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广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)



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广东省深圳市翠园中学 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理 科)
一.选择题:本大题共 8 小题,在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确,请把正 确的结论填涂在答题卡上.每小题 5 分,满分 40 分. 1. (5 分)复数 z= A. ,则|z|=() B.

C. D. 2

2. (5 分)以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为() 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x +y +2x=0 B. x +y +x=0 C. x +y ﹣x=0 D. x +y ﹣2x=0 3. (5 分)已知命题 p:? x0∈R,x0 +2x0+2≤0,那么下列结论正确的是() 2 2 A. 非 P:? x0∈R,x0 +2x0+2>0 B. 非 P:? x∈R,x +2x+2>0 2 2 C. 非 P:? x0∈R,x0 +2x0+2≥0 D. 非 P:? x∈R, x +2x+2≥0 4. (5 分)若椭圆经过原点,且焦点为 F1(﹣1,0) 、F2(﹣3,0) ,则其离心率为() A. B. C. D.
2

2

5. (5 分)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A? B“的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2

6. (5 分)曲线 y=x + 在点 P(1,2)处的切线方程是() A. x﹣y﹣1=0 B. x+y+1=0 C. x﹣y+1=0 D. x+y﹣1=0

7. (5 分)已知点 O 为坐标原点,点 A(1,0,0) 、点 B(1,1,0) ,则下列各向量中是平面 AOB 的一个法向量的是() A. (1,1,1) B. (1,0,1) C. (0,1,1) D. (0,0,1) 8. (5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则 P 到 x 轴的距离为() A. B. C. D.
2 2

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 9. (5 分) 《论语?学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐 不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手 足.”上述推理用的是. (在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项)

10. (5 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心,若 则 x﹣y 等于. 11. (5 分)观察下列等式: (1+1)=2×1 2 (2+1) (2+2)=2 ×1×3 3 (3+1) (3+2) (3+3)=2 ×1×3×5 ? 照此规律,第 n 个等式可为. 12. (5 分)求值 e dx=.
|x|

=

+x

+y



13. (5 分)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如 果直线 AF 的斜率为﹣ ,那么|PF|=. 14. (5 分)做一个封闭的圆柱形锅炉,容积为 V,若两个底面使用的材料与侧面的材料相同, 问锅炉的高与底面半径的比为时,造价最低.

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知命题 p:? x∈,a≥
2



命题 q:? x∈R,x +4x+a=0.若命题“p∧q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 16. (12 分)已知函数 f(x)=ax +cx+d(a≠0)在 R 上满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,当 x=1 时 f (x)取得极值﹣2. (1)f(x)的解析式. (2)求 f(x)的单调区间和极大值. 17. (14 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A= (1)求直线 A1D 与直线 CE 所成角的余弦值. (2)求二面角 D1﹣EC﹣A 的大小. ,AD=1,DC=2,点 E 为 AB 中点.
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18. (14 分)首项为正数的数列{an}满足 an+1= (an +3) ,n∈N+. (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N+都有 an+1>an,求 a1 的取值范围. 19. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

2

20. (14 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=clnx+b,且 x=

是函

数 y=f(x)的极值点,直线 l 是函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线. (1)求实数 a 的值和直线 l 的方程. (2)若直线 l 与函数 y=g(x)的图象相切于点 P(x0,y0) ,x0∈,求实数 b 的取值范围.

广东省深圳市翠园中学 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共 8 小题,在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确,请把正 确的结论填涂在答题卡上.每小题 5 分,满分 40 分. 1. (5 分)复数 z= A. ,则|z|=() B. C. D. 2

