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2013届高考数学一轮复习课件:第二十五讲 平面向量的数量积 人教A版湖北文科



第五模块 平面向量

必修 4:第二章

平面向量

第二十五讲

平面向量的数量积

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1.向量的夹角

→ → (1)已知两个 非零 向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则 ∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角.

(2)向量夹角 θ 的范围是 [0,π] , 与 b 同向时, a 夹角 θ = 0 ;a 与 b 反向时,夹角 θ= π . (3)如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直, 记作 a⊥b . 2.向量的投影

|a|cosθ(|b|cosθ) ______________叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)
的投影.

3.平面向量数量积的定义 a· |a||b|cosθ (θ 是向量 a 与 b 的夹角), b= 规定: 零向量与 任一向量的数量积为 0 .

4.向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量, θ 是 a 与 e 的夹角,则

e (1)e· a= a· = |a|cosθ .

b=0 . (2)a⊥b?= a·

(3)当 a 与 b 同向时,a· b= |a||b| ; 当 a 与 b 反向时,a· b= -|a||b| ;

|a|2 ,或|a|= a· . a 特别地,a· a= a· b (4)cosθ= |a||b| .

(5)|a· ≤ |a||b|. b|

5.向量数量积的运算律
a (1)a· b= b· .(交换律) b) (λb) (2)(λa)· λ(a· = a· .(数乘结合律) b=

c (3)(a+b)· a· c= c+b· .(分配律)
6.平面向量数量积的坐标表示 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· x1x2+y1y2 . b= (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,则 x1x2+y1y2 cosθ= 2 2 2 2. x1+y1 x2+y2

(3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2, y2),则|a|= 间的距离公式. (4)设 a=(x1, 1), y b=(x2, 2), a⊥b? y 则

?x1-x2?2+?y1-y2?2

,这就是平面内两点

a· b=0

?

x1x2+y1y2=0 ______________.

思考感悟 数量积的运算满足结合律吗? 提示 数量积的运算不满足结合律, 即(a· b)c=a(b· c)不成 立.这是由于(a· 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b· b)c c)表示 一个与 a 共线的向量,因此(a· 与 a(b· b)c c)一般是不共线的.

考点陪练

1.(2011· 广东)若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a +2b)=( A.4 C.2 ) B.3 D.0

解析 =0.

由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b

答案

D

2.(2011· 辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a -c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 B.1 D.2 )

解析 可设 a=(1,0), b=(0,1), c=(cosθ, sinθ), 0≤θ≤2π. 由(a-c)· (b-c)≤0,得(1-cosθ,-sinθ)· (-cosθ,1-sinθ)≤0. 整理,化简,得 sinθ+cosθ≥1. |a+b-c|=|(1-cosθ,1-sinθ)|= ?1-cosθ?2+?1-sinθ?2= 3-2?sinθ+cosθ?≤ 3-2=1.
答案 B

→ → → → 3.P 是△ABC 所在平面上一点,若PA · =PB · = PB PC → → PC· ,则 P 是△ABC 的( PA A.外心 C.重心
答案

)

B.内心 D.垂心

D

→ → → 4.非零向量OA=a,OB=b,若点 B 关于OA所在直线的 → 对称点为 B1,则向量OB1为( 2?a· b?a A. 2 -b B.2a-b |a| 2?a· b?a-b 2?a· b?a-b C. D. |a|2 |a|
答案 A

)

→ → 5. (2011· 福建福州质检)直角坐标系 xOy 中, =(2,1), AB AC =(3,k),若三角形 ABC 是直角三角形,则 k 的可能值的个数 是( ) A.1 C.3 B.2 D.4

解析

→ → → AB-AC=CB=(-1,1-k),

→ → (1)AB· =0?k=-6, AC → → (2)AB· =0?k=-1, CB → → (3)AC· =0?k2-k+3=0, CB 由 Δ<0 得方程无解.
答案 B

名师讲解· 练思维

类型一 解题准备

数量积的性质及运算 1.数量积的运算要注意 a=0 时, b=0, a· a· 但 b

=0 时不能得到 a=0,或 b=0,因为 a⊥b 时,也有 a· b=0. 2.若 a,b,c 是实数,则 ab=ac?b=c(a≠0);但对于向 量, 就没有这样的性质, 即若向量 a, c 满足 a· b, b=a· c(a≠0), 则不一定有 b=c, 即等式两边不能同时约去一个向量,但可以 同时乘以一个向量.

