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重庆一中2016届高三下学期高考模拟考试试卷 数(理) Word版含答案



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秘密★启用前

2016 年重庆一中高 2016 级高三下期高考模拟考试

数 学 试 题 卷(理科)2016.5
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将 自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出

每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 x 1.已知集合 M ? ? x y ? ln(1 ? x)? ,集合 N ? { y | y ? e , x ? R} ( e 为自然对数的底数),则
M N ?( ) A. {x | x ? 1}
B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. ?

3 4 ) ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan ? 的值为( 5 5 3 4 3 4 A. B. C. ? D. ? 4 3 4 3 3.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? l ,则 “ a ? b ”是“ ? ? ? ”的( )
2.若复数 z ? sin ? ? A.充分不必要条件 必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不

? ? sin x(0 ? x ? 1) 4.若 f ? x ? 为偶函数,且当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? ? ? ,则不等式 f ? x ? 1? ? 1 2 ? 2 ? x ? ln x( x ? 1) ?
的解集 为( ) A.

? x 0 ? x ? 2? D. ? x ?2 ? x ? 2?

B.

? x ?1 ? x ? 1?

C.

? x 0 ? x ? 1?

5.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高 1 丈 3 尺,容纳米 2000 斛(1 丈=10 尺,斛为 容积单位,1 斛≈1.62 立方尺, ? ? 3 ) ,则圆柱底面周长约为( ) A.1 丈 3 尺 B.5 丈 4 尺 C.9 丈 2 尺 D.48 丈 6 尺
A

6.设点 O 是边长为 1 的正 ?ABC 的中心(如图所示) ,则 (OA ? OB) (OA ? OC ) =( A.


O B C

1 9

B. ?

1 9

C. ?

1 6

D.

1 6

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7.现有 5 人参加抽奖活动,每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖票)的箱子中不放回地 随机抽取一张,直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概 率为( ) A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5

?3 x ? 2 y ? 4 ? 0 8.设实数 x , y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,已知 z ? 2 x ? y 的最大值是 7 ,最小值是 ? x ? ay ? 2 ? 0 ?

?26 ,则实数 a 的值为( ) A. 6 B. ?6

C.

?1

D. 1

9.把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴,顶点 A ? 0,1? ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一 周,记走过的弧长 AM ? x ,直线 AM 与 x 轴交于点 N ? t , 0 ? ,则函数 t ? f ? x ? 的大致图像 为( )

10.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(



2

8 A. 3

B.

4 3

C.

8 9

4 D. 9

1 正视图 侧视图

2 2 俯视图

x2 y2 11. 已知 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的右焦点, O 是双曲线 C 的中心,直线 a b y ? m x是双曲线 C 的一条渐近线,以线段 OF 为边作正三角形 AOF ,若点 A 在双曲线 C 上,则 m 的值为( ) A. 3 ? 2 3 B. 3 ? 2 3 C. 3 ? 3 D. 3 ? 3
12.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 有两个极值点 x1 , x2 ,若点 P( x1 , f ( x1 )) 为坐标原点,点
3 2

Q( x2 , f ( x2 )) 在圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上运动时, 则函数 f ( x) 图象的切线斜率的最大值
为( ) B. 2 ? 3 C. A. 3 ? 2

2? 2

D. 3 ? 3

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知函数 y ? f ? x ? 1? ? 1( x ? R) 是奇函数,则 f ?1? ? 。

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14.在二项式 ? 数为 。

?1 ? ? 2 x ? 的展开式中,前 3 项的二项式系数之和等于 79,则展开式中 x 4 的系 ?2 ?
2

n

15. 已知直线 l1 : x ? 2 y ? a ? 2 和直线 l2 : 2 x ? y ? 2 a ? 1 分别与圆 ? x ? a ? ? ( y ? 1) ? 16 相
2

交于 A, B 和 C, D ,则四边形 ACBD 的内切圆的面积为 16.在平面四边形 ABCD 中,AB ? 7, AC ? 6, cos ?BAC ? 最大值为 __ 。



11 , CD ? 6sin ?DAC , 则 BD 的 14

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,且当 n ? 2 时, an ?1Sn ?1 ? an Sn ? 0 。 (1)求证:数列 ?S n ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

9an ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 。 (an ? 3)(an?1 ? 3)

