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高中数学复习教案大全Word版1-20课时


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高中数学第一轮复习教案
§1.1 集合的概念 ...................................................... 1 §1.2 集合的运算 ...................................................... 3 §1.3 含绝对值的不等式的解法 ........................................ 6 §1.4 一元二次不等式的解法 .......................................... 9 §1.5 简易逻辑 ...................................................... 12 §1.6 充要条件 ...................................................... 15 §1.7 数学巩固练习(1) .............................................. 18 §2.1 函数的概念 .................................................... 21 §2.2 函数的解析式及定义域 ........................................ 24 §2.3 函数的值域 .................................................... 28 §2.4 函数的奇偶性.................................................... 32 §2.5 函数的单调性.................................................. 37 §2.6 反函数 .......................................................... 41 §2.7 二次函数 ........................................................ 44 §2.8 指数式与对数式 ................................................. 47 §2.9 指数函数与对数函数 ............................................. 50 §2.10 函数的图象 ..................................................... 53 §2.11 函数的最值 ..................................................... 58 §2.12 函数的应用 ..................................................... 61 §2.13 数学巩固练习(2) ............................................... 64 §3.1 数列的有关概念 ................................. 错误!未定义书签。 §3.2 等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误!未定义书签。 §3.3 等差数列、等比数列的性质及应用 ............... 错误!未定义书签。 §3.4 数列的求和 ...................................... 错误!未定义书签。 §3.5 数列的实际问题 ................................. 错误!未定义书签。 §3.6 数学巩固练习(3) .............................. 错误!未定义书签。 §4.1 任意角的三角函数 ............................... 错误!未定义书签。 §4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ............. 错误!未定义书签。 §4.3 两角和与差的三角函数 .......................... 错误!未定义书签。 §4.4 三角函数的求值 ................................. 错误!未定义书签。 §4.5 三角函数式的化简与证明 ........................ 错误!未定义书签。 §4.6 三角函数的图象 ................................. 错误!未定义书签。 §4.7 三角函数的性质(一) .......................... 错误!未定义书签。 §4.7 三角函数的性质(二) .......................... 错误!未定义书签。 §4.8 三角函数的最值 ................................. 错误!未定义书签。 §4.9 数学巩固练习(4) .............................. 错误!未定义书签。 §5.1 向量与向量的初等运算 .......................... 错误!未定义书签。
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§5.2 平面向量的坐标运算 ............................. §5.3 平面向量的数量积 ............................... §5.4 线段的定比分点及平移 .......................... §5.5 解斜三角形 ...................................... §5.6 平面向量小结.................................... §6.1 不等式的概念与性质 ............................. §6.2 算术平均数与几何平均数 ........................ §6.3 不等式的证明(一) ............................. §6.3 不等式的证明(二) ............................. §6.4 不等式的解法.................................... §6.5 含绝对值的不等式 ............................... §6.6 不等式的应用.................................... §6.7 不等式的小结.................................... §7.1 直线的方程 ...................................... §7.2 直线与直线的位置关系(1) ..................... §7.2 直线与直线的位置关系(2) ..................... §7.3 简单的线性规划 ................................. §7.4 曲线方程 ........................................ §7.5 直线与圆的位置关系 ............................. §7.6 直线与圆的方程小结 ............................. §8.1 椭圆 ............................................. §8.2 双曲线 .......................................... §8.3 抛物线 .......................................... §8.4 直线与圆锥的位置关系(1) ..................... §8.4 直线与圆锥的位置关系(2) ..................... §8.5 轨迹问题(1) .................................. §8.5 轨迹问题(2) .................................. §8.6 圆锥曲线的应用(1)............................ §8.6 圆锥曲线的应用(2)............................ §8.7 圆锥曲线小结.................................... §9.1 平面的基本性质 ................................. §9.2 空间直线 ........................................ §9.3 直线和平面平行及平面与平面平行 ............... §9.4 直线与平面垂直 ................................. §9.5 平面与平面垂直 ................................. §9.6 空间向量及其运算 ............................... §9.7 空间向量的坐标运算 ............................. §9.8 直线与平面、直线与直线所成的角 ............... §9.9 平面所成的角....................................

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§9.10 空间的距离 ..................................... §9.11 棱柱、棱锥 ..................................... §9.12 球与多面体 ..................................... §9.13 立体几何小结 .................................. §10.1 二项式定理(1) ............................... §10.2 二项式定理(2) ............................... §10.3 随机事件的概率 ................................ §10.4 互斥事件有一个发生的概率 ..................... §10.5 相互独立事件的概率............................ §10.6 排列、组合、概率小结 ......................... §11.1 随机变量的分布列、期望和方差 ................ §11.2 抽样方法、总体分布的估计 ..................... §12.1 数列的极限、数学归纳法 ....................... §12.2 函数的极限与连续性............................ §13.1 导数的概念及运算 .............................. §13.2 导数的应用(1) ................................. §13.2 导数的应用(2) ................................. §13.2 导数的应用(3) ................................. §13.3 导数小结 ....................................... §14.1 复数的有关概念 ................................ §14.2 复数的代数形式及其运算 ....................... 函数问题的题型与方法 ................................. 数列问题的题型与方法 ................................. 不等式问题的题型与方法 .............................. 基本知识·基本思想·基本方法 ........................

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第一章 集合与简易逻辑——第 1 课时:集合的概念

一.课题:集合的概念 二.教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题, 掌握集合问题的常规处理方法. 三.教学重点:集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法,集合语言、 集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.集合、子集、空集的概念; 2.集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法; 3.若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,真子集有 2n ? 1 ,非空子集 有 2n ? 1 个,非空真子集有 2n ? 2 个. (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)例题分析: 2 例 1 . 已 知 集 合 P ? { y ? x ?1}, Q ? { y | y ? x 2 ? 1} , E ? {x | y ? x 2 ? 1} , ( D ) F ? {( x, y) | y ? x 2 ? 1} , G ? {x | x ? 1} ,则 ( A) P ? F ( B) Q ? E (C ) E ? F ( D) Q ? G 解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简. 例 2.设集合 P ? ? x ? y, x ? y, xy? , Q ? ? x 2 ? y 2 , x 2 ? y 2 , 0? ,若 P ? Q ,求 x, y 的 值及集合 P 、 Q . 解:∵ P ? Q 且 0 ? Q ,∴ 0 ? P .

(1)若 x ? y ? 0 或 x ? y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 0 ,从而 Q ? ? x 2 ? y 2 , 0, 0? ,与集合 中元素的互异性矛盾,∴ x ? y ? 0 且 x ? y ? 0 ; (2)若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 . 当 y ? 0 时, P ? ? x, x, 0? ,与集合中元素的互异性矛盾,∴ y ? 0 ; 当 x ? 0 时, P ? {? y, y, 0} , Q ? { y 2 , ? y 2 , 0} , 2 2 ?? y ? y 2 ?? y ? ? y ?y ? ?y ? y ? y2 由 P ? Q得? ① 或? ② ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? 由①得 y ? ?1 ,由②得 y ? 1, 0 ∴ x ? 0 1 或 x ? 1 ,此时 P ? Q ? {1, ?1, 0} . y?? y?

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第一章 集合与简易逻辑——第 1 课时:集合的概念

例 3.设集合 M ? {x | x ?
( A) M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则( B ) 2 4 4 2 ( B) M ? N (C ) M ? N ( D) M ? N ? ? ?

解法一:通分; 1 解法二:从 开始,在数轴上表示. 4 例 4.若集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0, x ? R? ,集合 B ? ?1, 2? ,且 A ? B ,求实数

a 的取值范围. 解: (1)若 A ? ? ,则 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ; (2)若 1? A ,则 12 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?2 ,此时 A ? {1} ,适合题意; 5 5 (3)若 2 ? A ,则 22 ? 2 a ?1 ? 0 ,解得 a ? ? ,此时 A ? {2, } ,不合题意; 2 2 综上所述,实数 m 的取值范围为 [?2, 2) .
例 5.设 f ( x) ? x 2 ? px ? q , A ? {x | x ? f ( x)} , B ? {x | f [ f ( x)] ? x} , (1)求证: A ? B ; (2)如果 A ? {?1,3} ,求 B . 解答见《高考 A 计划(教师用书) 》第 5 页. (四)巩固练习: 1.已知 M ? {x | 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0} , N ? {x | mx ? 1} ,若 N ? M ,则适合条件的 1 实数 m 的集合 P 为 {0, ?2, } ; P 的子集有 8 个; P 的非空真子集有 6 个. 3 2.已知: f ( x) ? x 2 ? ax ? b , A ? ? x | f ( x) ? 2 x? ? ?2? ,则实数 a 、 b 的值分 别为 ?2, 4 . 3.调查 100 名携带药品出国的旅游者,其中 75 人带有感冒药,80 人带有胃 药,那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ,最小值为 55 . 3 1 4.设数集 M ? {x | m ? x ? m ? } , N ? {x | n ? ? x ? n} ,且 M 、 N 都是集 4 3 合 {x | 0 ? x ? 1} 的子集,如果把 b ? a 叫做集合 ? x | a ? x ? b? 的“长度” ,那么 集合 M ? N 的长度的最小值是
1 . 12

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 4,5,6,7,8,9,11, 12.
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第一章 集合与简易逻辑——第 2 课时:集合的运算

一.课题:集合的运算 二.教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质, 能利用数轴或文氏图进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理 方法. 三.教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.交集、并集、全集、补集的概念; 2. A ? B ? A ? A ? B , A ? B ? A ? A ? B ; 3. CU A ? CU B ? CU ( A ? B) , CU A ? CU B ? CU ( A ? B) . (二)主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. (三)例题分析: 例 1.设全集 U ? ? x | 0 ? x ? 10, x ? N ? ? ,若 A ? B ? ?3? , A ? CU B ? ?1,5, 7? ,
CU A ? CU B ? ?9? ,则 A ? ?1,3,5, 7? , B ? ?2,3, 4, 6,8? .

解法要点:利用文氏图. 例 2.已知集合 A ? ? x | x3 ? 3x 2 ? 2 x ? 0? , B ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? ,若
A ? B ? ? x | 0 ? x ? 2? , A ? B ? ? x | x ? ?2? ,求实数 a 、 b 的值.

解:由 x3 ? 3x 2 ? 2 x ? 0 得 x( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 , ∴ A ? (?2, ?1) ? (0, ??) ,又∵ A ? B ? ? x | 0 ? x ? 2? ,且 A ? B ? ? x | x ? ?2? , ∴ B ? [?1, 2] ,∴ ?1 和 2 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的根, a ? ?1 由韦达定理得: ?1 ? 2 ? ?a ,∴ . b ? ?2 ?1? 2 ? b 说明:区间的交、并、补问题,要重视数轴的运用.

