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2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析-专题02-函数定义域的求法



第 02 讲:函数定义域的求法
【考纲要求】 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域。 【基础知识】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零。

6、正切函数 y ? tan x 的定义域 是 { x | x ? k ? ?

?

/>2

, k ? z} 。

7、余切函数 y ? co t x 的定义域为 { x | x ? k ? , k ? z } 。 8、复合函数的定义域的求法 (1)已知原函数 f ( x ) 的定义域为 ( a , b ) ,求复合函数 f [ g ( x )] 的定义域:只需解 不等式 a ? g ( x ) ? b ,不等式的解集即为所求函数的定义域。

10、求含有字母参数的函数的定义域 一般要根据情况分类讨论。 11、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义,还要保证满足实际意义。 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示,不能用不等式表示。函数的定义域也可以用区间表示, 因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式。

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法。 五、函数的问题,必须遵循“定义域优先”的原则。 研究函数的问题,不管是具体的函数,还是抽象的函数,不管是简单的函数,还是复 杂的函数,必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点,不仅是为了防止出现错误 , 有时还会为解题带来方便。 【方法讲评】
[来源:Zxxk.Com]

方法二 使用情景

求交法 函数是由一些函数四则运算得到的,即函数的形式为 f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) 型。 一般先分别求函数 g ( x ) 和 h ( x ) 的定义域 A 和 B ,再求 A ? B , A ? B 就是函

解题步骤 数 f ( x ) 的定义域。

例2

求函数 y ?

2 5 ? x + lo g 3 co s x 的定义域。
2

方根的被开方数是非负数,对数函数的真数大于零,列不等式求函数的定义域时,必须考 虑全面,不能漏掉限 制条件。 (3)解不等式 cos x ? 0 时,主要是利用余弦函数的图像解答。
??5 ? x ? 5 ? (4)求 ? ? ? ? x ? 2k? ? ?2k? ? ? 2 2

k?z

的解集时,只需给参数 k 赋几个整数值,再通过

数轴求交集。 (5)注意等号的问题,其中只要有一个错误,整个解集就是错误的,所以要 仔细认真。

例3

求函数 y ?

lg( x ? x )
2

| x ? 3 | ?3

? ( 3 x ? 2 ) 的定义域
0

例4

求函数 y ? lo g a ( a ? 1)
x

( a ? 0 且 a ? 1) 的定义域。

解:由题得
a ?1 ? 0
x

? a ? 1= a
x

0

当 a ? 1时 , x > 0 ; 当 0 < a < 1 时 , x < 0 . ? 当 a ? 1时 , 函 数 的 定 义 域 为 { x | x > 0 } , 当 0 < a ? 1时 , 函 数 的 定 义 域 为 { x | x < 0 } .

【点评】 (1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论。 (2)对于指 数函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数 a 的取值范围,一般要分类讨论。 【变式演练 2】
( 求函数 y ? ln a ? 1) ?
x

1 ?x ? 2x ? 3
2

的定义域。

方法三 使 用情景
Z*X*X*K]

抽象复合法 涉及到抽象复合函数。

[来源:学*科*网

利用抽象复合函数的性质解答: (1)已知原函数 f ( x ) 的定义域为 ( a , b ) ,求 复合函数 f [ g ( x )] 的定义域:只需解不等式 a ? g ( x ) ? b ,不等式的解集即 解题步骤 为所求函数的定义域。 (2)已知复合函数 f [ g ( x )] 的定义域为 ( a , b ) ,求原 函数 f ( x ) 的定义域: 只需根据 a ? x ? b 求出函数 g ( x ) 的值域, 即得原函数
f ( x ) 的定义域。

例5

求下列函数的定义域:
2

f (1)已知函数 ( x ) 的定义域为 [ ? 2, 2] ,求函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域。
f (2)已知 函数 y ? f ( 2 x ? 4 ) 的定义域为 [0,1] ,求函数 ( x ) 的定义域。

f (3)已知函数 ( x ) 的定义域为 [ ? 1, 2 ] ,求函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域。
2

解: (1)令-2≤ x —1≤ 2
2

2

得-1≤ x ≤3,即

2

0≤ x ≤3,从而

2

- 3 ≤x ≤ 3

∴函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 3 , 3 ] 。 ( 2 ) ∵ y ? f ( 2 x ? 4 ) 的 定 义 域 为 [0,1] , 即 在 y ? f ( 2 x ? 4 ) 中 x ∈ [0,1] , 令
f t ? 2 x ? 4 , x ∈ [0,1] ,则 t ∈ [ 4 , 6 ] ,即在 f ( t ) 中,t ∈ [ 4 , 6 ] ∴ ( x ) 的定义域为 [ 4 , 6 ] 。

(3)由题得 ?

??1 ? x ? 1 ? 2 ??1 ? x ? 1 ? 2
2

?? 3 ? x ?1

∴函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 3 ,1] 。
2

【变式演练 3】

已知函数 y ? f (tan 2 x ) 的定义域为 [0,

?
8

] ,求函数 f ( x ) 的定义域。

【变式演练 4】 若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 ? , 2 ? ,求函数 f (log 2
? ?
[来源:Z#xx#k.Com]

?1

?