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z= 则|z|= = = . = ,

故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题. 2. (5 分)以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为() 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x +y +2x=0 B. x +y +x=0 C. x +y ﹣x=0 D. x +y ﹣2x=0 考点: 圆的一般方程;抛物线的简单性质. 2 分析: 先求抛物线 y =4x 的焦点坐标,即可求出过坐标原点的圆的方程 解答: 解:因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆 2 2 2 2 的半径为 r=1,故所求圆的方程为(x﹣1) +y =1,即 x ﹣2x+y =0, 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题. 3. (5 分)已知命题 p:? x0∈R,x0 +2x0+2≤0,那么下列结论正确的是() 2 2 A. 非 P:? x0∈R,x0 +2x0+2>0 B. 非 P:? x∈R,x +2x+2>0 2 2 C. 非 P:? x0∈R,x0 +2x0+2≥0 D. 非 P:? x∈R,x +2x+2≥0 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查了,要注意多量词和结论同时进行否定,? 的否定为? ,≤的否定为> 解答: 解:由含有量词的否定的定义得: 2 2 命题 p:? x0∈R,x0 +2x0+2≤0 的否定为:? x∈R,x +2x+2>0, 故选 B 点评: 本题考查了含有量词的命题的否定,属于基础题. 4. (5 分)若椭圆经过原点,且焦点为 F1(﹣1,0) 、F2(﹣3,0) ,则其离心率为() A. B. C. D.
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过椭圆定义直接计算即可. 解答: 解:由题可知:长轴长 2a=+=4,∴a=2, 焦距 2c=﹣1﹣(﹣3)=2,即 c=1, ∴e= = , 故选:B. 点评: 本题考查求椭圆的离心率,注意解题方法的积累,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 5. (5 分)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A? B“的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 先有 a=3 成立判断是否能推出 A? B 成立,反之判断“A? B”成立是否能推出 a=3 成 立;利用充要条件的题意得到结论. 解答: 解:当 a=3 时,A={1,3}所以 A? B,即 a=3 能推出 A? B; 反之当 A? B 时,所以 a=3 或 a=2,所以 A? B 成立,推不出 a=3 故“a=3”是“A? B”的充分不必要条件 故选 A. 点评: 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件.
2

6. (5 分)曲线 y=x + 在点 P(1,2)处的切线方程是() A. x﹣y﹣1=0 B. x+y+1=0 C. x﹣y+1=0 D. x+y﹣1=0

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程. 解答: 解:函数的导数为 f′(x)=2x﹣ ,

则 f′(1)=2﹣1=1, 即切线斜率为 1, 则函数在点(1,2)处的切线方程为 y﹣2=x﹣1, 即 x﹣y+1=0, 故选:C 点评: 本题主要考查函数切线的求解,利用导数的几何意义是解决本题的关键. 7. (5 分)已知点 O 为坐标原点,点 A(1,0,0) 、点 B(1,1,0) ,则下列各向量中是平面 AOB 的一个法向量的是() A. (1,1,1) B. (1,0,1) C. (0,1,1) D. (0,0,1) 考点: 平面的法向量. 专题: 空间向量及应用. 分析: 设平面 AOB 的一个法向量为 =(x,y,z) .可得 ,解出即可.

解答: 解:设平面 AOB 的一个法向量为 =(x,y,z) . 则 ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解得 x=y=0. ∴只有 D 中的向量(0,0,1)满足条件. 故选:D. 点评: 本题考查了平面的法向量、线面垂直的性质、数量积运算性质,考查了技能数列, 属于基础题. 8. (5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x ﹣y =1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则 P 到 x 轴的距离为() A. B. C. D.
2 2

考点: 双曲线的定义;余弦定理;双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设点 P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 , .由余弦定理得

cos∠F1PF2=

,由此可求出 P 到 x 轴的距离.

解答: 解:不妨设点 P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 , . 由余弦定理得 cos∠F1PF2= ,即

cos60°= 解得 ,所以 ,故 P 到 x 轴的距离为



故选 B. 点评: 本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通 过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 9. (5 分) 《论语?学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐 不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手 足.”上述推理用的是演绎推理. (在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 证明题;推理和证明. 分析: 演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别 结论的过程,演绎推理是从一般到特殊的推理,题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式. 解答: 解:演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或 个别结论的过程,演绎推理可以帮助我们发现结论,题目中所给的这种推理符合演绎推理的 形式, 故答案为:演绎推理. 点评: 本题考查演绎推理的意义,是一个基础题,这种题目可以单独出现,但是单独出现 的几率不大,通过这个题目同学们要掌握几种推理的特点,学会选择.