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例 3.已知集合 A ? {( x, y) | x ? 2 y ? 0} , B ? {( x, y) |

y ?1 ? 0} ,则 A ? B ? ? ; x?2 A ? B ? {( x, y) | ( x ? 2 y)( y ?1) ? 0}; (参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”

第 6 题) . 解法要点:作图.
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第一章 集合与简易逻辑——第 2 课时:集合的运算

注意:化简 B ? {( x, y) | y ? 1, x ? 2} , (2,1) ? A . 例 4.《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 15 题)已知集合 ( 1 5 A ? { y | y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a(a 2 ? 1) ? 0} , B ? { y | y ? x 2 ? x ? , 0 ? x ? 3} , 2 2 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 解答见教师用书第 9 页.

例 5.《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 16 题)已知集合 ( A ? ?( x, y ) | x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0, x ? R? , B ? ?( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, 0 ? x ? 2? , 若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 分析:本题的几何背景是:抛物线 y ? x 2 ? mx ? 2 与线段 y ? x ? 1(0 ? x ? 2) 有 公共点,求实数 m 的取值范围. x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 解法一:由 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ① x ? y ?1 ? 0 ∵ A ? B ? ? ,∴方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 首先,由 ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 0 ,解得: m ? 3 或 m ? ?1 . 设方程①的两个根为 x1 、 x2 ,

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(1)当 m ? 3 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ? 1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1 知 x1 、 x2 都是负数,不合 题意; (2)当 m ? ?1 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ? 1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1 ? 0 知 x1 、x2 是互为倒数 的两个正数, 故 x1 、 x2 必有一个在区间 [0,1] 内,从而知方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个 实数解, 综上所述,实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .
2 解法二:问题等价于方程组 y ? x ? mx ? 2 在 [0, 2] 上有解, y ? x ?1 2 即 x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 在 [0, 2] 上有解, 令 f ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ,则由 f (0) ? 1 知抛物线 y ? f ( x) 过点 (0,1) , ∴抛物线 y ? f ( x) 在 [0, 2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) ? 22 ? 2(m ? 1) ? 1 ? 0 ① ? ? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? 1? m ?2 或 ?0 ? ② 2 2 ? ? f (2) ? 2 ? 2( m ? 1) ? 1 ? 0

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第一章 集合与简易逻辑——第 2 课时:集合的运算

3 3 由①得 m ? ? ,由②得 ? ? m ? 1 , 2 2 ∴实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .

(四)巩固练习: 1.设全集为 U ,在下列条件中,是 B ? A 的充要条件的有 ( D ① A ? B ? A ,② CU A ? B ? ? ,③ CU A ? CU B ,④ A ? CU B ? U ,
( A) 1个 ( B) 2 个 (C ) 3 个 ( D) 4 个



2.集合 A ? {( x, y) | y ? a | x |} , B ? {( x, y) | y ? x ? a} ,若 A ? B 为单元素集, 实数 a 的取值范围为 [?1,1] .

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 2,智能训练 3,7, 10,11,12,13.

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第一章 集合与简易逻辑——第 3 课时:含绝对值的不等式的解法

一.课题:含绝对值的不等式的解法 二.教学目标:掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法. 三.教学重点:解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价 转化为一元一次(二次)不等式(组) ,难点是含绝对值不等式与其它 内容的综合问题及求解过程中,集合间的交、并等各种运算. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.绝对值的几何意义:| x | 是指数轴上点 x 到原点的距离;| x1 ? x2 | 是指数轴 上 x1 , x2 两点间的距离 2.当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c , | ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c ; 当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? x ? R , | ax ? b |? c ? x ?? . (二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一 元一次(二次)不等式(组)进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |? a (a ? 0) ? ?a ? x ? a , | x |? a (a ? 0) ? x ? a 或 x ? ?a . (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) 4 ? | 2 x ? 3 |? 7 ; (2) | x ? 2 |? | x ? 1| ; (3) | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 . 解: (1)原不等式可化为 4 ? 2x ? 3 ? 7 或 ?7 ? 2x ? 3 ? ?4 ,∴原不等式解集为 1 7 [?2, ? ) ? ( ,5] . 2 2 1 1 (2) 原不等式可化为 ( x ? 2)2 ? ( x ? 1)2 , x ? , 即 ∴原不等式解集为 [ , ??) . 2 2 1 (3) x ? ? 时, 当 原不等式可化为 ?2x ?1 ? 2 ? x ? 4 , x ? ?1 , ∴ 此时 x ? ?1 ; 2 1 当 ? ? x ? 2 时,原不等式可化为 2x ?1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? 1 ,此时 1 ? x ? 2 ; 2 5 当 x ? 2 时,原不等式可化为 2x ?1 ? x ? 2 ? 4 ,∴ x ? ,此时 x ? 2 . 3 综上可得:原不等式的解集为 (??, ?1) ? (1, ??) . 例 2. 1) ( 对任意实数 x , x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立, a 的取值范围是 (??,3) ; 则 |
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第一章 集合与简易逻辑——第 3 课时:含绝对值的不等式的解法

(2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (4, ??) . 解: (1)可由绝对值的几何意义或 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的图象或者绝对值不等 式的性质 | x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1| ? | 2 ? x |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 3 得 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 , ∴ a ? 3; (2)与(1)同理可得 | x ? 1| ? | x ? 3 |? 4 ,∴ a ? 4 . 例 3.《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 13 题” ( )设 a ? 0, b ? 0 ,解关于 x 的不等式: | ax ? 2 |? bx . 解 : 原 不 等 式 可 化 为 a x? 2 ? b x ax ? 2 ? ?bx , 即 (a ? b) x 2① 或 或 ? 2 ②, ( a ? b) x ? 2 ? x ? a?b 2 2 2 当 a ? b ? 0 时, 由①得 x ? , ∴此时, 原不等式解为: ? 或x? ; x a ?b a ?b a?b 2 当 a ? b ? 0 时,由①得 x ? ? ,∴此时,原不等式解为: x ? ; a?b 2 2 当 0 ? a ? b 时,由①得 x ? ,∴此时,原不等式解为: x ? . a ?b a?b 2 2 综上可得,当 a ? b ? 0 时,原不等式解集为 (??, ] ?[ , ??) , a?b a ?b 2 当 0 ? a ? b 时,原不等式解集为 (??, ]. a?b 例 4.已知 A ? {x || 2 x ? 3|? a} , B ? {x || x |? 10} ,且 A ? B ,求实数 a 的取值 ? 范围. 解:当 a ? 0 时, A ? ? ,此时满足题意; 3? a 3? a 当 a ? 0 时, | 2 x ? 3 |? a ? ,∵ A ? B , ?x? ? 2 2 ?3 ? a ? 2 ? ?10 ? ? a ? 17 , ∴? ? 3 ? a ? 10 ? 2 ? 综上可得, a 的取值范围为 (??,17] .

例 5. ( 《高考 A 计划》 考点 3 “智能训练第 15 题” 在一条公路上, ) 每隔 100km 有个仓库 (如下图) 共有 5 个仓库. , 一号仓库存有 10t 货物, 二号仓库存 20t , 五号仓库存 40t ,其余两个仓库是空的.现在想把所有的货物放在一个仓库 里,如果每吨货物运输 1km 需要 0.5 元运输费,那么最少要多少运费才行?
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第一章 集合与简易逻辑——第 3 课时:含绝对值的不等式的解法 一 二 三 四 五

解:以一号仓库为原点建立坐标轴, 则五个点坐标分别为 A1 : 0, A2 :100, A3 : 200, A4 : 300, A5 : 400 , 设货物集中于点 B : x ,则所花的运费 y ? 5 | x | ?10 | x ? 100 | ?20 | x ? 200 | , 当 0 ? x ? 100 时, y ? ?25x ? 9000 ,此时,当 x ? 100 时, ymin ? 6500 ; 当 100 ? x ? 400 时, y ? ?5x ? 7000 ,此时, 5000 ? y ? 6500 ; 当 x ? 400 时, y ? 35x ? 9000 ,此时,当 x ? 400 时, ymin ? 5000 . 综上可得,当 x ? 400 时, ymin ? 5000 ,即将货物都运到五号仓库时,花费最 少,为 5000 元. (四)巩固练习: x x 3 1. | 的解集是 (?1,0) ; | 2 x ? 3 |? 3x 的解集是 (??, ) ; |? 1? x 1? x 5 |a?b| 2.不等式 ? 1 成立的充要条件是 | a |?| b | ; |a|?|b| 3.若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3|? a 的解集不是空集,则 a? (7, ??) ; 4.不等式 | 2 x ? log 2 x |? 2 x? | log 2 x | 成立,则 x? (1, ??) 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 3,智能训练 4,5,6,8,12,14.

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第一章 集合与简易逻辑——第 4 课时:一元二次不等式的解法

一.课题:一元二次不等式的解法 二.教学目标:掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应 方程、函数三者之间的关系解决综合问题,会解简单的分式 不等式及高次不等式. 三.教学重点:利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系; 2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中,分母要不为零; 3.高次不等式要注重对重因式的处理. (二)主要方法: 2 1 . 解 一 元 二 次 不 等 式 通 常 先 将 不 等 式 化 为 a x? b? ? 或 x c 0 2 ,再写 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话) 出不等式的解:大于 0 时两根之外,小于 0 时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来 处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: x( x ? 1)( x ? 2) (1) x2 ? x ? 6 ? 0 ; (2) ? x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ; (3) ? 0. ( x ? 2)( x ? 1) 解: (1) ?2 ? x ? 3 ; (2) x ? 5 or x ? ?2 ; (3)原不等式可化为 ? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? ?2 ? x ? ?1 or 0 ? x ? 1 or x ? 2 . ? ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0 例 2.已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , (1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围. 解: A ? {x |1 ? x ? 2} , 当 a ? 1 时, ? {x |1 ? x ? a} ; a ? 1 时, ? {1} ; a ? 1 时, ? {x | a ? x ? 1} . 当 当 B B B ?a ? 1 ?a?2; (1)若 A ? B ,则 ? ? ?a ? 2 (2)若 B ? A , 当 a ? 1 时,满足题意;当 a ? 1 时, a ? 2 ,此时 1 ? a ? 2 ;当 a ? 1 时,不合 题意.
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第一章 集合与简易逻辑——第 4 课时:一元二次不等式的解法