18.(本小题满分 12 分)某班级举办知识竞赛活动,现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分 为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表: (Ⅰ)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案); (Ⅱ)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备 4 道判断题,选手对其依次口答,答对两 道就终止答题,并获得一等奖,若题目答完仍然只答对 1 道,则获得二等奖。某同学进入决 赛,每道题答对的概率 p 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相同。 (1)求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率; (2)设该同学答题个数为 X ,求 X 的分布列及 X 的数学期望。 序号 1 2 3 4 分组(分数段) 频数(人数) 8 ?60, 70 ? 频率 0.16

?70,80 ? ?80,90 ? ?90,100 ?
合计

22 14

a
0.28

b
d

c
1

开始
输入 t
a ? CF

(第 18 题图) 19.(本小题满分 12 分) 某工厂欲加工一件艺术品,需要用到三棱锥形状的坯材, 工人将如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 材料切割成三棱锥 H ? ACF 。 (Ⅰ)若点 M , N , K 分别是棱 HA, HC, HF 的中点,点 G 是 NK 上的任意一点, 求证: MG / / 平面ACF ; (Ⅱ)已知原长方体材料中, AB ? 2 , AD ? 3 , DH ? 1 ,根据艺术品加工 需要,工程师必须求出该三棱锥的高; (i) 甲工程师先求出 AH 所在直线与平面 ACF 所成的角 ? ,再根据公式 甲工程师的思路 , h ? AH ? sin ? 求出三棱锥 H ? ACF 的高 h .请你根据 .... ......

b ? AC

c ? AF
b2 ? c2 ? a 2 2bc

d?

1 e ? bc 1 ? d 2 2

h?

3t

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求该三棱锥的高; 1 2 (ii)乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序,其框图如右图所示,则运行 e ? 2 bc 1 ? d 该程序时乙工程师应输入的 t 的值是多少? (请直接写出 t 的值,不要求写出演算或推证的过程)
H E F G M K C B A G C H

h?
N

3t e

输出三棱锥 H ? ACF 的高 h

D

A

F

结束

(第 19 题图) 20.(本小题满分 12 分)已知三点 O(0,0), A(?2,1), B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M ( x, y) 满足:

MA ? MB ? OM (OA ? OB) ? 2 。
(1)求曲线 C 的方程; (2)动点 Q( x0 , y0 ) ? ?2 ? x0 ? 2 ? 在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l ,问:是否存在 定点 P(0, t )(t ? 0) ,使得 l 与 PA, PB 都相交,交点分别为 D, E ,且 ?QAB 与 ?PDE 的面积 之比为常数?若存在,求 t 及常数的值;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? a ln( x ? b) , g ? x ? ? ae ? 1 (其中 a ? 0, b ? 0 ) ,
x

且函数 f ? x ? 的图象在点 A(0, f (0)) 处的切线与函数 g ? x ? 的图象在点 B(0, g (0)) 处的切线重 合。 (1)求实数 a, b 的值; (2)记函数 ? ? x ? ? xf ? x ? 1? ,是否存在最小的正常数 m ,使得当 t ? m 时,对于任意正实 数 x ,不等式 ? ? t ? x ? ? ? ? t ? e 恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性。
x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时请写清题号。
22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 AB ? AC ,圆 O 是 ?ABC 的外接圆, CD ? AB , CE 是圆 O 的直径.过点

B 作圆 O 的切线交 AC 的延长线于点 F 。 (Ⅰ)求证: AB ? CB ? CD ? CE ;
(Ⅱ)若 BC ?

B

D O

E A

2 , BF ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积。
F C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

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? 2 t ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ?y ? 2 t ? ? 2 2 2 2 2 极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos ? ? 3? sin ? ? 12 ,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上。 (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 FA ? FB 的值; (Ⅱ)设曲线 C 的内接矩形的周长为 p ,求 p 的最大值。
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? 2 x ? 1 (a ? R) 。 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (2)若 f ? x ? ? 2 x 的解集包含 ? ,1? ,求 a 的范围。 命题人:谢 明 黄勇庆 凯 审题人:王

?1 ? ?2 ?

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2016 年重庆一中高 2016 级高三下期高考模拟考试

数 学 答 案(理科)2016.5
一.选择题.(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 题号 C C B A B 答案 二.填空题.(每小题 5 分,共 20 分) 495 13. 1 14. 16
三.解答题.
2 17.(1)当 n ? 2 时, an?1Sn?1 ? an Sn ? (Sn?1 ? Sn )Sn?1 ? (Sn ? Sn?1 )Sn ? Sn?1Sn?1 ? Sn ? 0,
2 ? Sn ? Sn?1Sn?1 (n ? 2) ,又由 S1 ? 1 ? 0, S2 ? 4 ? 0 ,可推知对一切正整数 n 均有 Sn ? 0 ,

6 C

7 C

8 D

9 D

10 A

11 A

12 D

15. 8?

