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黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题



哈三中 2016—2017 学年度上学期 高三学年期中考试
考试时间为 120 分钟; (2)第 I 卷,第 II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

数学(理科)试卷

考试说明: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.

第 I 卷(选择题,

r />符合题目要求的) 1. sin 15 ? ? cos 15 ? 的值为 A. 2.

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是

2 2

B. ?

2 2

C.

6 2

D. ?

6 2

已知向量 a ? ( 2,3), b ? ( x,1) ,若 a ? b ,则实数 x 的值为

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

2 3

D. ?

2 3

3.

设 A, B 是两个集合,则“ A ? B ? A ”是“ A ? B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.

若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tana7 的值为 A. ? 3 B. ?

3 C. ? 3 D. 3 3

5.

将函数 f ( x) ? cos( 2 x ? 是 A. x ?

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位长度后, 所得图象的一条对称轴方程可以 12

? 6

B. x ?

? 4

C. x ?

? 3

D. x ?

? 12

·1·

6.

在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? A. 4 B. 8 C. ? 6 D. ? 4

? ?? ? ??

7.

在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2b cos C ,则 ?ABC 的形状是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形
? ??

C.等腰三角形
? ?? ? ??

D.等边三角形

8.

设 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且 2 PA ? 2 PB ? PC ? 0 ,则 ?PAC 的面积与 ?ABC 的面积之 比等于 A.

1 4

B.

2 5

C.

1 5

D.不确定

? 2 1 x ?2x ? x?0 ? ? 2 9.函数 f ? x ? ? ? 的零点个数为 ? lg x ? 1 x ? 0 ? ?
A. 1 个 10. 已知 cos ? ? B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

1 1 ? , cos( ? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,则 cos(? ? ? ) ? 3 3 2 1 2
C.

A. ?

1 2

B.

13 27

D.

23 27

11.在 ?ABC 中, ( AB ? 3AC) ? CB ,则角 A 的最大值为 A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

12.已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ?

?
4

,若

? cos C ???? ???? cos B ??? AB ? AC ? 2mAO ,则 m = sin C sin B

A.

1 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

3 3

第Ⅱ卷(非选择题,

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)
·2·

13.已知 a ? (1,2), b ? ?1,1? ,则 a 在 b 方向上的投影为. 14.已知 tan(

?
4

? ? ) ? 3, 则 sin 2? ? 2 cos2 ? =.

15.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8, 则 x ? 2 y 的最小值是 .

[:.]

16.设 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c ,且 2 sin A ? sin B ? sin C, a ? 2 ,则 ?ABC 面 积的最大值为. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 m ? ?2a,1?, n ? ?2b ? c, cosC ? ,且

m // n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3, ,求 b ? c 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 若向量 a ?

?

3 cos ? x,sin ? x , b ? ? sin ? x,0? ,其中 ? ? 0 ,
1 .若函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? m ( m 为常数)相 2

?

记函数 f ? x ? ? ? a ? b ? ? b ?

切,并且切点的横坐标依次成公差是 ? 的等差数列. (Ⅰ)求 f ? x ? 的表达式及 m 的值; (Ⅱ)将 f ? x ? 的图象向左平移

? 个单位,再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标 6 ? 不变)后得到 y ? g ? x ? 的图象,求 y ? g ? x ? 在 [0, ] 上的值域. 2

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 a ? 2 2 , cos 2 A ? ?

7 , 9

·3·

AB ? AC ? ?1 .
(Ⅰ)求 b 和 c ;

[:]

(Ⅱ)求 sin ? A ? B ? 的值.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? log 3 9 ? 1 ? mx 为偶函数, g ? x ? ?
x

?

?

9x ? n 为奇函数. 3x

(Ⅰ)求 m ? n 的值; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? log3 [ g ( x) ? 3 取值范围.
?x

? 4] ? log3 a 的图象有且只有一个交点,求实数 a 的

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a?x ? 1? ,其中 a 为实数. (Ⅰ)讨论并求出 f ?x ? 的极值; (Ⅱ)在 a ? 1 时,是否存在 m ? 1 ,使得对任意的 x ? ?1, m? 恒有 f ?x ? ? 0 ,并说明理由; (III)确定 a 的可能取值,使得存在 n ? 1 ,对任意的 x ? ?1, n ? ,恒有 f ?x ? ? ?x ? 1? .
2

请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)

·4·

在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数).以直角坐标系 ? y ? sin ?

原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? ? cos(? ? ) ? 2 2 .
4
(Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值.

23.(本小题满分 10 分) 已知 a、b、c 均为正数. (Ⅰ)求证: a 2 ? b2 ? ?

?1 1? ? ? ?4 2; ?a b?
9 4 1 ? ? ? 100 . a b c

2

(Ⅱ)若 a ? 4b ? 9c ? 1 ,求证:

·5·

理科答案
一、选择题 1-12CBCDA 二、填空题 13. ACBDD AB

3 2 2

14. -

4 5

15. 4

16. 3

三、解答题 17.(1) )

?
3

(2) ( 3, 2 3]

18.(1) f ( x) ? sin( 2 x ? (2) ?- 1,2? 19. (1) b ? c ?

?
6

) , m ? ?1

3

(2)

5 3 9

20. (1)0 (2) a ? 1 21.(1)当 a ? 0 时,没有极值; 当 a ? 0 时,有极大值 f ( ) ? a ? 1 ? ln a ,没有极小值. (2)存在; (3) a ? 1 22.(1) x ? y ? 4 ? 0 (2) 23.略

1 a

10 ?2 2 2

·6·



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