所以, a 的取值范围为 [1, 2) . 例 3.已知 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) ? ? 4(a ? 2)2 ? 16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ; ? ?(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 (2) ? 或? 或? , ? f (?3) ? 0 ?? ? 0 ? f (1) ? 0 1 1 解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ? ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 (? , 4) . 2 2 2 例 4 . 已 知 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | 2 x ? 4 , 则 不 等 式 ? } 2 . cx ? bx ? a ? 0 的解集为 1 1 解法一:∵ ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 即 ? x2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | x ? or x ? } , 2 4 2 2 ∴不妨假设 a ? ?1, b ? 6, c ? ?8 ,则 cx ?bx ? ? 0 即为 ?8x ? 6 x ? 1 ? 0 ,解得 a 1 1 {x | ? x ? } . 4 2 ? ? ?a ? 0 ?c ? 0 ? ? ? b ? b 3 解法二:由题意: ?? ? 6 ? ?? ? , ? a ? c 4 ?c ?a 1 ?a ? 8 ?c ? 8 ? ? b a 3 1 ∴ cx2 ? bx ? a ? 0 可化为 x 2 ? x ? ? 0 即 x 2 ? x ? ? 0 , c c 4 8 解得 {x | x ?
1 1 或 x ? }. 2 4

例 5 . 《 高 考 A 计 划 》 考 点 4 “ 智 能 训 练 第 16 题 ” 已 知 二 次 函 数 ( ) 2 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象过点 (?1,0) ,问是否存在常数 a, b, c ,使不等式 1 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立? 2 解:假设存在常数 a, b, c 满足题意, ∵ f ( x) 的图象过点 (?1,0) ,∴ f (?1) ? a ? b ? c ? 0 ① 1 又∵不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立, 2

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第一章 集合与简易逻辑——第 4 课时:一元二次不等式的解法

1 ∴当 x ? 1 时, 1 ? f (1) ? (1 ? 12 ) ,即 1 ? a ? b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 1 ② 2 1 1 1 1 由①②可得: a ? c ? , b ? ,∴ f ( x) ? ax 2 ? x ? ( ? a) , 2 2 2 2 1 由 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对 一 切 x?R 都 成 立 得 : 2 1 1 1 x ? ax 2 ? x ? ( ? a) ? (1 ? x 2 ) 恒成立, 2 2 2 1 1 ? 2 ? ax ? x ? ( ? a ) ? 0 ∴? 的解集为 R , 2 2 2 ?(2a ? 1) x ? x ? 2a ? 0 ?
1 ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? 2a ? 1 ? 0 ? ?a ? ∴ ?1 且? ,即 ? 且? , 2 1 ? 4a ( ? a ) ? 0 ?1 ? 8a (2a ? 1) ? 0 (1 ? 4a ) 2 ? 0 ? 2 ? ?4 ? 2 ?(1 ? 4a ) ? 0 1 1 ∴ a ? ,∴ c ? , 4 4 1 1 1 1 ∴存在常数 a ? , b ? , c ? 使不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x2 ) 对一切 x ? R 都成 4 2 4 2 立.

(四)巩固练习: 1.若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是 (?2, 2] . 2.若关于 x 的方程 x2 ? ax ? a 2 ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a? (?1,1) . 3.关于 x 的方程 m( x ? 3) ? 3 ? m2 x 的解为不大于 2 的实数,则 m 的取值范围为 3 (??, ? ] ? (0,1) ? (1, ??) . 2
( x ? 1) 2 (2 ? x) ? 0 的解集为 (??, ?4) ? (0, 2] or x ? ?1 . 4.不等式 x(4 ? x)

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 4,智能训练 3,4,5,9,13,14,15.

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第一章 集合与简易逻辑——第 5 课时:简易逻辑

一.课题:简易逻辑 二.教学目标:了解命题的概念和命题的构成;理解逻辑联结词“或” “且” “非” 的含义; 理解四种命题及其互相关系; 反证法在证明过程中的应用. 三.教学重点:复合命题的构成及其真假的判断,四种命题的关系. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.理解由“或” “且” “非”将简单命题构成的复合命题; 2.由真值表判断复合命题的真假; 3.四种命题间的关系. (二)主要方法: 1.逻辑联结词“或” “且” “非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的 关系,解题时注意类比; 2.通常复合命题“ p 或 q ”的否定为“ ?p 且 ?q ”“ p 且 q ”的否定为“ ?p 、 或 ?q ”“全为”的否定是“不全为”“都是”的否定为“不都是”等等; 、 、 3.有时一个命题的叙述方式比较的简略,此时应先分清条件和结论,该写成 “若 p ,则 q ”的形式; 4.反证法中出现怎样的矛盾,要在解题的过程中随时审视推出的结论是否 与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾,甚至自相矛盾. (三)例题分析: 例 1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真 假: (1)菱形对角线相互垂直平分. (2) 2 ? 3 ” “ 解:(1)这个命题是“ p 且 q ”形式, p : 菱形的对角线相互垂直; q : 菱形的 对角线相互平分, ∵ p 为真命题, q 也是真命题 ∴ p 且 q 为真命题. (2)这个命题是“ p 或 q ”形式, p : 2 ? 3 ; q : 2 ? 3 , ∵ p 为真命题, q 是假命题 ∴ p 或 q 为真命题. 注:判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式,然后判断构成 它的简单命题的真假,再由真值表判断复合命题的真假. 例 2.分别写出命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 全为零”的逆命题、否命题和逆 否命题. 解:否命题为:若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 不全为零 逆命题:若 x, y 全为零,则 x 2 ? y 2 ? 0 逆否命题:若 x, y 不全为零,则 x 2 ? y 2 ? 0 注:写四种命题时应先分清题设和结论.
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第一章 集合与简易逻辑——第 5 课时:简易逻辑

例 3.命题“若 m ? 0 ,则 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是真命题吗?证 明你的结论. 解:方法一:原命题是真命题, ∵ m ? 0 ,∴ ? ? 1 ? 4m ? 0 , 因而方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根, 故原命题 “若 m ? 0 , x 2 ?x ?m ? 0 有实根” 则 是真命题; 又因原命题与它的逆否命题是等价的,故命题“若 m ? 0 ,则 x 2 ? x ?m ? 0 有 实根”的逆否命题是真命题. 方法二:原命题“若 m ? 0 ,则 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是“若 .∵ x 2 ? x ? m ? 0 无实根 x 2 ? x ? m ? 0 无实根,则 m ? 0 ” 1 ∴ ? ? 1 ? 4m ? 0 即 m ? ? ? 0 ,故原命题的逆否命题是真命题. 4 例 4. (考点 6 智能训练 14 题)已知命题 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相 等的实负根, 命题 q : 方程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根; p 或 q 为真,p 且 若 q 为假,求实数 m 的取值范围. 分析:先分别求满足条件 p 和 q 的 m 的取值范围,再利用复合命题的真假进 行转化与讨论. ?? ? m 2 ? 4 ? 0 解:由命题 p 可以得到: ? ∴m? 2 ?m ? 0 由命题 q 可以得到: ? ? [4(m ? 2)]2 ? 16 ? 0 ∴ ?2 ? m ? 6 ∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 p, q 有且仅有一个为真 ?m ? 2 ?m?6 当 p 为真, q 为假时, ? ?m ? ?2, orm ? 6
?m ? 2 ? ?2 ? m ? 2 当 p 为假, q 为真时, ? ??2 ? m ? 6 所以, m 的取值范围为 {m | m ? 6 或 ?2 ? m ? 2} .

例 5.《高考 A 计划》考点 5 智能训练第 14 题)已知函数 f ( x) 对其定义域 ( 内的任意两个数 a, b ,当 a ? b 时,都有 f (a) ? f (b) ,证明: f ( x) ? 0 至多有 一个实根. 解:假设 f ( x) ? 0 至少有两个不同的实数根 x1 , x2 ,不妨假设 x1 ? x2 , 由方程的定义可知: f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 由已知 x1 ? x2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 这与式①矛盾 因此假设不能成立
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第一章 集合与简易逻辑——第 5 课时:简易逻辑

故原命题成立. 注:反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题. 例 6.《高考 A 计划》考点 5 智能训练第 5 题)用反证法证明命题:若整数 ( 系数一元二次方程: ax2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 有有理根,那么 a, b, c 中至少有一 个是偶数,下列假设中正确的是( ) A.假设 a, b, c 都是偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数 (四)巩固练习: 1.命题“若 p 不正确,则 q 不正确”的逆命题的等价命题是 ( A.若 q 不正确,则 p 不正确 B. 若 q 不正确,则 p 正确 C 若 p 正确,则 q 不正确 D. 若 p 正确,则 q 正确 2. “若 b2 ? 4ac ? 0 ,则 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根” ,其否命题是 2 2 A 若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根 B 若 b2 ? 4ac ? 0 ,则 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根 C 若 b2 ? 4ac ? 0 ,则 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根 D 若 b2 ? 4ac ? 0 ,则 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根 (





五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 5,智能训练 3,4,8,13,15,16.

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第一章 集合与简易逻辑——第 6 课时:充要条件

一.课题:充要条件 二.教学目标:掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要 关系. 三.教学重点:充要条件关系的判定. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.充要条件的概念及关系的判定; 2.充要条件关系的证明. (二)主要方法: 1.判断充要关系的关键是分清条件和结论; 2.判断 p ? q 是否正确的本质是判断命题“若 p ,则 q ”的真假; 3.判断充要条件关系的三种方法: ①定义法; ②利用原命题和逆否命题的等价性; ③用数形结合法 (或图解法) . 4.说明不充分或不必要时,常构造反例. (三)例题分析: 例 1.指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要”“必要 、 不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一种作答) 、 、 (1)在 ?ABC 中, p : A ? B , q : sin A ? sin B (2)对于实数 x, y , p : x ? y ? 8 , q : x ? 2 或 y ? 6 (3)在 ?ABC 中, p : sin A ? sin B , q : tan A ? tan B (4)已知 x, y ? R , p : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 0 , q : ( x ?1)( y ? 2) ? 0 a b 解: (1)在 ?ABC 中,有正弦定理知道: ? sin A sin B ∴ sin A ? sin B ? a ? b 又由 a ? b ? A ? B 所以, sin A ? sin B ? A ? B 即 p 是 q 的的充要条件. (2)因为命题“若 x ? 2 且 y ? 6 ,则 x ? y ? 8 ”是真命题,故 p ? q , 命题“若 x ? y ? 8 ,则 x ? 2 且 y ? 6 ”是假命题,故 q 不能推出 p , 所以 p 是 q 的充分不必要条件. (3)取 A ? 120 ?, B ?30 ? , p 不能推导出 q ;取 A ? 30 ?, B ?120 ? , q 不能推导 出p 所以, p 是 q 的既不充分也不必要条件. (4)因为 P ? {(1, 2)} , Q ? {( x, y) | x ? 1或 y ? 2} , P ? Q , ? 所以, p 是 q 的充分非必要条件. 例 2.设 x, y ? R ,则 x 2 ? y 2 ? 2 是 | x | ? | y |? 2 的( ( ) ) 、是 | x | ? | y |? 2 的

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第一章 集合与简易逻辑——第 6 课时:充要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 也不必要条件 解:由图形可以知道选择 B,D. (图略)

C.充要条件

D.既不充分

例 3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分 条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不 必要条件 解:因为甲是乙的充分非必要条件,故甲能推出乙,乙不能推出甲, 因为丙是乙的必要非充分条件,故乙能推出丙,丙不能推出乙, 因为丁是丙的充要条件,故丁能推出丙,丙也能推出丁, 由此可知,甲能推出丁,丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件,选 B. 例 4.设 x, y ? R ,求证: | x ? y |?| x | ? | y | 成立的充要条件是 xy ? 0 . 证明:充分性:如果 xy ? 0 ,那么,① x ? 0, y ? 0 ② x ? 0, y ? 0 ③ x ? 0, y ? 0 于是 | x ? y |?| x | ? | y | 如果 xy ? 0 即 x ? 0, y ? 0 或 x ? 0, y ? 0 , 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? x ? y ?| x | ? | y | , 当 x ? 0, y ? 0 时, | x ? y |? ? x ? y ? (? x) ? (? y) ?| x | ? | y | , 总之,当 xy ? 0 时, | x ? y |?| x | ? | y | . 必要性:由 | x ? y |?| x | ? | y | 及 x, y ? R 得 ( x ? y)2 ? (| x | ? | y |)2 即 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? x 2 ? 2 | xy | ? y 2 得 | xy |? xy 所以 xy ? 0 故必要性成立, 综上,原命题成立. 例 5 . 已 知 数 列 {an } 的 通 项 an ?
an ? logt2 (t ? 1) ?

