). b 12.已知集合 A={x|x>2 或 x<-1},B={x|a≤x≤b},若 A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则 a =________. 答案 -4 解析 由 A={x|x>2 或 x<-1},A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4}, 可得 B={x|-1≤x≤4}, b 则 a=-1,b=4,故 =-4. a 13.由命题“?x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数 m 的取值范围是(a,+∞),则实 数 a 的值是________. 答案 1 解析 根据题意可得:?x∈R,x2+2x+m>0 是真命题,则 Δ<0,即 22-4m<0,m>1,故 a =1. 14.给出下列四个命题: ①命题“若 α=β,则 cos α=cos β”的逆否命题;
2 ②“?x0∈R,使得 x0 -x0>0”的否定是:“?x∈R,均有 x2-x<0”;

③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 答案 ①④ 解析 对①,因命题“若 α=β,则 cos α=cos β”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题,①正确;
2 对②,命题“?x0∈R,使得 x0 -x0>0”的否定应是:

“?x∈R,均有 x2-x≤0”,故②错; 对③,因由“x2=4”得 x=± 2, 所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. 15.已知集合 M 为点集,记性质 P 为“对?(x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给出

下列集合:①{(x,y)|x2≥y},②{(x,y)|2x2+y2<1},③{(x,y)|x2+y2+x+2y=0},④{(x,y)|x3 +y3-x2y=0},其中具有性质 P 的点集序号是________. 答案 ②④ 1 1 1 解析 对于①:取 k= ,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但( , )?{(x,y)|x2≥y},故①是不具有性 2 2 2 质 P 的点集. 对于②:?(x,y)∈{(x,y)|2x2+y2<1},则点(x,y)在椭圆 2x2+y2=1 内部,所以对 0<k<1, 点(kx,ky)也在椭圆 2x2+y2=1 的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x2+y2<1},故②是具有性质 P 的点集. 1 5 1 1 1 1 对于③:(x+ )2+(y+1)2= ,点( ,- )在此圆上,但点( ,- )不在此圆上,故③是不具 2 4 2 2 4 4 有性质 P 的点集. 对于④:?(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},对于 k∈(0,1),因为(kx)3+(ky)3-(kx)2· (ky)=0? x3+y3-x2y=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质 P 的点集.综上, 具有性质 P 的点集是②④.



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