16. 8

则数列 ?S n ? 是等比数列, Sn ? 4n?1

(4 分)

当 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ? 4n?2 , 又 a1 ? S1 ? 1 ? an ? ? (2)当 n ? 2 时, bn ?

?1, (n ? 1)
n?2 ?3 ? 4 , (n ? 2)

(6 分)

9an 9 ? 3 ? 4n ? 2 ? ? (an ? 3)(an?1 ? 3) ? 3 ? 4n?2 ? 3?? 3 ? 4n?1 ? 3?

?3 ? 8 , (n ? 1) 3 3? 4 ? ,又 b1 ? ,? bn ? ? , (8 分) n?2 n ?1 3 ? 4n ? 2 8 ? 4 ? 1?? 4 ? 1? ? n?2 , (n ? 2) n ?1 4 ? 1 4 ? 1 ? ? ?? ? ? 3 则 T1 ? b1 ? 8 3 ? 4n ? 2 1 1 当 n ? 2 时, bn ? n ? 2 , (10 分) ? n?2 ? n?1 n ?1 ? 4 ? 1?? 4 ? 1? 4 ? 1 4 ? 1
n?2

1 3 1 1 1 7 1 ? ( 2?2 ? n ?1 ) ? ? n ?1 ? 2?1 ) ? ? ( n ? 2 4 ?1 4 ?1 8 4 ?1 8 4 ?1 4 ?1 7 1 综上: Tn ? ? n ?1 (12 分) 8 4 ?1 18.(Ⅰ)① a ? 0.44 ; b ? 6 ; c ? 0.12 ; d ? 50 (4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 p ? 0.4 (5 分)
则 Tn ? (1) C3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.1728
1 2

(7 分)

(2)该同学答题个数为 2,3,4,即 X ? 2,3, 4

P( X ? 2 ) ? 0 2. ? 4
分布列为

1 0, .1 P6 ( X ? 3) ? C2 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.192
3

1 2 P( X ? 4 )? C 0 .? 4 0 .? 6 3

0? .6

0 . 6 4( 8 10 分)

X

2

3

4

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0.16 0.192 0.648 P (12 分) E ( X )? 3 . 4 8 8 19.(Ⅰ)证法一:∵ HM ? MA, HN ? NC, HK ? KF , ∴ MK / / AF , MN / / AC . MK ? 平面ACF , AF ? 平面ACF , ∴ MK ∥平面 ACF , 同理可证 MN ∥平面 ACF , ∵ MN , MK ? 平面MNK ,且 MK MN ? M , ∴ 平面MNK / / 平面ACF , 又 MG ? 面 MNK ,? MG / / 面 ACF (4 分) 证法二:连 HG 并延长交 FC 于 T ,连接 AT .∵ HN ? NC, HK ? KF ,∴ KN / / FC , H ?M M A 则 , 又 ∵ , ∴ , MG / / AT HG ? GT MG ? 平面ACF , AT ? 平面ACF ? MG / / 面 ACF ( 4 分) ( Ⅱ ) (i) 如 图 , 分 别 以 DA, DC , DH 所 在 直 线 为
z H E F y C A x B G

x轴,y轴,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz . 则 有 A( 3 , 0 , 0 C) , ( 0 , F 2 , 0 ) ,, H (3 (0,0,1) , 2 , 1. )

AC ? ? ?3, 2,0? , AF ? ? 0, 2,1? , AH ? ? ?3,0,1? (5 分)
设平面 ACF 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

2 ? ? ?n ? AC ? ?3 x ? 2 y ? 0 ?x ? y 则有 ? ,解得 ? 3 ,令 y ? 3 ,则 n ? AF ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? ? z ? ?2 y

D(O)

n ? (2,3, ?6) ,
∴ sin ? ?