10. (5 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心,若 则 x﹣y 等于 0. 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 空间向量及应用. 分析: 如图所示, = , , ,

=

+x

+y



,可得

,即可得出. 解答: 解:如图所示, = ∴ 与 = +x +y , , 比较可得 x=y= , , , ,

∴x﹣y=0. 故答案为:0.

点评: 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 11. (5 分)观察下列等式: (1+1)=2×1 2 (2+1) (2+2)=2 ×1×3

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (3+1) (3+2) (3+3)=2 ×1×3×5 ? n 照此规律,第 n 个等式可为(n+1) (n+2) (n+3)?(n+n)=2 ?1?3?5??(2n﹣1) . 考点: 归纳推理. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: 通过观察给出的前三个等式的项数,开始值和结束值,即可归纳得到第 n 个等式. 解答: 解:题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项,第二个等式的 左边含有两项相乘,第三个等式的左边含有三项相乘,由此归纳第 n 个等式的左边含有 n 项 相乘,由括号内数的特点归纳第 n 个等式的左边应为: (n+1) (n+2) (n+3)?(n+n) , 每个等式的右边都是 2 的几次幂乘以从 1 开始几个相邻奇数乘积的形式,且 2 的指数与奇数 的个数等于左边的括号数, n 由此可知第 n 个等式的右边为 2 ?1?3?5?(2n﹣1) . n 所以第 n 个等式可为(n+1) (n+2) (n+3)?(n+n)=2 ?1?3?5?(2n﹣1) . n 故答案为(n+1) (n+2) (n+3)?(n+n)=2 ?1?3?5?(2n﹣1) . 点评: 本题考查了归纳推理,归纳推理是根据已有的事实,通过观察、联想、对比,再进 行归纳,类比,然后提出猜想的推理,是基础题. 12. (5 分)求值 e dx=2e﹣2.
|x| 3

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用定积分的运算法则将已知定积分分段然后计算求值. 解答: 解:原式= = =2e﹣2;

故答案为:2e﹣2. 点评: 本题考查了定积分的计算;关键是利用定积分的运算法则将已知定积分分段求值. 13. (5 分)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如 果直线 AF 的斜率为﹣ ,那么|PF|=8. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,根据直线 AF 的斜率得到 AF 方程,与 准线方程联立,解出 A 点坐标,因为 PA 垂直准线 l,所以 P 点与 A 点纵坐标相同,再代入抛物线方程求 P 点横坐标,利用抛物线的 定义就可求出|PF|长. 2 解答: 解:∵抛物线方程为 y =8x, ∴焦点 F(2,0) ,准线 l 方程为 x=﹣2, ∵直线 AF 的斜率为﹣ ,直线 AF 的方程为 y=﹣ (x﹣2) , 由 可得 A 点坐标为(﹣2,4 )
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵PA⊥l,A 为垂足, ∴P 点纵坐标为 4 ,代入抛物线方程,得 P 点坐标为(6,4 ) , ∴|PF|=|PA|=6﹣(﹣2)=8 故答案为 8 点评: 本题主要考查抛物线的几何性质,定义的应用,以及曲线交点的求法,属于综合题. 14. (5 分)做一个封闭的圆柱形锅炉,容积为 V,若两个底面使用的材料与侧面的材料相同, 问锅炉的高与底面半径的比为 1:2 时,造价最低. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 两个底面使用的材料与侧面的材料相同,面积最小,造价最低. 解答: 解:设圆柱的底面半径 r,高 h,容积为 v,则 V=π r h,∴h= S= 当且仅当 此时 h= = 即 r= =2π r( 时,S 最小即造价最低, )≥6 ?π r
2

∴r=2h 故答案为:1:2. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,利用基本不等式的关键是要符合 其形式,并且要注意验证等号成立的条件. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知命题 p:? x∈,a≥
2



