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山东省潍坊市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷



2014-2015 学 年 第 四 学 段 模 块 监 测

高二数学(文科)
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选

出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.(特别强调:为方 便本次阅卷,每位考生在认真填涂 “数学”答题卡的前提下,再将Ⅰ卷选择题答案重涂在 另一答题卡上.)如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x ? 2 ? x ? 2} ,则 A ? B ? A. [?2,3] B. [?3,2] C. [?1,2] D. [?1,2)

2.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 3.函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1] 3 D.- 7

4.函数 f(x)=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为 A.10 B.5
? 1 2

C.-1 ,则 C. z ? y ? x

5.已知 x ? ln ? ,y ? log 1 ? , z ? e A. x ? y ? z 6.已知函数 f ( x) ? A. (0, 1)
2

B. z ? x ? y

D. y ? z ? x

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 零点的区间是 x
B. (1, 2) C.(2, 4)

(4,? ?) D.

7.函数 f ? x ? ? ln x 2 ? 1 的图象大致是

?

?

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8.已知函数 y=ax3-x 在(-1,1)上是单调减函数,则实数 a 的取值范围 A. a ?

1 3

B. a ? 1

C. a ?

1 3

D. a ?

1 3

9.已知正数 x, y 满足 ? A.1 10.如果函数 f ? x ? ? 则 mn 的最大值为 A.16

?2 x ? y ? 0 1 ,则 z ? 4 ? x ? ( ) y 的最小值为 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
B.

13 2 4

C.

1 16

D.

1 32

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 单调递减, ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ? 81 2

B.18

C.25

D.

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项:第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线方程为
3

. .

?21? x ( x ? 1) 12.设 函 数 f ( x ) = ? ,则 满 足 f( x) ≤ 2 的 x 的 解 集 是 ?1 ? log 2 x( x>1)
13.观察下列不等式:

1 3 ? , 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 3 4 4 1?
…… 照此规律,第五个 不等式为 ...
x y

.

14.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 ? lg 8 ? lg 2 ,则

1 1 的最小值是 ? x 3y

.

15 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) , 且 x ? [0, 2] 时 ,

f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,给出下列结论:
① f (3) ? 1 ;
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②函数 f ( x) 在 [?6, ?2] 上是减函数; ③函数 f ( x) 关于直线 x ? 4 对称; ④若 m ? (0,1) ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 [0, 6] 上所有根之和为 4 . 其中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 6}, B ? { y | y ? 2 x , 2 ? x ? 3} . (Ⅰ)分别求 A ? B, CU B ? A ; (Ⅱ)已知 C ? {x | a ? x ? a ? 1}, 若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)
2 已 知 命 题 p : 函 数 y ? x ? 2 x ? a 在 区 间 ?1, 2 ? 上 有 1 个 零 点 ; 命 题 q : 函 数

y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点.如果 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,
求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2x3+ax2+bx+3 在 x=-1 和 x=2 处取得极值. (Ⅰ)求 f(x)的表达式和极值; (Ⅱ)若 f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,试求 m 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? 的定义域为 [?2, 2] ,若对于任意的 x, y ? [ ?2, 2] ,都有

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,且当 x ? 0 时,有 f ? x ? ? 0 .
(Ⅰ)证明: f ? x ? 为奇函数; (Ⅱ)判断 f ? x ? 在 [?2, 2] 上的单调性,并证明; ( III )设 f ?1? ? 1 ,若 f ( x) ? log a m ( a ? 0 且 a ? 1 )对 ? x ? ? ?2, 2? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根
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据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间满足关系:

? 1 ,1 ? x ? c, ? ?6 ? x (其中 c 为小于 6 的正常数) P?? ? 2, x?c ? ? 3
(注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合 格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元, 但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故 厂方希望定出合适的日产量. (Ⅰ)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润? 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ( x ? 1)

2

? ln x , a ? R.

(Ⅰ)当 a ??

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

(Ⅱ) a ?

1 1 时,令 h( x) ? f ( x) ? 3ln x ? x ? .求 h( x) 在 [1, e] 上的最大值和最小值; 2 2

( III )若函数 f ( x) ? x ? 1 对 ? x ? [1,??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2014-2015 学 年 第 四 学 段 模 块 监 测

高二数学(文科)参考答案
一、选择题:1—5 ADCDD 二、填空题 11. 3 x ? y ? 3 ? 0 14.4 三、解答题
x

2015.7

6—10CADCB 12. [0, ??) 15.①②④ 13. 1 ?