(7 分)

AH ? n 12 6 10 ? ? , (9 分) 35 | AH || n | 7 ? 10

∴三棱锥 H ? ACF 的高为 AH ? sin ? ? (ii) t ? 2 . (12 分)

6 10 12 ? 10 ? . 35 7

(10 分)

20.解:(1)依题意可得 MA ? (?2 ? x,1 ? y), MB ? (2 ? x,1 ? y) ,

| MA ? MB |? (?2 x) 2 ? (2 ? 2 y) 2 , OM ? (OA ? OB) ? ( x, y) ? (0, 2) ? 2 y ,
2 由已知得 (?2 x) ? (2 ? 2 y ) ? 2 y ? 2 ,化简得曲线 C 的方程: x ? 4 y
2 2

(4 分)

t ?1 x ? t ,直线 PB 的方程是 2 x x2 1? t y? x ?t ,曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为 y ? 0 x ? 0 , 它与 y 轴的交点为 2 4 2 2 x x F (0, ? 0 ) ,由于 ?2 ? x0 ? 2 ,因此 ?1 ? 0 ? 1 4 2 x t ?1 1 t ?1 ? ? ,存在 x0 ? (?2, 2) ,使得 0 ? ①当 ?1 ? t ? 0 时, ?1 ? ,即 l 与 PA 直线平行, 2 2 2 2 故当 ?1 ? t ? 0 时不符合题意 (5 分) x 1? t x t ?1 ? ?1 ? 0 , ? 1 ? 0 ,所以 l 与直线 PA, PB 一定相交 ,分别联立方程 ②当 t ? ?1 时 , 2 2 2 2
(2)假设存在点 P(0, t )(t ? 0) 满足条件,则直线 PA 的方程是 y ?

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t ?1 1? t ? ? y? x ? t ?y ? x?t ? ? ? 2 2 组? , , 2 ? 2 ? y ? x0 x ? x0 ? y ? x0 x ? x0 ? ? 2 4 ? ? 2 4 2 2 x0 ? 4t x0 ? 4t 解得 D, E 横坐标分别是 xD ? , xE ? 2( x0 ? 1 ? t ) 2( x0 ? t ? 1)
则 xE ? xD ? (1 ? t ) 有S 又S
2 2 x0 x0 ? 4t | FP | ? ? ?t , , 又 2 4 x0 ? (t ? 1) 2

PDE

?

2 ? 4t ) 2 1 1 ? t ( x0 , (8 分) | FP | ? | xE ? xD |? ? 2 2 8 (t ? 1) 2 ? x0

2 2 x0 4 ? x0 1 ? ? 4 ? (1 ? ) ? (9 分) QAB 2 4 2 2 2 4 2 S QAB ? 4)[ x0 ? (t ? 1)2 ] ? [4 ? (t ? 1) 2 ]x0 ? 4(t ? 1) 2 4 ( x0 4 x0 于是 (10 分) ? ? ? ? 2 4 2 S PDE 1 ? t ( x0 ? 4t ) 2 1? t x0 ? 8tx0 ? 16t 2 对任意 x0 ? (?2, 2) ,要使 QAB 与 PDE 的面积之比是常数,只需 t 满足

2 ? ??4 ? (t ? 1) ? 8t , 解得 t ? ?1 ,此时 QAB 与 PDE 的面积之比为 2,故存在 t ? ?1 ,使 ? 2 2 4( t ? 1) ? 16 t ? ? QAB 与 PDE 的面积之比是常数 2. (12 分) a 21 解: (1)∵ f ( x) ? a ln( x ?b) ,∴ f ?( x ) ? ,则 f ( x) 在点 A(0, a ln b) 处切线的斜率 x?b a a k ? f ?(0) ? ,切点 A(0, a ln b ) ,则 f ( x) 在点 A(0, a ln b ) 处切线方程为 y ? x ? a ln b , b b

(2 分) 又 g ( x) ? ae ? 1 , ∴ g ?(x) ?ae
x x

, 则 g ( x) 在点 B(0, a ? 1) 处切线的斜率 k ? g ?(0) ? a ,

切点 B(0, a ? 1) ,则 g ( x) 在点 B(0, a ? 1) 处切线方程为 y ? ax ? a ? 1 , (2 分)

?a ? ? a, 由 ?b 解得 a ? 1 , b ? 1 ? ?a ln b ? a ? 1,
x

(5 分)

(2) ? ? t ? x ? ? ? ? t ? e ? ? t ? x ? ln(t ? x) ? t ln t e ?
x

? t ? x ? ln(t ? x) ? t ln t
et ? x et

, (7 分)

x ln x ,则问题就是求 m ? t ? x ? ? m(t ) 恒成立。 ex (ln x ? 1)e x ? x ln x e x ln x ? 1 ? x ln x m' ( x) ? ? ,令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 e2 x ex 1 h' ( x) ? ? ln x ? 1 ,显然 h' ( x) 是减函数,又 h' ?1? ? 0 ,所以 h( x) 在 ? 0,1? 上是增函数,在 x 1 1 1 1 2 2 ? e2 h ( ) ? ln ? 1 ? ln ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 0, 1, ?? 上是减函数,而 ? ? e2 e2 e2 e2 e2 e h(1) ? ln1 ? 1 ? ln1 ? 1 ? 0 , h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 1 ? 1 ? e ? 2 ? e ? 0 所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在区间 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 上各有一个零点,令为 x1 和
构造函数 m( x ) ?