命题 q:? x∈R,x +4x+a=0.若命题“p∧q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别求出命题 p,q 成立时的 a 的范围,从而得到“p∧q”是真命题时的 a 的范围. 解答: 解:设 f(x)= (1≤x≤e) ,则 f′(x)= ,

又 1≤x≤e,∴1﹣lnx≥0,即 f′(x)≥0, ∴f(x)在递增 f(x)max=f(e)= , 由已知得,命题 p:a≥ , 由命题 q,有△=16﹣4a≥0 即 a≤4, 又命题“p∧q”是真命题

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴a≥ 且 a≤4 成立,即 ≤a≤4, 故实数 a 的取值范围是. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了方程问题,考查了复合命题的真假的判断,是 一道基础题. 16. (12 分)已知函数 f(x)=ax +cx+d(a≠0)在 R 上满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,当 x=1 时 f (x)取得极值﹣2. (1)f(x)的解析式. (2)求 f(x)的单调区间和极大值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 3 分析: (1)由 f(﹣x)=﹣f(x)可得 d=0,得 f(x)=ax +cx,求出 f'(x) ,得方程组, 解出即可; 3 2 (2)由 f(x)=x ﹣3x 得 f'(x)=3x ﹣3,令 f'(x)=0 得 x1=﹣1,x2=1,从而求出单调区 间,进而求出极值. 解答: 解: (1)∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数,由 f(0)=0 可得 d=0, 3 ∴f(x)=ax +cx, 2 f'(x)=3ax +c, 当 x=1 时 f(x)取得极值﹣2, ∴ ,
3

解方程组得 a=1,c=﹣3, 3 故所求解析式为 f(x)=x ﹣3x. 3 2 (2)由 f(x)=x ﹣3x 得 f'(x)=3x ﹣3, 令 f'(x)=0 得 x1=﹣1,x2=1, 即增区间为(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) ,减区间(﹣1,1) ; ∴当 x=﹣1 时,函数有极大值 2. 点评: 本题考查了函数的单调性,导数的应用,函数的极值问题,属于中档题. 17. (14 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A= (1)求直线 A1D 与直线 CE 所成角的余弦值. (2)求二面角 D1﹣EC﹣A 的大小. ,AD=1,DC=2,点 E 为 AB 中点.

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考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)根据异面直线所成角的定义即可求直线 A1D 与直线 CE 所成角的余弦值. (2)根据二面角的定义求出二面角的平面角,结合三角形的边角关系即可求二面角 D1﹣EC﹣ A 的大小. 解答: 解: (1)连接 B1C,B1E,由题意 B1C∥A1D, 则∠B1CE 即为直线 A1D 与直线 CE 所成角, 在长方体中,A1A= ,AD=1,DC=2, E 为 AB 中点,有 B1C=B1E= ,EC= , 又在等腰△B1EC 中,有 cos∠B1CE= 故直线 A1D 与 CE 所成角的余弦值为 = . = ,

(2)连 DE,由条件得 DE=CE= , 又 DC=2, 2 2 2 在△DEC 中,DE +EC =CD , ∴DE⊥EC, 又根据已知得 D1D⊥EC,且 D1D∩DE=D, ∴EC⊥平面 D1DE,D1E? 平面 D1DE, ∴EC⊥D1E, ∴∠D1DE 即为所求的角. 在△D1DE 中,tanD1DE= ,

又∠D1DE 为锐角, ∴∠D1DE=45°, 故二面角 D1﹣EC﹣A 的大小为 45°.

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点评: 本题主要考查异面直线所成角以及二面角的求解,根据空间角的定义,利用定义法 是解决本题的关键.考查学生的计算能力.
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18. (14 分)首项为正数的数列{an}满足 an+1= (an +3) ,n∈N+. (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N+都有 an+1>an,求 a1 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)首先在 n=1 时,知 a1 为奇数,再利用归纳法证明对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)先求出 an+1﹣an 的表达式,利用函数思想求解不等式 an+1﹣an>0,求出 an 取值范围,利用 归纳法求出 a1 的取值范围. 解答: (1)证明:已知 a1 是奇数,假设 ak=2m﹣1 是奇数,其中 m 为正整数,则由递推关系 得 ak+1= =m(m﹣1)+1 是奇数.