1 1 1 ,为了使不等式 ? ? ? ? n?3 n?4 2n ? 3

11 2 log (t ?1) t 对任意 n ? N * 恒成立的充要条件. 20

解:
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )?( ? ) ?0, 2n ? 4 2 n ? 5 n ? 3 2 n ? 4 2 n ? 6 2n ? 5 2n ? 6 则 an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ,

∵ an?1 ? an ?

欲使得题设中的不等式对任意 n ? N * 恒成立, 11 只须 {an } 的最小项 a1 ? logt2 (t ? 1) ? log (2t ?1) t 即可, 20 1 1 9 又因为 a1 ? ? ? , 4 5 20
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第一章 集合与简易逻辑——第 6 课时:充要条件

9 11 logt2 (t ? 1) ? ? 0, 20 20 解得 ?1 ? logt (t ? 1) ? t (t ? 1) , 1 即 0 ? ? t ? 1 ? t (t ? 2) , t 1? 5 解得实数 t 应满足的关系为 t ? 且t ? 2. 2

即只须 t ? 1 ? 1 且 logt2 (t ? 1) ?

例 6. (1)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件? (2)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件? 解:欲使得 2 x ? m ? 0 是 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件,则只要 m m {x | x ? ? } ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} ,则只要 ? ? ?1 即 m ? 2 , 2 2 2 故存在实数 m ? 2 时,使 2 x ? m ? 0 是 x ? 2 x ? 3 ? 0 的充分条件. (2)欲使 2 x ? m ? 0 是 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件,则只要 m {x | x ? ? } ? {x | x ? ?1 或 x ? 3} ,则这是不可能的, 2 故不存在实数 m 时,使 2 x ? m ? 0 是 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的必要条件. (四)巩固练习: 1.若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的 条件. ? 2. 0 ? x ? 5 是 | x ? 2 |? 3 的 条件. 3.直线 a, b 和平面 ? , ? , a // b 的一个充分条件是( ) A. a // ? , b // ? B. a // ? , b // ? , ? // ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b ? ? ,? ? ? 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 6,智能训练 2,7,8,15,16.

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第一章 集合与简易逻辑——第 7 课时:数学巩固练习(1)

高三(上)数学巩固练习(1) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将你认为正确的答案填在后面的 表格中) k? ? k? ? 1.集合 M ? {x | x ? ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则 2 4 4 2 ( A) M ? N ( B) M ? N (C ) M ? N ( D) M ? N ? ? ? ? 1 1 2. 已知命题 p : x 2 ? y 2 ? 0, 则 x 、y 全为 0 ; 若 命题 q : a ? b , 若 则 ? . 给 a b 出下列四个复合命题:①p 且 q,②p 或 q,③ ?p ④ ?q ,其中真命题的个 数为 ( A) 1 ( B) 2 (C ) 3 ( D) 4 3. A, B, C 是三个集合,那么“ A ? B ”是“ A ? C ? B ? C ”成立的 ( A) 充分非必要条件 ( B) 必要非充分条件 (C ) 充要条件 ( D) 既非充分也非必要条件 4.已知函数 f ( x) ? x 2 ,集合 A ? {x | f ( x ? 1) ? ax, x ? R} ,且 A ? R ? ? R ? , 则实数 a 的取值范围是 ( A) (0, ??) ( B) (2,??) (C ) [4,??) ( D) (??,0) ? [4,??) 1 1 5. 已知全集 U ? ? ,2,3,4,5,6,7,8?, 集合 M ? ?2,3,4?,P ? ? ,3,6?,则集合 ?5,7,8? 是
( A) M ? P ( B) M ? P
2

(C ) ? ( M ? P) U
2

( D) ? ( M ? P ) U

6.设集合 A ? {x | x ? a ? 1, a ? N}, B ? { y | y ? b ? 4b ? 5, b ? N} ,则下列关系中正 ( A) A ? B ( B) B ? A (C ) A ? B ( D) A ? B ? ? ? ? 确的是 7.下列命题中,使命题 M 是命题 N 成立的充要条件的一组命题是
( A) M : a ? b; N : ac 2 ? bc 2 ( B) M : a ? b, c ? d ; N : a ? d ? b ? d (C ) M : a ? b ? 0, c ? d ? 0; N : ac ? bd ( D) M :| a ? b |?| a | ? | b |; N : ab ? 0

2 8.不等式 ?a ? 2?x ? 2?a ? 2?x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是 ( A) ? ?2, 2 ? ( B) ? ?2, 2? (C ) ? ??, 2 ? ( D) ? ??, ?2 ?

9.如果 a, b, c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 ,那么下列选项中不一定成立的是 ( A) ab ? ac ( B) c(b ? a) ? 0 (C ) cb2 ? ab2 ( D) ac(a ? c) ? 0 10 . 二 次 函 数 f (x) 的 二 次 项 系 数 为 正 数 , 且 对 任 意 项 x ? R 都 有 f ( x) ? f (4 ? x) 成立,若 f (1 ? 2 x 2 ) ? f (1 ? 2 x ? x 2 ) ,则 x 的取值范围是 ( A) x ? 2 ( B) x ? ?2 或 0 ? x ? 2 (C ) ? 2 ? x ? 0 ( D) x ? ?2 或 x ? 0 请将选择题的答案填在下面的表格中: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D A D B C C
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第一章 集合与简易逻辑——第 7 课时:数学巩固练习(1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横 线上) 11.在函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 中,若 a, b, c 成等比数列且 f (0) ? ?4 ,则 f ( x) 有 最大 值(填“大”或“小”,且该值为 ?3 . ) 12.对任意实数 x, f ( x) 是 x 和 x 2 ? 2 中的较大者,则 f (x) 的最小值为 ?1 . 13.已知定义在闭区间 [0,3] 上的函数 f ( x) ? kx2 ? 2kx 的最大值为 3,那么实 数 k 的取值集合为 ??3,1? . 14.已知以下四个命题: ① 如果 x1 , x2 是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实根,且 x1 ? x2 ,那么 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x x1 ? x ? x2 ? ; ②若
x ?1 ? 0 ,则 ( x ?1)( x ? 2) ? 0 ; x?2 ③“若 m ? 2 ,则 x 2 ? 2 x ? m ? 0 的解集是实数集 R ”的逆否命题; ④若函数 f ( x) 在 (??, ??) 上递增,且 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) . 其中为真命题的是 ② ③ ④ (填上你认为正确的序号) .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 2x ? a2 ? a ? 1. 15. (本题 7 分)解关于 x 的不等式 x ? a2 答案:①当 a ? 0 或 a ? 1 时, x ? ? a, a 2 ? ; ? ②当 a ? 0 或 a ? 1 时, x ?? ; ③当 0 ? a ? 1时, x ? ? a 2 , a ? 。 ?

16. (本题 7 分)设 S 是实数集 R 的真子集,且满足下列两个条件: 1 ① 1? S ; ②若 a ? S ,则 ?S , 1? a 问: (Ⅰ)若 2 ? S ,则 S 中一定还有哪两个数? (Ⅱ)集合 S 中能否只有一个元素?说明理由.
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第一章 集合与简易逻辑——第 7 课时:数学巩固练习(1)

1 答案: (Ⅰ) ?1, ; 2 (Ⅱ)不可能.

17. (本题 10 分)函数 f (x) 对一切实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 , (1)求 f (0) 的值; 1 (2)当 0 ? x ? 时, f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 答案: (Ⅰ) ?2 ; (Ⅱ) ?1, ?? ? .

18. (本题 10 分)已知集合 A ? {x | x ?| x 2 ? 2 x |} , B ? {x | x 2 ? 2ax ? a ? 0} , 若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 答案: a ? ? 0,1? ,易错点: A ? ?1,3? ? ?0? 的表示不规范。

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第二章 函数——第 8 课时:函数的概念

一.课题:函数的概念 二.教学目标:了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解;能根 据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数;理解分段函数的意义. 三.教学重点:函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应;函数的 三要素中对应法则是核心,定义域是灵魂. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.对应、映射、像和原像、一一映射的定义; 2.函数的传统定义和近代定义; 3.函数的三要素及表示法. (二)主要方法: 1.对映射有两个关键点:一是有象,二是象惟一,缺一不可; 2.对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解,这是处理函数问题的关键; 3.理解函数和映射的关系,函数式和方程式的关系. (三)例题分析: 例 1. (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ; (2) A ? {x | x ? 2, x ? N *} , B ? ? y | y ? 0, y ? N ? , f : x ? y ? x 2 ? 2 x ? 2 ; (3) A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x . 上述三个对应(2)是 A 到 B 的映射. 例 2.已知集合 M ? ?( x, y ) | x ? y ? 1? ,映射 f : M ? N ,在 f 作用下点 ( x, y ) 的象是 (2 x , 2 y ) ,则集合 N ? ( A) ?( x, y ) | x ? y ? 2, x ? 0, y ? 0?
(C ) ?( x, y ) | xy ? 2, x ? 0, y ? 0?

( D ) ( B) ?( x, y ) | xy ? 1, x ? 0, y ? 0?
( D) ?( x, y ) | xy ? 2, x ? 0, y ? 0?