x2 ? x1 ? x2 ? ,并且有在区间 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ?? ? 上, h ? x ? ? 0 ,即 m ( x) ? 0 ;在区间 ? x1 , x2 ?
'

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上, h ? x ? ? 0 ,即 m ( x) ? 0 。从而可知函数 m ? x ? 在区间 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ?? ? 上单调递减,在
'

区间 ? x1 , x2 ? 上单调递增。m ?1? ? 0 , 当 0 ? x ? 1 时,m ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时,m ? x ? ? 0 . (10 分) 还有 m ? x2 ? 是函数的极大值,也是最大值。题目要找的 m ? x2 ,理由: 当 t ? x2 时,对于任意非零正数 x, t ? x ? t ? x2 ,而 m ? x ? 在 ? x2 , ?? ? 上单调递减,所以

m ? t ? x ? ? m(t ) 一定恒成立,即题目要求的不等式恒成立;
当 0 ? t ? x2 时,取 x ? x2 ? t ,显然 m ? t ? x ? ? m( x2 ) ? m(t ) ,题目要求的不等式不恒成立, 说明 m 不能比 x2 小; 对于任意正实数 x ,不等式 m ? t ? x ? ? m ? t ? e 恒成立。 (12 分)
x

综合可知, 题目所要求的最小的正常数 m 就是 x2 , 即存在最小正常数 m ? x2 , 当 t ? m 时,

22.选修 4—1:几何证明选讲 解析: (Ⅰ)连接 AE,∵CE 是直径,∴ ?CAE ? 90? ,又 CD ? AB , ∴ ?CDB ? 90? ,∵ ,故 ?C B D? ? C E A Rt ?CBD ~ Rt ?CEA ∴

B

D

E A

O CD AC ? , CB CE F C ∴ AC ? CB ? CD ? CE 又 AB ? AC ,∴ AB ? CB ? CD ? CE (5 分) ??FAB ? ?FBC (Ⅱ) FB 是 ? 的切线, , ??CBF ? ?CAB ?在 ?ABF 和 ?BCF 中, ? ??AFB ? ?CFB

??ABF

FB AF 2 2 ? ? ? 2 ,? FA ? 2 AB ? 2 AC ,? AC ? CF BC AB 2 2 设 AC ? x ,则根据切割线定理有 FA ? FC ? FB 1 1 7 .(10 分) ? x ? 2x ? 8 ,? x ? 2 , ? S ?ABC ? ? 2 ? 4 ? ? 2 2 2 ? 2 t ? x ? ?2 2 ? ? 2 23..解:(I)直线 AB 的参数方程是 ? ( t为参数 ) , (2 分) ?y ? 2 t ? ? 2 2 代入椭圆方程得 t ? t ? 2 ? 0 , 所以 | FA | ? | FB | =2. (5 分)

?BCF ?

( Ⅱ ) 设 椭 圆 C 的 内 接 矩 形 的 顶 点 为 (2 3 cos ? , 2sin ? ) , (?2 3 cos ? , 2sin ? ) ,

(2 3 cos? , ?2sin ? ) , (?2 3 cos ? , ?2sin ? )(0 ? ? ?

?
2

).

所以椭圆 C 的内接矩形的周长为 2(4 3 cos ? ? 4sin ? ) = 16sin(? ? 当? ?

?
3

). (9 分)
(10 分)

?
3

?

?
2

时,即 ? ?

?
6

时椭圆 C 的内接矩形的周长取得最大值 16.

24.解: (1)解集为 ? x x ? 0或x ?

?

?

2? ? 3?

(5 分)

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(2) f ? x ? ? 2 x 的解集包含 ? ,1? 即不等式在 ? ,1? 内恒成立,即 x ? a ? 1 在 ? ,1? 内恒 成立, (7 分)

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

1 ? ??a ? 1 ? ?1 ? ? 3 ? 即 ?a ?1 ? x ? ?a ? 1 在 ? ,1? 内恒成立,得 ? 2 ,则 a ? ? ? , 0? ?2 ? ? 2 ? ? ??a ? 1 ? 1

(10 分)



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