根据数学归纳法,对任何 n≥2,an 都是奇数. (2)法一:由 an+1﹣an= (an﹣1) (an﹣3)知,an+1>an 当且仅当 an<1 或 an>3. 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1< 若 ak>3,则 ak+1> =3. =1;

根据数学归纳法得,0<a1<1?0<an<1,? n∈N+; a1>3?an>3,? n∈N+. 综上所述,对一切 n∈N+都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 法二:由 a2= >a1,得 a1 ﹣4a1+3>0,于是 0<a1<1 或 a1>3.
2

an+1﹣an=



=



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因为 a1>0,an+1=

,所以所有的 an 均大于 0,

因此 an+1﹣an 与 an﹣an﹣1 同号. 根据数学归纳法,? n∈N+,an+1﹣an 与 a2﹣a1 同号. 因此,对一切 n∈N+都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 点评: 此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用. 19. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 考点: 轨迹方程;三角形中的几何计算;点到直线的距离公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率,再利用直线 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式,化简后即为动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)对于存在性问题可先假设存在,由面积公式得: .根据角相等消去三角函数得比例式,最 后得到关于点 P 的纵坐标的方程,解之即得. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1) . 设点 P 的坐标为(x,y)

化简得 x +3y =4(x≠±1) . 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1) (Ⅱ)解:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 .

2

2

所以

即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 因为 x0 +3y0 =4,所以 故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 .
2 2

2

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题.

20. (14 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=clnx+b,且 x=

是函

数 y=f(x)的极值点,直线 l 是函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线. (1)求实数 a 的值和直线 l 的方程. (2)若直线 l 与函数 y=g(x)的图象相切于点 P(x0,y0) ,x0∈,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;分段函数的应用. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;直线与圆. 分析: (1)求出 x>0 的 f(x)的导数,由条件可得 f′( )=0,解得 a=1,可得函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线方程; (2)求出 g(x)的导数,求得 g(x)在切点处的切线的斜率和切线方程,由两直线重合的条 2 件可得 b 的解析式,记 h(x0)=2e (x0﹣x0lnx0﹣2) ,其中 x0∈,运用导数求得单调区间,极 值、最值,即可得到 b 的范围. 2 x 解答: 解: (1)x>0 时,f(x)=(x ﹣2ax)e , x 2 x x f′(x)=(2x﹣2a)e +(x ﹣2ax)e =e , 由已知,f′( )=0,即有 =0,

即 2+2 (1﹣a)﹣2a=0,得 a=1, 2 x 所以 x>0 时,f(x)=(x ﹣2x)e , 2 x f′(x)=(x ﹣2)e , 2 即 f(2)=0,f′(2)=2e , 2 2 则函数 f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线 l 的方程为:y=2e x﹣4e ; (2)由于直线 l 与函数 g(x)的图象相切于点 P(x0,y0) ,x0∈, 即 y0=clnx0+b,g′(x)= 所以切线 l 的斜率为 g′(x0)= 所以切线 l 的方程为 y﹣y0= 即 l 的方程为:y= ,

(x﹣x0) ,

x﹣c+b+clnx0,

于是可得

?
2



所以 b=2e (x0﹣x0lnx0﹣2)其中 x0∈, 2 记 h(x0)=2e (x0﹣x0lnx0﹣2) ,其中 x0∈, 2 2 h′(x0)=2e (1﹣(lnx0+1) )=﹣2e lnx0, 令 h′(x0)=0,得 x0=1, 当 x∈时,h′(x0)<0,h(x0)递减. 2 即有 x0=1 处 b 取得极大值,也为最大值,且为﹣2e ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 x0=e 时,b=4e﹣4e ,当 x0=e 时,b=﹣4e , 2 即有 b 的最小值为﹣4e , 则 b 的取值范围是. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几何 意义和直线方程的运用,正确求导和构造函数以及运用直线重合的条件是解题的关键.
﹣1 2 2

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