解法要点:因为 x ? y ? 2 ,所以 2x ? 2 y ? 2x? y ? 2 . 例 3.设集合 M ? {?1,0,1} ,N ? {?2, ?1,0,1, 2} ,如果从 M 到 N 的映射 f 满足 条件: M 中的每个元素 x 与它在 N 中的象 f ( x) 的和都为奇数, 对 则映射 f 的 个数是( D ) ( A) 8 个 ( B) 12 个 (C ) 16 个 ( D) 18 个 解法要点:∵ x ? f ( x) 为奇数,∴当 x 为奇数 ?1 、 1 时,它们在 N 中的象只 能为偶数 ?2 、0 或 2 , 由分步计数原理和对应方法有 32 ? 9 种; 而当 x ? 0 时, 它 在 N 中的象为 奇数 ?1 或 1 ,共有 2 种对应 方法 . 故映射 f 的个数是 9 ? 2 ? 18.
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第二章 函数——第 8 课时:函数的概念

例 4.矩形 ABCD 的长 AB ? 8 ,宽 AD ? 5 ,动点 E 、 F 分别在 BC 、 CD 上, 且 CE ? CF ? x , 1) ?AEF 的面积 S 表示为 x 的函数 f ( x) , ( 将 求函数 S ? f ( x) 的解析式; (2)求 S 的最大值. 解: (1) 1 1 1 S ? f ( x) ? S? ABCD ? S?CEF ? S?ABE ? S?ADF ? 40 ? x 2 ? ? 8 ? (5 ? x) ? ? 5 ? (8 ? x) 2 2 2 1 2 13 1 13 2 169 . ? ? x ? x ? ? (x ? ) ? 2 2 2 2 8 ∵ CE ? CB ? CD ,∴ 0 ? x ? 5 , 1 13 169 ∴函数 S ? f ( x) 的解析式: S ? f ( x) ? ? ( x ? )2 ? (0 ? x ? 5) ; 2 2 8 (2) f ( x) 在 x ? ? 0,5? 上单调递增, Smax ? f (5) ? 20 , S 的最大值为 20 . ∵ ∴ 即 例 5.函数 f ( x) 对一切实数 x , y 均有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 , (1)求 f (0) 的值; 1 1 (2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f ( x1 ) ? 2 ? log a x2 成立时,求 a 的 2 2 取值范围. 解 : 1 ) 由 已 知 等 式 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x , 令 x ? 1 , y ? 0 得 ( f (1) ? f (0) ? 2 , 又∵ f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? ?2 . (2) f ( ? ) ? y ) ? ? 1x 由 x y f ( ( 2 ? , y ? 0 得 f ( x) ? f (0) ? ( x ? 1) x , (1) 令 由 x y ) 知 f (0) ? ?2 ,∴ f ( x) ? 2 ? x 2 ? x . 1 1 1 1 2 ∵ x1 ? (0, ) ,∴ f ( x1 ) ? 2 ? x1 ? x1 ? ( x1 ? )2 ? 在 x1 ? (0, ) 上单调递增, 2 2 2 4 3 ∴ f ( x1 ) ? 2 ? (0, ) . 4 1 1 要使任意 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) 都有 f ( x1 ) ? 2 ? log a x2 成立, 2 2 1 当 a ? 1 时, log a x2 ? log a ,显然不成立. 2 ?0 ? a ? 1 3 4 1 ? ? a ?1 当 0 ? a ? 1时, log a x2 ? log a ,∴ ? 1 3 ,解得 4 2 ?log a 2 ? 4 ?

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第二章 函数——第 8 课时:函数的概念
3

∴ a 的取值范围是 [ (四)巩固练习:

4 ,1) . 4

1 1 1 1 1 2 1.给定映射 f : ( x, y) ? (2 x ? y, xy) ,点 ( , ? ) 的原象是 ( , ? ) 或 (? , ) . 6 6 3 2 4 3

2.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是
( A) y ?
x x
2



C



( B) y ? ( x ) 2

(C ) y ? lg10 x

( D) y ? 2log2 x

? x ? 3, ( x ? 10) 3.设函数 f ( x) ? ? ,则 f (5) = 8 . ? f ( f ( x ? 5)), ( x ? 10)

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 7,智能训练 5,7,9,10,13,14.

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第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

一.课题:函数的解析式及定义域 二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、 换元法,能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出 来;掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用. 三.教学重点:能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系,列出函 数关系式;含字母参数的函数,求其定义域要对字母参数分 类讨论;实际问题确定的函数,其定义域除满足函数有意义 外,还要符合实际问题的要求. 四.教学过程: (一)主要知识:1.函数解析式的求解;2.函数定义域的求解. (二)主要方法: 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个 等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值 集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑 使实际问题有意义; (3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数) 的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b ? , 其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出. (三)例题分析: 例 1.已知函数 f ( x) ? 则 ( A) A ? B ? B
1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B , ? ? 1? x
?

( B) A ? B

(C ) A ? B

( D) A ? B ? B ( D )

1? x 2 1 解法要点: A ? ? x | x ? 1? , y ? f [ f ( x)] ? f ( ) ? f (?1 ? )?? , 1? x 1? x x

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第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

令 ?1 ?

2 ? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ? x | x ? 1? ? ? x | x ? 0? . 1? x

1 1 例 2. (1)已知 f ( x ? ) ? x3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; 1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) . x 1 1 1 1 解: (1)∵ f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , x x x x ∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) . 2 (2)令 ? 1 ? t ( t ? 1) , x 2 2 2 则x? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg ( x ? 1) . t ?1 t ?1 x ?1 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 . 1 1 1 3 (4) f ( x) ? f ( ) ? 3x ①, 把①中的 x 换成 , 2 f ( ) ? f ( x) ? 得 ②, 2 x x x x 3 1 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x) ? 2 x ? . x x 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数, 可用待定系数法;第(4)题用方程组法.

例 3.设函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不 存在,请说明理由. ? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ?x ? 1 解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? ① ?x ? p ? ?p? x ? 0 ?
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第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? x |1 ? x ? p? , ∴ f ( x) 的定义域为 (1, p)( p ? 1) . (2)原函数即 f ( x) ? log 2 [( x ? 1)( p ? x)] ? log 2 [?( x ? 当
p ? 1 2 ( p ? 1) 2 ) ? ], 2 4

p ?1 ? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 当1 ? ? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x) 有最大值 2log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小 2 值.

例 4. 《高考 A 计划》考点 8,智能训练 15:已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上 的周期函数, 周期 T ? 5 , 函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数. 又知 y ? f ( x) 在 在 且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 . [0,1] 上是一次函数, [1, 4] 上是二次函数, ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式. 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0 . ②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2) 2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) . ③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又 知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 f ( x)? k x 0 x 1 ) 而 ( ? ? , 2 f ( 1 ) 2 (? 2? ?5 ? 3 ? 1 ) , ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, ? x ? 5 ? 4 , f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5 ∴ 1 4? x?6 ??3 x ? 15, ∴ f ( x) ? ? . 2 6? x?9 ?2( x ? 7) ? 5, 例 5.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到 节约用水的目的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗 费.若每月用水量不超过最低限量 a m3 时,只付基本费 8 元和每月每户的定 额损耗费 c 元; 若用水量超过 a m3 时, 除了付同上的基本费和定额损耗费外,
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第二章 函数——第 9 课时:函数的解析式及定义域

超过部分每 m3 付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 用水量 ( m 3 ) 月份 水费(元) 1 9 9 2 15 19 3 22 33 根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c . 解:设每月用水量为 x m3 ,支付费用为 y 元,则有 (1) ?8 ? c, 0 ? x ? a y?? (2) ?8 ? b( x ? a) ? c, x ? a 由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元,故用水量 15 m3 ,22 m3 均大于 ?19 ? 8 ? b(15 ? a) ? c 最低限量 a m3 ,于是就有 ? ,解之得 b ? 2 ,从而 ?33 ? 8 ? b(22 ? a) ? c 2a ? c ? 19 (3) 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m3 ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入 (2)式,得 9 ? 8 ? 2(9 ? a) ? c ,即 2a ? c ? 17 ,这与(3)矛盾.∴ 9 ? a . 从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 . (四)巩固练习: 1.已知 f ( x 2 ) 的定义域为 [?1,1] ,则 f (2 x ) 的定义域为 (??,0] .

1 ? sin x ? 2.函数 y ? 2 的定义域为 {x | x ? k? ? (?1)k , k ? Z } . 1 6 ? sin x 2 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 8,智能训练 4,5,10,11,12,13.

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第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

一.课题:函数的值域 二.教学目标:理解函数值域的意义;掌握常见题型求值域的方法,了解函 数值域的一些应用. 三.教学重点:求函数的值域. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数的值域的定义;2.确定函数的值域的原则;3.求函数的值域的方 法. (二)主要方法(范例分析以后由学生归纳) : 求函数的值域的方法常用的有:直接法,配方法,判别式法,基本不等式法, 逆求法(反函数法) ,换元法,图像法,利用函数的单调性、奇偶性求函数 的值域等. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的值域: 3x ? 1 (1) y ? 3x 2 ? x ? 2 ; (2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ; (3) y ? ; x?2 (4) y ? x ? 4 1 ? x ; (7) y ?
2

(5) y ? x ? 1 ? x 2 ;
2

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

2x ? x ? 2 2x ? x ?1 1 1 ? sin x ( x ? ) ; (9) y ? ; (8) y ? 2 2x ?1 2 x ? x ?1 2 ? cos x 解: (一)公式法(略) (1) 1 23 23 (二) (配方法)? y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? )2 ? ? , 6 12 12 23 ∴ y ? 3x 2 ? x ? 2 的值域为 [ , ??) . 12 2 改题:求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域.

解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x 2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 . ∴函数 y ? 3x 2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] . (2)求复合函数的值域:设 ? ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为
y? ?.

又∵ ? ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ,∴ 0 ? ? ? 4 ,故 ? ? [0, 2] , ∴ y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] . (3) 法一)反函数法: y ? ( , {x ? R | x? 3}
3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 x ?3 x?2

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第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} . x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵

7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} . x?2 (4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t 2 , ∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴原函数值域为 (??,5] .

∴函数 y ?

说 明 : 总 结 y ? a x? b?
y ? ax 2 ? b ? cx ? d

c x? 型 值 域 , 变 形 : y ? ax 2 ? b ? cx 2 ? d 或 d

(5)三角换元法:∵ 1 ? x2 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] , 则 y ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) 4 ? 2 ? ? 5? ,1] , ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ? ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ? [? 4 2 4 4 4 ∴ 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] , 4 ∴原函数的值域为 [?1, 2] .
??2 x ? 3 ( x ? ?4) (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 (?4 ? x ? 1) ,∴ y ? 5 , ? ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

?

?