【典例 1】

→ → (1)已知△ABC 中,|AB|=5,|AC|=4,

→ → → → → → → |BC|=3,则AB· +BC· +CA· 的值是________. BC CA AB

→ → → → → → [解析] 由已知可得BC⊥CA, 故原式=AB· +CA· = BC AB → → → →2 AB· +CA)=-|AB| =-25. (BC
[答案] -25

(2)设 a,b,c 是任意的非零向量,且互不共线.给出以下 命题:①(a· b)c-(c· a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b· c)a-(c· a)b 不与 c 垂直;④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题 的是________.

[解析] 对于①只有当向量 b,c 的方向相同时,二者才相 等所以①错;考虑②式对应的几何意义,由三角形两边之差小 于第三边知②正确;由[(b· c)a-(c· c=0 知(b· a)b]· c)a-(c· 与 a)b c 垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所 以④正确.所以正确命题的序号是②④.
[答案] ②④

类型二 解题准备

利用数量积解决长度、垂直问题 常用的公式与结论有:

①|a|2=a2=a· a,或|a|= a· a= a2; ②|a± b|= ?a± 2= a2± b+b2; b? 2a· ③若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.其中①③两个公式应用广 泛,需重点把握. ④a⊥b?a· b=0(a,b 均为非零向量); ⑤设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.

【典例 2】 已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? [分析] 利用|a|= a· a⊥b?a· a及 b=0 即可解决问题.

[解]

1 由已知 a· b=4×8×(- )=-16. 2

(1)①∵|a+b|2=a2+2a· 2 b+b =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162, ∴|4a-2b|=16 3.

(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0. 16k-16(2k-1)-2×64=0, ∴k=-7.

类型三 解题准备

利用数量积解决夹角问题 1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的

夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点. a· b 2.①cos〈a,b〉= ;②设 a=(a1,a2),b=(b1,b2), |a||b| 则 a1b1+a2b2 cos〈a,b〉= 2 2 2 2. a1+a2· b1+b2 3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.

【典例 3】

已知 a,b 都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.

求 a 与 a+b 的夹角. a· b [分析] 由公式 cos〈a,b〉= 可知,求两个向量的夹 |a||b| 角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利 用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.

[解]

解法一:由|a|=|b|=|a-b|,得|a|2=|b|2,|b|2=a2-

1 2a· 2,所以 a· a2. b+b b= 2 1 而|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=2|a|2+2× |a|2 2 =3|a|2, 所以|a+b|= 3|a|.

设 a 与 a+b 的夹角为 θ, 1 a2+ a2 a· ?a+b? 2 3 则 cosθ= = = , 2 |a||a+b| 3|a|2 由于 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=30° .

解法二:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 由|a|=|b|=|a-b|,得 |a|2=|b|2,|a-b|2=a2-2a· 2, b+b
2 所以 x2+y2=x2+y2 1 1 2 2 2 =x1+y1+x2+y2-2x1x2-2y1y2, 2 2

1 2 2 即 x1x2+y1y2= (x1+y1). 2

所以|a+b|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=x2+y2+ 1 1 x2+y2+2x1x2+2y1y2=3(x2+y2), 2 2 1 1
2 故|a+b|= 3 x2+y1. 1

设 a 与 a+b 的夹角为 θ, a· ?a+b? 2 3 则 cosθ= = 2 2 = , |a||a+b| x1+y1· 3· x2+y2 2 1 1 由于 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=30° . 1 2 2 2 2 x1+y1+ ?x1+y1?