2

x ) 的定义域。

例6

用长为 L 的铁丝编成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示) 。若矩形底

边长为 2 x ,求此框架围成的面积 y 与关于 x 的函数解析式,并求出它的定义域。

? 解:如图,设 A B ? 2 x ,则 C D = ? x ,于是 A D =

L - 2x -π x 2

因此 y ? 2 x ? 即 y =π+4 2

L - 2x -π x 2



π x 2

2

x + Lx

2

再由题得 ? L - 2x -π
? ? 2

? 2x > 0 ?

x

>0

解之得 0< x <

L 2+π π+4 2 x + Lx
2

所以函数解析式是 y =-

,函数的定义域是 (0 ,

L

? ?2

)。

【变式演练 5】

一个圆柱形容器的底部直径是 d cm ,高是 h cm .现在以 vcm / s 的速

3

度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析 式,并写出函数的定义域和值域.

【高考精选传真】 1、.【2012 高考真题江西理 2】下列函数中,与函数 y ?
1 sin x ln x x

1
3

定义域相同的函数为(



x

A. y ?

B. y ?

C.y= x e

x

D. y ?

sin x x

2.【2012 高考真题江苏理 5】函数 f ( x ) ?

1 ? 2 log

6

x 的定义域为



【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ?1 ? 2 lo g 6 x ? 0 ? lo g 6 x ? ?x ? 62 = ? 2 ?

? 0< x? 6

6 。

所以函数的定义域为 ? 0, 6 ? ? 【反馈训练】 1、设 a∈( 0,1) ,则函数 y= lo g a ( x ? 1) 的定义域是( A、 (1,2] B、 (1,+∞) C、[2,+∞) D、 (﹣∞,2] x 2、设 f(2 ﹣1)=2x﹣1,则 f(x)的定义域是 3、 设函数 y=lg (x ﹣x﹣2) 的定义域为 A, 函数 y= ,
2 2



. 的定义域为 B, A∩B= 则 .

4、设函数 f(x)的定义域是[0,1],求函数 f(x )的定义域. 5、求函数 y=lgtanx+
1 16 ? x
2

的定义域。

6、设 f ( x ) ? ln

1? x 1? x

,求函数 g ( x ) ? f ( ) ? f ( ) 的定义域。
2 x

x

1

7、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.
上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?

[来源:Z,xx,k.Com]

8、如图,有一块半椭圆 形钢板,其半轴长为 2 r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成 等腰梯形的形状,下底 A B 是半椭圆的短轴,上底 C D 的端点在椭圆上,记 C D ? 2 x ,梯 形面积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值.
D
[来源:学.科.网]

C

4r

A

2r

B

当 a ? 1 时 , 不 等 式 组 的 解 集 为 { x | 0 ? x ? 1} ; 当 0 ? a ? 1 时 , 不 等 式 组 的 解 集 为
{ x | ? 3 ? x ? 0} 。

所 以 当 a ? 1 时 , 函 数 的 定 义域 为 { x | 0 ? x ? 1} ; 当 0 ? a ? 1 时 , 函 数 的 定 义 域 为
{ x | ? 3 ? x ? 0} 。

【变式演练 3 详细解析】 ? ? ? 0 ? 2x ? 由题得 0 ? x ?
8 4

? 0 ? tan 2 x ? 1

所以函数的定义域为 [0,1]

向 容器内注入溶液经历时间为 t 秒后,容器中溶 液的高度为 xcm . 故 t 秒后溶液的体积为=底面积×高=π ?
?d?2 ? x = vt ?2?

解之得: x =

4vt
2

π d

又因为 0≤x≤h 即 0≤

4vt
2

π d

≤h ? 0≤t≤

π hd 4v

2

故函数的定义域为{ t |0≤ t ≤

π hd 4v

2

},值域为{ x |0≤ x ≤ h }

【反馈训练详细解答】 1. A【解析】由题得 loga(x﹣1)≥0, 且 x ? 1 ? 0 。因为 a∈(0,1) ,所以 0<x﹣1≤1, x∈(1,2]。故选 A 2. (﹣1,+∞) 【解析】∵x∈R ∴2x>0 ∴2x﹣1>﹣1 ∴f(x)的定义域是(﹣1,+∞) 3. (﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) 【解析】 (﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) .由 x2﹣x﹣2>0,得 x<﹣1 或 x>2,故 A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) .由 ∞,﹣2]∪(﹣1,+∞) . ≥0,得:x≤﹣2 或 x>﹣1, 故 B=(﹣

∴A∩B=(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) .

? tan x ? 0 ? ? ? ? x ? k? ? 2 ? 2 ?1 6 ? x ? 0 ?

k?z

? ? ?k? ? x ? k? ? ?? 2 ??4 ? x ? 4 ? ? ?

k?z

? 函 数 的 定 义 域 为 ( - ? , )( 0, )( ? ,) ? ? 4 2 2

7. 【解析】由题意得
8? x x
2

xy+

1 4

x2=8,∴y=

4

=

8 x

?

x 4

(0<x<4 2 ).

于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2( 当(
3 2
2 2 x )=(
3 2

+ 2 )x+

16 x

≥4 6 ? 4 2 .

+ 2 )x=

16 x

,即 x=8-4 2 时等号成立.

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省.

解得 y ? 2 r ? x (0 ? x ? r )
2 2

y

S ?

1 2

( 2 x ? 2 r ) ?2 r ? x
2

2

D
2 2

C

? 2( x ? r )? r ? x ,

其定义域为 ? x 0 ? x ? r ? .
A

O

B

x

0 (II)记 f ( x ) ? 4( x ? r ) ( r ? x ), ? x ? r ,
2 2 2 2 则 f ? ( x ) ? 8( x ? r ) ( r ? 2 x ) .

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ?

1 2

r.



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