∴函数值域为 [5, ??) . (7)判别式法:∵ x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R . 2x2 ? x ? 2 由y? 2 得: ( y ? 2) x 2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 ① x ? x ?1 ①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x 2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实 根, ∴ ? ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴ 1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] .

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第二章 函数——第 10 课时:函数的值域
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 ? ? x? ? x? ? 2 ? , (8) y ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2 1 1 1 1 1 2 ? 2 (x ? 1) 2 ? 2 ,当且仅当 ∵ x ? , ∴ x? ? 0 , ∴ x? ? 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2 2 2 1 1? 2 1 1 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立.∴ y ? 2 ? ,∴原函数的值域为 2 x?1 2 2 2

1 [ 2 ? , ??) . 2 (9) (法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y , 1 y ,sin ? ? ∴ 1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ? ) , 1? y2 1? y2 1? 2 y ? [?1,1] , ∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y 2 , ∴ 3 y 2 ? 4 y ? 0 , ∴ sin( x ? ? ) ? 2 1? y 4 ∴0 ? y ? , 3 4 ∴原函数的值域为 [0, ] . 3 (法二)数形结合法:可看作求点 (2,1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点的连线的斜率 的范围,解略. 例 2.若关于 x 的方程 (2 ? 2?| x ?3| )2 ? 3 ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围. 解:原方程可化为 a ? (2 ? 2?| x ?3| )2 ? 3 ,

令 t ? 2?|x ?3| ,则 0 ? t ? 1 ,a ? f (t ) ? (t ? 2)2 ? 3 ,又∵ a ? f (t ) 在区间 (0,1] 上是 减函数, ∴ f (1) ? f (t ) ? f (0) ,即 ?2 ? f (t ) ? 1 , 故实数 a 的取值范围为: ?2 ? a ? 1 . 例 3.《高考 A 计划》考点 9,智能训练 16)某化妆品生产企业为了占有更 ( 多的市场份额,拟在 2003 年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测 算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费用 t 万元 (t ? 0) 之间满足:3 ? x 与 t ? 1 成反比例;如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件. 已知 2003 年,生产化妆品的固定投入为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再 投入 32 万元. 当将每件化妆品的售价定为 “年平均每件成本的 150%” “年 与 平均每件所占促销费的一半”之和,则当年产销量相等.
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第二章 函数——第 10 课时:函数的值域

(1)将 2003 年的年利润 y 万元表示为年促销费 t 万元的函数; (2)该企业 2003 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=收入-生产成本-促销费) k 2 解: (1)由题设知:3 ? x ? ,且 t ? 0 时, x ? 1 ,∴ k ? 2 ,即 x ? 3 ? , t ?1 t ?1 2 2 1 ∴年生产成本为 [32(3 ? ) ? 3] 万元,年收入为 150%[32(3 ? ) ? 3] ? t . t ?1 t ?1 2 2 1 2 ∴年利润 y ? {150%[32(3 ? ) ? 3] ? t} ? [32(3 ? ) ? 3] ? t (t ? 0) , t ?1 2 t ?1 ?t 2 ? 98t ? 35 (t ? 0) . ∴y? 2(t ? 1) (2)由(1)得 ?(t ? 1) 2 ? 100(t ? 1) ? 64 t ? 1 32 t ? 1 32 y? ? 50 ? ( ? ) ? 50 ? 2 ? ? 42 , 2(t ? 1) 2 t ?1 2 t ?1 t ? 1 32 当且仅当 ,即 t ? 7 时, y 有最大值 42 . ? 2 t ?1 ∴当促销费定为 7 万元时, 2003 年该化妆品企业获得最大利润. (四)巩固练习: 2x 1.函数 y ? x 的值域为 (0,1) . 2 ?1 2 . 若 函 数 f ( x) ? log a x 在 [2, 4] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 2 , 则

a?

2 或 2. 2

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 3,4,9,12,13,14.

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第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

一.课题:函数的奇偶性 二.教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇 偶性,能利用函数的奇偶性解决问题. 三.教学重点:函数的奇偶性的定义及应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数的奇偶性的定义; 2.奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关 于原点对称; 3. f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) . 4.若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . (二)主要方法: 1.判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理, 但必须注意使定义域不受影响; 2.牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
f ( x) 3. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:f ( x) ? f (? x) ? 0 , ? ?1 . f (? x)

4.设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. 5.注意数形结合思想的应用. (三)例题分析: 例 1.判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)
1? x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) ? 2 ; 1? x | x ? 2 | ?2

? x2 ? x ( x ? 0) ? (3) f ( x ) ? ? 2 . ( x ? 0) ?? x ? x ?

解: (1)由 函数.

1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶 1? x

?1 ? x 2 ? 0 ? (2)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) , ?| x ? 2 | ?2 ? 0 ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ?? ∴ f ( x) ? , ?( x 2 ? 2) ? 2 x2

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第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

∵ f (? x) ? ?

lg[1 ? (? x) 2 ] lg(1 ? x 2 ) ?? ? f ( x) (? x) 2 x2

∴ f ( x) 为偶函数

(3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x)2 ? x ? ?( x 2 ? x) ? ? f ( x) , 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? (? x)2 ? x ? ?(? x 2 ? x) ? ? f ( x) , 综上所述,对任意的 x ? (??, ??) ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x) 为奇函数.

例 2.已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) . 解: (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中, 令 y ? ?x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ∴ f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数. (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a . 例 3. (1)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,

? x(1 ? 3 x ), x ? 0 ? 则 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? . ? x(1 ? 3 x ), x ? 0 ?
(2) ( 《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 4 题” )已知 f ( x) 是偶函数, x ? R , 当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数,若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 | x1 |?| x2 | ,则 ( B )

A . f (? x1 ) ? f (? x2 )
C . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

B . f (? x1 ) ? f (? x2 ) D . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

例 4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值.

解: (1)当 a ? 0 时, f (? x) ? (? x 2 )? | ? x | ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x) 为偶函数;

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第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

当 a ? 0 时, f (a) ? a 2 ? 1 , f (?a) ? a 2 ? 2 | a | ?1 , ∴ f (?a) ? f (a), f (?a) ? ? f (a), 此时函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
1 3 (2)①当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? )2 ? a ? , 2 4 1 若 a ? ,则函数 f ( x) 在 (??, a] 上单调递减,∴函数 f ( x) 在 (??, a] 上的最小值 2

为 f (a) ? a 2 ? 1 ;
1 1 3 1 ,函数 f ( x) 在 (??, a] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f (a) . 2 2 4 2 1 3 ②当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? )2 ? a ? , 2 4 1 1 3 1 若a ? ? , 则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (? ) ? ? a , f (? ) ? f(a ; 且 ) 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上单调递增,∴函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值 2

若a ?

f (a) ? a 2 ? 1 .

1 1 1 3 综上,当 a ? ? 时,函数 f ( x) 的最小值是 ? a ,当 ? ? a ? 时,函数 f ( x) 的 2 2 2 4

最小值是 a 2 ? 1 , 当a ?
1 3 ,函数 f ( x) 的最小值是 a ? . 2 4

例 5.《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 15 题” ( ) 已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且 x ?[0, 2]时,
f ( x) ? 2 x ? x2 ,

(1)求 x ?[?2,0] 时, f ( x) 的表达式; (2)证明 f ( x) 是 R 上的奇函数. (参见《高考 A 计划》教师用书 P57 ) (四)巩固练习: 《高考 A 计划》考点 10 智能训练 6. 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 10,智能训练 2,3, 8,9,10,11,13.

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第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2
1 1

1 1 1 1 ∵ x ? ,∴ x ? ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 ( x ? ) 2 1 2 x? 2 (x ? 1) 2 2
2 2

1 1 ? 2 ,当且仅当 x ? ? 2 2 x?1 2

时,即 x ?

1? 2 1 1 时等号成立.∴ y ? 2 ? ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) . 2 2 2

(9) (法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y , ∴ 1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?
1? 2 y 1? y
2

1 1? y2

,sin ? ?

y 1? y2

) ,
4 , 3

∴ sin( x ? ? ) ?

? [?1,1] ,∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y 2 ,∴ 3 y 2 ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ?

4 ∴原函数的值域为 [0, ] . 3

(法二)数形结合法:可看作求点 (2,1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点的连线的斜率的范 围,解略. 例 2.若关于 x 的方程 (2 ? 2?| x ?3| )2 ? 3 ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围. 解:原方程可化为 a ? (2 ? 2?| x ?3| )2 ? 3 , 令 t ? 2?|x ?3| ,则 0 ? t ? 1 , a ? f (t ) ? (t ? 2)2 ? 3 ,又∵ a ? f (t ) 在区间 (0,1]上是减 函数, ∴ f (1) ? f (t ) ? f (0) ,即 ?2 ? f (t ) ? 1 , 故实数 a 的取值范围为: ?2 ? a ? 1 . 例 3.《高考 A 计划》考点 9,智能训练 16)某化妆品生产企业为了占有更多的 ( 市场份额,拟在 2003 年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆 品的年销量 x 万件与年促销费用 t 万元 (t ? 0) 之间满足: 3 ? x 与 t ? 1 成反比例; 如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件. 已知 2003 年,生产化妆品的固定投入为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元.当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每 件所占促销费的一半”之和,则当年产销量相等. (1)将 2003 年的年利润 y 万元表示为年促销费 t 万元的函数;
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第二章 函数——第 11 课时:函数的奇偶性

(2)该企业 2003 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=收入-生产成本-促销费) k 2 解: (1)由题设知: 3 ? x ? ,且 t ? 0 时, x ? 1 ,∴ k ? 2 ,即 x ? 3 ? , t ?1 t ?1 2 2 1 ∴年生产成本为 [32(3 ? ) ? 3] 万元,年收入为 150%[32(3 ? ) ? 3] ? t . t ?1 t ?1 2 2 1 2 ∴年利润 y ? {150%[32(3 ? ) ? 3] ? t} ? [32(3 ? ) ? 3] ? t (t ? 0) , t ?1 2 t ?1 ∴y?
?t 2 ? 98t ? 35 (t ? 0) . 2(t ? 1)

(2)由(1)得
y? ?(t ? 1) 2 ? 100(t ? 1) ? 64 t ? 1 32 t ? 1 32 ? 50 ? ( ? ) ? 50 ? 2 ? ? 42 , 2(t ? 1) 2 t ?1 2 t ?1

t ? 1 32 ,即 t ? 7 时, y 有最大值 42 . ? 2 t ?1 ∴当促销费定为 7 万元时, 2003 年该化妆品企业获得最大利润.

当且仅当

(四)巩固练习: 1.函数 y ?
2x 的值域为 (0,1) . 2x ? 1
2 或 2. 2

2.若函数 f ( x) ? log a x 在 [2, 4] 上的最大值与最小值之差为 2,则 a ?

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 3,4,9,12,13,14.