[反思感悟] (1)求两个向量的夹角,需求得 a· 及|a|,|b| b 或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是[0° ,180° ].正确 理解公式是关键. (2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵 活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解 答此类题目显得更加简捷和直观.

名师纠错· 补漏洞

错源一

利用点平移与向量平移设置陷阱

→ 【典例 1】 已知 A(3,7),B(5,2),将AB按向量 a=(1,2) 平移后所得向量的坐标是( A.(1,7) C.(10,4) ) B.(2,-5) D.(3,-3)

→ [错解] 因为 A(3,7),B(5,2),所以AB=(2,-5), 将 x=2,y=-5 及 h=1,k=2,代入平移公式,得 x′ → =2+1=3,y′=-5+2=-3,故AB按向量 a 平移后所得向 量坐标是(3,-3),选 D.

[剖析]

平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变

化关系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公 式.
[正解] 因向量平移后仍与原向量相等.

→ → 故A′B′=AB=(2,-5),故选 B.
[答案] B

错源二

利用平移前后的解析式设置陷阱

【典例 2】 将函数 y=f(x)的图像按向量 a 平移,使图像 上的点 A 的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图像的解析式为 ( ) A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2

[错解] 因为点 A 的坐标由(2,3)变为(3,5), 所以 a=(3-2,5
?x′=x+1, ? -3)=(1,2),由平移公式得? ?y′=y+2, ?

所以 y+2=f(x+1),选 D.
[剖析] 上述错误是把点的平移与图像的平移混为一谈.

[正解] a=(3-2,5-3)=(1,2),设 P(x,y)为 y=f(x)的图 像上任意一点,平移后的对应点为 P′(x′,y′),由平移公
?x′=x+1, ? 式得? ?y′=y+2, ? ?x=x′-1, ? 则? ?y=y′-2, ?

将它们代入 y=f(x)中,

得 y′-2=f(x′-1),习惯上将上式中的 x′,y′写作 x,y, 即 y-2=f(x-1),故选 A.
[答案] A

错源三

利用平移方向设置陷阱

【典例 3】 将 y=2x-6 的图像按向量 a 平移后,得到 y =2x 的图像,那么 a=________.

[错解] 因为 y=2x-6=2(x-3),所以要得到 y=2x 的图 像,只需将 y=2x-6 的图像沿着 x 轴向左平移 3 个单位长度, 故 a=(-3,0); y=2x 的图像可以看作将 y=2x-6 的图像沿 又 着 y 轴向上平移 6 个单位长度得到的,故 a=(0,6),所以向量 a=(-3,0)或(0,6).

[剖析] 上述错误是对图像平移的定义没有弄清所致,根 据图像平移的定义可知, 图像的平移就是将图像 F 上所有点按 照同一方向,移动同样长度,得到图像 F′.此处它只需按照同 一方向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.

[正解] 设 a=(h,k),P(x,y)是函数 y=2x-6 的图像上 任意一点, 它在函数 y=2x 的图像上的对应点为 P′(x′, y′),
?x′=x+h, ? 由平移公式 ? ?y′=y+k, ? ?x=x′-h, ? 得? ?y=y′-k, ?

将它们代入 y=

2x-6 中,得 y′-k=2(x′-h)-6,即 y′=2x′-2h-6+ k,所以平移后函数解析式为 y=2x-2h-6+k,因为 y=2x- 2h-6+k 与 y=2x 为同一函数,所以-2h-6+k=0,即 k= 2h+6,因此,所求向量 a=(h,2h+6)(h∈R).
[答案] (h,2h+6)(h∈R)

错源四

误用实数的运算律或运算法则而致错

【典例 4】 已知 a,b 都是非零向量,且向量 a+3b 与 7a-5b 垂直,向量 a-4b 与 7a-2b 垂直,求向量 a 与 b 的夹 角.