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6

16. 解:? y ? 2 在 R 上为增函数,

? 2 2 ? y ? 23 , ? B ? { y 4 ? y ? 8} ………………2 分

? CU B ? { y y ? 4 或 y ? 8} .………………4 分
(Ⅰ)? A ? B ? {x 4 ? x ? 6} ,………………6 分

? CU B ? A ? {y y ? 6 或 y ? 8} .………………8 分 (Ⅱ)? C ? B ? a?4 ,………………10 分 ?? ?a ? 1 ? 8 ? 4 ? a ? 7 .………………12 分
17. 解:对于命题 p : 函数 y ? x ? 2 x ? a 在区间 ?1, 2 ? 上有 1 个零点,
2

因二次函数开口向上,对称轴为 x ? 1 , 所以 ?

? 12 ? 2 ?1 ? a ? 0
2 ?2 ? 2 ? 2 ? a ? 0
2

所以 0 ? a ? 1 ;……3 分

对于命题 q : 函数 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点, 所以 ? ? (2a ? 3) ? 4 ? 0 ,即 4a 2 ? 12a ? 5 ? 0 ,
2

5 1 或 a ? .………………6 分 2 2 因为 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,所以命题 p, q 一真一假,………………7 分
解得 a ?

?0 ? a ? 1 1 ? ① p 真 q 假,则 ? 1 5 ,所以 ? a ? 1 ,………………9 分 2 ?a? ? 2 ?2
?a ? 1或a ? 0 5 ? 1 5 ,所以 a ? 或 a ? 0 ,………………11 分 2 a ? 或a ? ? ? 2 2

② p 假 q 真,则 ?

故实数 a 的取值范围是 (??, 0] U ( , ??) .………………12 分 18. 解:(Ⅰ)依题意知:f′(x)=6x2+2ax+b=0 的两根为-1 和 2,
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5 2

? a ? ? ?1 ? 2, ?a=-3, ? ? ? 3 ∴? ………………3 分 , ∴? ? ?b=-12. ? b ? ?1? 2, ? ? 6
∴f(x)=2x3-3x2-12x+3, ∴f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2), 令 f′(x)>0 得,x<-1 或 x>2;令 f′(x)<0 得,-1<x<2, ∴f(x)极大=f(-1)=10. f(x)极小=f(2)=-17………………6 分 (Ⅱ)由(1)知,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在[-1,2]上单调递减.

?m≥-1, ? ∴m+4≤-1 或? 或 m≥2, ? ?m+4≤2,
∴m≤-5 或 m≥2,

………………9 分

即 m 的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞).………………12 分 19. 解:(Ⅰ)令 x ? y ? 0 ,? f ?0 ? ? 0 ,………………1 分 令 y ? ? x ? f ? x ? ? f ?? x ? ? f ?0 ? ? 0,? f ?? x ? ? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 奇函数. ……4 分 (Ⅱ) f ? x ? 在 [?2, 2] 上为单调递增函数. ………………5 分

? f ? x ? 是定义在 [?2, 2] 上的奇函数, ? f ?x 2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? f ?? x1 ? ? f ?x 2 ? x1 ? ? 0 ,? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ,
f ? x ? 在 [?2, 2] 上为单调递增函数. ………………8 分
( III )

任取 ?2 ? x1 ? x2 ? 2 ,? x 2 ? x1 ? 0 ,? f ? x 2 ? x1 ? ? 0 ,

f ? x ? 在 [?2, 2] 上为单调递增函数,

? f ? x ?max ? f ? 2 ? ? f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1) ? 2 ,

f ( x) ? log a m 对 ? x ? ? ?2, 2? 恒成立,
? log a m ? 2 ,………………10 分
当 a ? 1 时,? m ? a 2 ; 当 0 ? a ? 1 时,? 0 ? m ? a 2 .………………12 分 20. 解: (Ⅰ)当 x ? c 时, P ? 当 1 ? x ? c 时, P ?

2 1 2 ,? T ? x ? 2 ? x ?1 ? 0 ……2 分 3 3 3

1 , 6? x

1 1 9 x ? 2 x2 ?T ? (1 ? )? x?2? ( ) ? x ?1 ? ……4 分 6? x 6? x 6? x
综上,日盈利额 T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为:
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? 9x ? 2x2 ,1 ? x ? c ? T ? ? 6? x ? 0, x?c ?

……6 分

(Ⅱ)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0, 1? x ? c ,

(i ) 当 3 ? c ? 6 时,

9x ? 2x2 9 T? ? 15 ? 2[(6 ? x) ? ] ? 15 ? 12 ? 3 6? x 6? x
当且仅当 x ? 3 时取等号……9 分

Tmax ? 3 ,此时 x ? 3

……10 分

(ii ) 当 1 ? c ? 3 时,由 T ? ?