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第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

一.课题:函数的单调性 二.教学目标:理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题. 三.教学重点:函数单调性的判断和函数单调性的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数单调性的定义; 2.判断函数的单调性的方法;求函数的单调区间; 3.复合函数单调性的判断. (二)主要方法: 1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先 求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有: (1)用定义; (2)用已知函数的单调性; (3) 利用函数的导数. 3.注意函数的单调性的应用; 4.注意分类讨论与数形结合的应用. (三)例题分析: 例 1. (1)求函数 y ? log 0.7 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2) 已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x 2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x 2 ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调 性. 解: (1)单调增区间为: (2, ??), 单调减区间为 (??,1) , (2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x 2 ) ? (2 ? x 2 ) 2 ? ? x4 ? 2 x2 ? 8 , g ?( x) ? ?4 x3 ? 4 x , 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) .
ex a 例 2.设 a ? 0 , f ( x) ? ? x 是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ,即

1 ex a ? ae x ? ? x ae x a e

1 1 1 ∴ (a ? )(e x ? x ) ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a ? ? 0 ,∴ a ? ?1 ,∵ a ? 0 , a e a ∴ a ? 1. 1 1 (2)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e x1 ? e x2 ? x1 ? x2 e e x2 ? x1 1 1? e ? (e x2 ? e x1 )( x1 ? x2 ? 1) ? e x1 (e x2 ? x1 ? 1) x2 ? x1 , e e 由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 0, e x2 ? x1 ? 1 ? 0 , 1 ? e x2 ? x1 ? 0 ,
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第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数. 例 3. (1)《高考 A 计划》考点 11“智能训练第 9 题” ( )若 f ( x) 为奇函数, 且 在 (?? , 0 上 是 减 函 数 , 又 f (?2) ? 0 , 则 x ? f( x? 0 解 集 为 的 ) ) (??, ?2) ? (2, ??) . 例 4.《高考 A 计划》考点 10 智能训练 14)已知函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 ( 的一切实数, 对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)求证: f ( x) 是偶函数; (2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 2 f (2 x ? 1) ? 2 . 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,得 f (1) ? 2 f (1),∴ f (1) ? 0,令 x1 ? x2 ? ?1 ,得∴
f (?1) ? 0, ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 0 ,则 x x x f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1 x x ∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ 2 ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1 ∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. (3)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ,

∵ f ( x) 是偶函数∴不等式 f (2 x 2 ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x 2 ? 1|) ? f (4) , 又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴ | 2 x 2 ? 1|? 4 ,解得: ? 即不等式的解集为 (?
10 10 ?x? , 2 2

10 10 , ). 2 2 a 例 5.函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,求 a 的取值范围. x a 分析:由函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数可以得到两个信息: x a ①对任意的 1 ? x1 ? x2 , 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;②当 x ? 1时, x ? 8 ? ? 0 恒成立. x a 解: ∵函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数, ∴对任意的 1 ? x1 ? x2 , x
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第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

a a ) ? log 9 ( x2 ? 8 ? ) ,得 x1 x2 a a a x1 ? 8 ? ? x2 ? 8 ? ,即 ( x1 ? x2 )(1 ? )?0, x1 x2 x1 x2 a a a ? ? x1 x2 , ∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ 1 ? ? ?1, ? 0, x1 x2 x1 x2 ∵ x2 ? x1 ? 1 ,∴要使 a ? ? x1 x2 恒成立,只要 a ? 1 ; a 又∵函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) 上是增函数,∴ 1 ? 8 ? a ? 0 , x 即 a ? 9 ,综上 a 的取值范围为 [?1,9) . a a 另解: (用导数求解)令 g ( x) ? x ? 8 ? ,函数 f ( x) ? log9 ( x ? 8 ? ) 在 [1, ??) x x 上是增函数, a a ∴ g ( x) ? x ? 8 ? 在 [1, ??) 上是增函数, g ?( x) ? 1 ? 2 , x x a ∴ 1 ? 8 ? a ? 0 ,且 1 ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,得 ?1 ? a ? 9 . x (四)巩固练习: 1. 《高考 A 计划》考点 11,智能训练 10; 2.已知 f (x) 是 R 上的奇函数,且在 (0,??) 上是增函数,则 f (x) 在 (??,0) 上 的单调性为 .

有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 log9 ( x1 ? 8 ?

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 1,智能训练 4,5, 7,8,12,13,15.

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第二章 函数——第 12 课时:函数的单调性

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第二章

函数——第 13 课时:反函数

一.课题:反函数 二.教学目标:理解反函数的意义,会求一些函数的反函数;掌握互为反函数的 函数图象间的关系,会利用 y ? f (x) 与 y ? f 些问题. 三.教学重点:反函数的求法,反函数与原函数的关系. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数; 2.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若 y ? f ( x) 与
y ? f ?1 ( x) 互为反函数,
?1

( x) 的性质解决一

函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 A 、 值 域 为 B , 则 f [ f?1 ( x) ] ?
f ?1[ f ( x)] ? x( x ? A) ;

x? x (

,) B

3.互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于 y ? x 对称. (二)主要方法: 1.求反函数的一般方法: (1)由 y ? f ( x) 解出 x ? f ?1 ( y ) , (2)将 x ? f ?1 ( y ) 中 的 x, y 互换位置,得 y ? f ?1 ( x) , (3)求 y ? f ( x) 的值域得 y ? f ?1 ( x) 的定义域. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的反函数: (1) f ( x) ? x 2 ? x ( x ? ?1) ; (2) f ( x) ? { (3) y ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 .
1 1 解: (1)由 y ? x 2 ? x ( x ? ?1) 得 y 2 ? ( x ? )2 ? ( x ? ?1) , 2 4
x 2 ? 1(0 ? x ? 1) x 2 (?1 ? x ? 0)



∴x?

1 1 ? ? y 2 ? ( y ? 0) , 2 4

1 1 ∴所求函数的反函数为 y ? ? ? x 2 ? ( x ? 0) . 2 4

(2)当 0 ? x ? 1 时,得 x ? y ? 1(?1 ? y ? 0) ,当 ?1 ? x ? 0 时, 得 x ? ? y (0 ? y ? 1) ,

第二章

函数——第 13 课时:反函数

∴所求函数的反函数为 y ? ? ?

? x ? 1(?1 ? x ? 0) ? ? x (0 ? x ? 1) ?



(3)由 y ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 得 y ? ( x ? 1)3 ? 2 ,∴ x ? 1 ? 3 y ? 2( y ? R) , ∴所求反函数为 f ?1 ( x) ? 1 ? 3 x ? 2( x ? R) . 即 f ( x) 为奇函数. (2)∵ y ?
1? y 2x ?1 2 ,得 2 x ? (?1 ? y ? 1) , ? 1? x x 1? y 2 ?1 2 ?1

∴ f ?1 ( x) ? log 2
?1

1? x (?1 ? x ? 1) . 1? x

?1 ? x 1 ? x ? ? x ? 1? k 1? x ? (3)∵ f ( x) ? log 2 ,∴ ?1 ? x , k ,∴ ? k ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ?

①当 0 ? k ? 2 时,原不等式的解集 {x |1 ? k ? x ? 1} , ②当 k ? 2 时,原不等式的解集 {x | ?1 ? x ? 1} . (四)巩固练习: 1.设 f ( x) ? {
x 2 ? 1(0 ? x ? 1)
x

5 ,则 f ?1 ( ) ? 4 2 (?1 ? x ? 0)

. )

2. a ? 0, a ? 1 , 设 函数 y ? log a x 的反函数和 y ? log 1 x 的反函数的图象关于(
a

( A) x 轴对称

( B) y 轴对称

(C ) y ? x 轴对称

( D) 原点

对称
1 3.已知函数 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则 f ?1 (? x) 的图象只可能是 2 y y y





y

O

1

x

?1 O

x

O

?2 ?1 O

x

( A)

( B)

(C )

( D)

4.若 y ? ax ? 6 与 y ?

1 x ? b 的图象关于直线 y ? x 对称,且点 (b, a) 在指数函数 3

f ( x) 的图象上,则 f ( x) ?



第二章

函数——第 13 课时:反函数

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 12,智能训练 1,2,3,6,10,12,14

第二章

函数——第 14 课时:二次函数

一.课题:二次函数 二.教学目标:掌握二次函数的概念、图象及性质;能利用二次函数研究一元二 次方程的实根分布条件;能求二次函数的区间最值. 三.教学重点:二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.二次函数的解析式的三种形式:一般式,顶点式,两根式. 2.二次函数的图象及性质; 3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系. (二)主要方法: 1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在 此区间上的单调性; 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间 端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置. (三)例题分析: 例 1.函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是
( A) b ? 0 ( B) b ? 0 (C ) b ? 0

( A )
( D) b ? 0

b 分析:对称轴 x ? ? ,∵函数 y ? x 2 ? bx ? c( x ? [0, ??) 是单调函数, 2 b ∴对称轴 x ? ? 在区间 2 b [0, ??) 的左边,即 ? ? 0 ,得 b ? 0 . 2

例 2.已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) , 求函数的解析式. 解:∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? b ,又∵
f ( x) 截 x 轴上的弦长为 4 ,∴ f ( x) 过点 (? 2 ? 2, 0) , f ( x) 又过点 (0, ?1) ,
1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ? 2 a ? b ? ?1 ?b ? ? 2 ?

1 ∴ f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 2 . 2 a 1 例 3.已知函数 y ? ? sin 2 x ? a sin x ? ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2 分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题.

第二章

函数——第 14 课时:二次函数

解:令 t ? sin x , t ?[?1,1] ,
a 1 a ∴ y ? ?(t ? )2 ? (a 2 ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 4 2 a 1 (1) ?1 ? ? 1 , ?2 ? a ? 2 时,ymax ? (a 2 ? a ? 2) ? 2 , a ? ?2 或 a ? 3(舍 当 即 得 2 4 去) . a 1 a (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? )2 ? (a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递增, 2 4 2 1 1 10 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 4 2 3 a a 1 (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? )2 ? (a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3

例 4. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的 取值范围. 解法一: 由题知关于 x 的方程 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 ? 0 至少有一个非负实根, 设根 为 x1 , x2
?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ?? 2 4 ? ?? ? 0 ?