[错解]

??a+3b?· ?7a-5b?=0, ? 由题意得? ??a-4b?· ?7a-2b?=0, ?

?7a2+16a· b-15b2=0, ? 即? 2 ?7a -30a· b+8b2=0, ?

两式相减,得 46a· b-23b2=0, 即 b· (2a-b)=0, 所以 b=0(舍去),或 2a-b=0, 由 2a-b=0 知 a 与 b 同向,故向量 a 与 b 的夹角为 0° .

[剖析]

本题误用实数的运算性质,即实数 a,b 若满足

ab=0,则必有 a=0,或 b=0,但对于向量 a,b 若满足 a· b= 0,则不一定有 a=0,或 b=0,因为由 a· b=|a|· |b|cosθ 知与 θ 有关,当 θ=90° 时,a· b=0 恒成立,此时 a,b 均可以不为 0.

[正解] 由前知 b2=2a· b,代入 7a2+16a· b-15b2=0,得 a2=2a· b, 所以 a2=b2=2a· b, 1 2 |a | a· 2 b 1 故 cosθ= = = , |a|· |b| |a2| 2 则两向量的夹角 θ=60° .

[评析] 向量的数量积与实数的积有着本质上的区别,其 主要表现为运算律或运算法则上的区别, 因此解答向量的数量 积时,不要受到实数积形成的定势思维的影响.

名师技法· 练智力

技法一

方程思想
?7 1? ?1 7? a=?2,2?,b=?2,-2?的夹角相等, ? ? ? ?

【典例 1】 与向量 且模为 1 的向量是(
?4 3? A.?5,-5? ? ?

)

?4 3? ? 4 3 ? B.?5,-5?或?-5,5? ? ? ? ? ?2 2 1? ? ? C.? ,- ? 3? ? 3 ?2 2 1? ? 2 2 1? ? ? ? ? D.? ,- ?或?- , ? 3? ? 3 3? ? 3

[解析] 设满足题意的向量 e=(x,y),
?a· e, ? e=b· ? 则 ?|e|=1, ? ?1 7? ??7 1? ? ,- ?· ?? , ?· 2 2? ?x,y?=?2 2? ?x,y?, ? ? 即? ? x2+y2=1. ?

1 1 7 ?7 ? x+ y= x- y, 2 2 2 ?2 ? x2+y2=1, ?

? 4 ?x=5, 解之得? ?y=-3, 5 ? 故选 B.

4 ? ?x=-5, 或? ?y=3. ? 5

[答案] B

[方法与技巧] 本题考查的是单位向量问题,有关单位向 量的求解常常根据题设构造方程组,通过解方程组求解.

技法二

分类讨论思想

【典例 2】 已知|a|=4,|b|=5,当 a∥b 时,求 a 与 b 的 数量积. [解题切入点] 已知|a|=4,|b|=5,求 a· b,只需确定其夹 角 θ.注意到 a∥b 时,有 θ=0° θ=180° 和 两种可能,故需分类 讨论.

[解]

因为 a∥b,故当 a 与 b 同向时,

θ=0° b=|a|· ,a· |b|cos0° =20; 当 a 与 b 反向时,θ=180° , 所以 a· b=|a|· |b|cos180° =-20. [方法与技巧] 重不漏. 对问题分类讨论时,要分类完整,做到不

技法三

整体思想 若向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且|a|=3,

【典例 3】

|b|=1,|c|=4,则 a· b+b· c+c· a=________. [解题切入点] 直接运用公式求解,需确定出 a 与 b,b 与 c,a 与 c 的夹角,这是解题的一个难点,可考虑运用变形公式 整体求解.

[解析] 因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a· b+b· a), c+c· 所以 a· b+b· a c+c· ?a+b+c?2-?a2+b2+c2? = 2 0-?32+12+42? = 2 =-13.
[答案] -13

[方法与技巧]

本题是利用(a+b)2=a2+2a· b+b2 推广到

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a· b+b· c+a· c),通过整体变形来解 决问题.



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