2 x 2 ? 24 x ? 54 2( x ? 3)( x ? 9) ? 知 (6 ? x) 2 (6 ? x) 2

函数 T ?

9x ? 2x2 9c ? 2c 2 在 [1,3] 上递增,? 当 x ? c 时? Tmax ? ,……12 分 6? x 6?c

综上,若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润; 若 1 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,可获得最大利润.……13 分 21.解: (Ⅰ) a ? ? f'(x) ? ?

1 1 , f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? ln x ,(x>0) …………………… 1 分 4 4

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) ,……………………2 分 x? ? ? ? 2 2 x 2x 2x

① 当 0< x < 2 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; ② 当 x>2 时,f'(x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) .……………………4 分 (Ⅱ) h?( x) ? x ?

2 ,令 h?( x) ? 0 得 x ? 2 ,……………………5 分 x

当 x ? ?1, 2 ? 时 h?( x) <0,当 x ? ? 2,e ? 时 h?( x) >0,

?

?

?

?

故x?

2 是函数 h( x) 在 ?1,e? 上唯一的极小值点,……………………6 分

故 h( x) min ? h( 2) ? 1 ? ln 2 又 h(1) ?

1 , 2

h (e) ?

1 2 1 e ?2 ? , 2 2
注:列表也可。

所以 h( x) max ?

e2 ? 4 1 2 .…………………… 8 分 e ?2= 2 2

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( III )由题意得 a ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立,……………………9 分
2

设 g ( x) ? a ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

求导得 g'(x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ,…………………………10 分 ? x x

① 当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减

g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;………………………………………………11 分
② 当a ?

1 1 时, x ? ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 2 2a

所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立;……………………………………12 分

1 1 1 1 时, x ? ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,??) 单调递增, 2 2a 2a 2a 1 1 1 1 1 1 则存在 ? [ ,??) ,有 g ( ) ? a ( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , a 2a a a a a
③ 当0 ? a ? 所以不成立, …………………………………………………………………………13 分 综上得 a ? 0 .…………………………………………………………………………14 分

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2014-2015 学 年 第 四 学 段 模 块 监 测

高二数学(文科)参考答案
一、选择题:1—5 ADCDD 二、填空题 11. 3 x ? y ? 3 ? 0 14.4 三、解答题
x

2015.7

6—10CADCB 12. [0, ??) 15.①②④ 13. 1 ?

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6

16. 解:? y ? 2 在 R 上为增函数,

? 2 2 ? y ? 23 , ? B ? { y 4 ? y ? 8} ………………2 分

? CU B ? { y y ? 4 或 y ? 8} .………………4 分
(Ⅰ)? A ? B ? {x 4 ? x ? 6} ,………………6 分

? CU B ? A ? {y y ? 6 或 y ? 8} .………………8 分 (Ⅱ)? C ? B ? a?4 ,………………10 分 ?? ?a ? 1 ? 8 ? 4 ? a ? 7 .………………12 分
17. 解:对于命题 p : 函数 y ? x ? 2 x ? a 在区间 ?1, 2 ? 上有 1 个零点,
2

因二次函数开口向上,对称轴为 x ? 1 , 所以 ?

? 12 ? 2 ?1 ? a ? 0
2 ?2 ? 2 ? 2 ? a ? 0
2

所以 0 ? a ? 1 ;……3 分

对于命题 q : 函数 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点, 所以 ? ? (2a ? 3) ? 4 ? 0 ,即 4a 2 ? 12a ? 5 ? 0 ,
2

5 1 或 a ? .………………6 分 2 2 因为 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,所以命题 p, q 一真一假,………………7 分
解得 a ?

?0 ? a ? 1 1 ? ① p 真 q 假,则 ? 1 5 ,所以 ? a ? 1 ,………………9 分 2 ?a? ? 2 ?2
?a ? 1或a ? 0 5 ? 1 5 ,所以 a ? 或 a ? 0 ,………………11 分 2 a ? 或a ? ? ? 2 2

② p 假 q 真,则 ?

故实数 a 的取值范围是 (??, 0] U ( , ??) .………………12 分 18. 解:(Ⅰ)依题意知:f′(x)=6x2+2ax+b=0 的两根为-1 和 2,
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5 2

? a ? ? ?1 ? 2, ?a=-3, ? ? ? 3 ∴? ………………3 分 , ∴? ? ?b=-12. ? b ? ?1? 2, ? ? 6
∴f(x)=2x3-3x2-12x+3, ∴f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2), 令 f′(x)>0 得, x<-1 或 x>2;令 f′(x)<0 得,-1<x<2, ∴f(x)极大=f(-1)=10. f(x)极小=f(2)=-17………………6 分 (Ⅱ)由(1)知,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在[-1,2]上单调递减.

?m≥-1, ? ∴m+4≤-1 或? 或 m≥2, ? ?m+4≤2,
∴m≤-5 或 m≥2,

………………9 分

即 m 的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞).………………12 分 19. 解:(Ⅰ)令 x ? y ? 0 ,? f ?0 ? ? 0 ,………………1 分 令 y ? ? x ? f ? x ? ? f ?? x ? ? f ?0 ? ? 0,? f ?? x ? ? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 奇函数. ……4 分 (Ⅱ) f ? x ? 在 [?2, 2] 上为单调递增函数. ………………5 分

? f ? x ? 是定义在 [?2, 2] 上的奇函数, ? f ?x 2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? f ?? x1 ? ? f ?x 2 ? x1 ? ? 0 ,? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ,
f ? x ? 在 [?2, 2] 上为单调递增函数. ………………8 分
( III )

任取 ?2 ? x1 ? x2 ? 2 ,? x 2 ? x1 ? 0 ,? f ? x 2 ? x1 ? ? 0 ,

f ? x ? 在 [?2, 2] 上为单调递增函数,

? f ? x ?max ? f ? 2 ? ? f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1) ? 2 ,

f ( x) ? log a m 对 ? x ? ? ?2, 2? 恒成立,
? log a m ? 2 ,………………10 分
当 a ? 1 时,? m ? a 2 ; 当 0 ? a ? 1 时,? 0 ? m ? a 2 .………………12 分 20. 解: (Ⅰ)当 x ? c 时, P ? 当 1 ? x ? c 时, P ?

2 1 2 ,? T ? x ? 2 ? x ?1 ? 0 ……2 分 3 3 3

1 , 6? x

1 1 9 x ? 2 x2 ?T ? (1 ? )? x?2? ( ) ? x ?1 ? ……4 分 6? x 6? x 6? x
综上,日盈利额 T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为:
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? 9x ? 2x2 ,1 ? x ? c ? T ? ? 6? x ? 0, x?c ?

……6 分

(Ⅱ)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0, 1? x ? c ,

(i ) 当 3 ? c ? 6 时,

9x ? 2x2 9 T? ? 15 ? 2[(6 ? x) ? ] ? 15 ? 12 ? 3 6? x 6? x
当且仅当 x ? 3 时取等号……9 分

Tmax ? 3 ,此时 x ? 3

……10 分

(ii ) 当 1 ? c ? 3 时,由 T ? ?

2 x 2 ? 24 x ? 54 2( x ? 3)( x ? 9) ? 知 (6 ? x) 2 (6 ? x) 2

函数 T ?

9x ? 2x2 9c ? 2c 2 在 [1,3] 上递增,? 当 x ? c 时? Tmax ? ,……12 分 6? x 6?c

综上,若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润; 若 1 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,可获得最大利润.……13 分 21.解: (Ⅰ) a ? ? f'(x) ? ?

1 1 , f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? ln x ,(x>0) …………………… 1 分 4 4

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) ,……………………2 分 x? ? ? ? 2 2 x 2x 2x

③ 当 0< x < 2 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; ④ 当 x>2 时,f'(x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) .……………………4 分 (Ⅱ) h?( x) ? x ?

2 ,令 h?( x) ? 0 得 x ? 2 ,……………………5 分 x

当 x ? ?1, 2 ? 时 h?( x) <0,当 x ? ? 2,e ? 时 h?( x) >0,

?

?

?

?

故x?

2 是函数 h( x) 在 ?1,e? 上唯一的极小值点,……………………6 分

故 h( x) min ? h( 2) ? 1 ? ln 2 又 h(1) ?

1 , 2

h (e) ?

1 2 1 e ?2 ? , 2 2
注:列表也可。

所以 h( x) max ?

e2 ? 4 1 2 .…………………… 8 分 e ?2= 2 2

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( III )由题意得 a ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立,……………………9 分
2

设 g ( x) ? a ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

求导得 g'(x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ,…………………………10 分 ? x x

④ 当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减

g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;………………………………………………11 分
⑤ 当a ?

1 1 时, x ? ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 2 2a

所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立;……………………………………12 分

1 1 1 1 时, x ? ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,??) 单调递增, 2 2a 2a 2a 1 1 1 1 1 1 则存在 ? [ ,??) ,有 g ( ) ? a ( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , a 2a a a a a
⑥ 当0 ? a ? 所以不成立, …………………………………………………………………………13 分 综上得 a ? 0 .…………………………………………………………………………14 分

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