例 5.对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个不动 点,已知函数
f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0) ,

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

第二章

函数——第 14 课时:二次函数

(3) (2) 在 的条件下, y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点, 若 且 A, B 两点关于直线 y ? kx ?
1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.
2

x 解: 1)f ( x) ? x 2 ? x ? 3 , 0 是 f ( x) 的不动点, f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 , x0 ? ?1 ( 则 得

或 x0 ? 3 ,函数 f ( x) 的不动点为 ?1 和 3 . (2)∵函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x) ? x ? ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有 两个不等的实根, ? ? b2 ? 4a(b ? 1) ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立, ∴ (4a)2 ? 16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) .
x1 ? x2 b 1 , ? ? ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? 2 2 2a 2a ? 1 b b 1 b b 1 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , ? 2 ) ,∴ ? , ? ? 2 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1

(3)由 ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 得

∴b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

2 2 1 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 a ? 时等号 2 4 a

成立, ∴ b 的最小值为 ? (四)巩固练习: 1.若函数 y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3( x ? [a, b] 的图象关于 x ? 1 对称则 b ? 6 .
2 . 4

2. 二次函数 f ( x) 的二次项系数为负值, f ( x ? 2) ? f (2 ? x)( x ? R) , f 1 2 )x 2 且 问 ( ? 与 f (1 ? 2 x ? x 2 ) 满足什么关系时,有 ?2 ? x ? 0 .

3. m 取何值时,方程 7 x 2 ? (m ? 13) x ? m2 ? m ? 2 ? 0 的一根大于 1 ,一根小于 1 .

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 13,智能训练 3,5,6,9,10,12,13

第二章 函数——第 15 课时:指数式与对数式

一.课题:指数式与对数式 二.教学目标:1.理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质; 2.理解对数的概念,掌握对数的运算性质. 三.教学重点:运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.指数、对数的运算法则; 2.指数式与对数式的互化: ab ? N ? log a N ? b . (二)主要方法: 1.重视指数式与对数式的互化; 2.不同底的对数运算问题,应化为同底对数式进行运算; 3.运用指数、对数的运算公式解题时,要注意公式成立的前提. (三)例题分析: 例 1.计算: (1) (124 ? 22 3) ? 27 ? 16 ? 2(8 ) ; (2) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ; (3) (log3 2 ? log9 2) ? (log 4 3 ? log8 3) . 解: (1)原式 ? (11 ? 3)
2? 1 2
1 2 1 6 3 4 ? 2 3 ?1

?3

3?

1 6

?2

4?

3 4

? 2?8

2 ? ?( ?1) 3

? 11 ? 3 ? 32 ? 23 ? 2 ? 2

1

3?

2 3

? 11 ? 3 ? 3 ? 8 ? 8 ? 11.

(2)原式 ? (lg 2)2 ? (1 ? lg 5) lg 2 ? lg 52 ? (lg 2 ? lg 5 ? 1) lg 2 ? 2lg 5
? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg5 ? 2(lg 2 ? lg5) ? 2 .

(3)原式 ? (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2

?

3lg 2 5lg 3 5 ? ? . 2 lg 3 6 lg 2 4
x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

例 2.已知 x ? x
1 ? 1 2

1 2

?

1 2

? 3 ,求
1

的值.

?3

解:∵ x 2 ? x

? 3 ,∴ ( x 2 ? x 2 )2 ? 9 ,∴ x ? 2 ? x ?1 ? 9 ,∴ x ? x ?1 ? 7 ,

?

1

∴ ( x ? x ?1 )2 ? 49 ,∴ x2 ? x?2 ? 47 , 又∵ x 2 ? x
3 ? 3 2

? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ? 1 ? x?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,

1

?

1

第二章 函数——第 15 课时:指数式与对数式



x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 3 ? 2

?

?3

47 ? 2 ?3. 18 ? 3

1 1 例 3.已知 3a ? 5b ? c ,且 ? ? 2 ,求 c 的值. a b

解:由 3a ? c 得: log c 3a ? 1 ,即 a log c 3 ? 1,∴ log c 3 ? 同理可得

1 ; a

1 1 1 ? log c 5 ,∴由 ? ? 2 得 log c 3 ? log c 5 ? 2 , b a b

∴ log c 15 ? 2 ,∴ c2 ? 15 ,∵ c ? 0 ,∴ c ? 15 . 例 4.设 x ? 1 , y ? 1,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最小值. 解:令 t ? log x y ,∵ x ? 1 , y ? 1,∴ t ? 0 .
2 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ? ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t
1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ T ? x 2 ? 4 y 2 ? x 2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 .

例 5.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a 2 ? b2 ? c 2 .
b?c a ?c ) ? log 2 (1 ? ) ?1 a b b?c 2 (2)若 log 4 (1 ? ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值. a 3 a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c 证明: (1)左边 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ( ? ) a b a b

(1)求证: log 2 (1 ?

? log 2

( a ? b) 2 ? c 2 a 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 2ab ? c 2 ? c 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ; ab ab ab

解: (2)由 log 4 (1 ?

b?c b?c ) ? 1 得1 ? ? 4 ,∴ ?3a ? b ? c ? 0 ?????① a a
2 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ???? ?????② 3
2

由 log8 (a ? b ? c) ?

由① ? ②得 b ? a ? 2 ?????????????????③

第二章 函数——第 15 课时:指数式与对数式

由①得 c ? 3a ? b ,代入 a 2 ? b2 ? c 2 得 2a(4a ? 3b) ? 0 ,∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ????????????????????④ 由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 . (四)巩固练习: 1.若 (a ? b) 2 ? 3 (a ? b)3 ? 2b ,则 a 与 b 的大小关系为 ;

2.若 2lg

x x? y 的值. ? lg x ? lg y ,求 y 2

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 14,智能训练 4,6,10,13,14,15

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

一.课题:指数函数与对数函数 二.教学目标:1.掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质; 2.能利用指数函数与对数函数的性质解题. 三.教学重点:运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.指数函数、对数函数的概念、图象和性质; 2.同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数; (二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数 的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性; ③作差. (三)例题分析: b 例 1. (1)若 a2 ? b ? a ? 1 ,则 logb , logb a , log a b 从小到大依次为 ; a (2)若 2x ? 3y ? 5z ,且 x , y , z 都是正数,则 2x , 3y , 5z 从小到大依次 为 ; (3)设 x ? 0 ,且 a x ? b x ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是( ( A ) b ? a ? 1 ( B ) a ? b ? 1 ( C )1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b b b 解: (1)由 a2 ? b ? a ? 1 得 ? a ,故 logb ? logb a ? 1 ? log a b . a a (2)令 2x ? 3y ? 5z ? t ,则 t ? 1, x ?
lg t lg t lg t ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5



∴ 2x ? 3y ?

2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3

同理可得: 2 x ? 5z ? 0 ,∴ 2 x ? 5z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5z . (3)取 x ? 1 ,知选( B ) . 例 2.已知函数 f ( x) ? a x ?
x?2 (a ? 1) , x ?1

求证: (1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ?
x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

? a x1 ? a x2 ?

x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) , ? ? a x1 ? a x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴
3( x1 ? x2 ) ?0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a x1 ? a x2 ,∴ a x1 ? a x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a x0 ?
2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ? ? ?1, x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 2 ?0, x0 ? 1

即 a x0 ?



当 ?1 ? x0 ? 0 时, 0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ ∴①式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴ ∴①式不成立.

3 3 ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 a x0 ? 1 . x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 . x0 ? 1 x0 ? 1

综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 例 3.已知函数 f ( x) ? log a (a x ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 )( .《高考 A 计划》考点 15,例 4) . 求证: (1)函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . 证明: (1)由 a x ? 1 ? 0 得: a x ? 1 , ∴当 a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的右侧; 当 0 ? a ? 1时,x ? 0 , 即函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) , 此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的左侧. ∴函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧;

第二章 函数——第 16 课时:指数函数与对数函数

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上任意两点,且 x1 ? x2 , 则直线 AB 的斜率 k ?
x y1 ? y2 a ?1 , y1 ? y2 ? log a (a x ? 1) ? log a (a x ? 1) ? log a x , x1 ? x2 a ?1
1 1 2 2

当 a ? 1 时,由(1)知 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? a x1 ? a x2 ,∴ 0 ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 , ∴0 ?
a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; a x2 ? 1

当 0 ? a ? 1时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ a x1 ? a x2 ? 1 ,∴ a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 ? 0 , ∴
a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 . a x2 ? 1

∴函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . (四)巩固练习:
1 1.已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 ? a ? b ? 1 ,则 f (a) 、 f (b) 、 f (c) 从小到大依次 c 1 为 f (b) ? f (a) ? f (c) ; (注: f ( ) ? f (c) ) c x 2.若 a 为方程 2 ? x ? 0 的解, b 为不等式 log2 x ? 1 的解, c 为方程 log 1 x ? x 的
2

解,则 a 、 b 、 c 从小到大依次为 a ? c ? b ; 3. 若函数 f ( x) ? 2?|x ?1| ? m 的图象与 x 轴有交点, 则实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 . 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 15,智能训练 3,5,7,10,12,15.

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

一.课题:函数的图象 二.教学目标:1.熟练掌握基本函数的图象; 2.能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质; 3.能够正确运用数形结合的思想方法解题. 三.教学重点:熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图; 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. (二)主要方法: 1.平移变换: (1)水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图 像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向 向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到. 2.对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对 称即可得到; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3) 函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到. 3.翻折变换: (1)函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方 部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方 部分即可得到; (2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左 边替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到. 4.伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的 每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 a 倍得到; (2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

不变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1)为原来的 (三)例题分析:

1 倍得到. a

例 1.《高考 A 计划》考点 16“智能训练第 5 题” ( )函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图 像如下图: 则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是( A )

y
O

y
O

x

x
y y y

y
O

x
A

O

x

O C

x

O

x

B

D

例 2. 说明由函数 y ? 2 x 的图像经过怎样的图像变换得到函数 y ? 2? x ?3 ? 1 的图像. 解:方法一: (1)将函数 y ? 2 x 的图像向右平移 3 个单位,得到函数 y ? 2 x ?3 的图像; (2)作出函数 y ? 2 x ?3 的图像关于 y 轴对称的图像,得到函数 y ? 2? x ?3 的图像; (3)把函数 y ? 2? x ?3 的图像向上平移 1 个单位,得到函数 y ? 2? x ?3 ? 1 的图像. 方法二: (1)作出函数 y ? 2 x 的图像关于 y 轴的对称图像,得到 y ? 2? x 的图像; (2)把函数 y ? 2? x 的图像向左平移 3 个单位,得到 y ? 2? x ?3 的图像; (3)把函数 y ? 2? x ?3 的图像向上平移 1 个单位,得到函数 y ? 2? x ?3 ? 1 的图像. 例 3.《高考 A 计划》考点 16“智能训练第 11 题” ( )如下图所示,向高为 H 的 水瓶 A, B, C, D 同时以等速注水,注满为止;

( A)

( B)

(C )

( D)

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

(1)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的 a ,则水瓶的形状是 C ; (2)若水量 v 与水深 h 的函数图像是下图中的 b ,则水瓶的形状是 A ; (3)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的 c ,则水瓶的形状是 D ; (4)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图中的 d ,则水瓶的形状是 B .

h

v

h

t

(a)

t
(b)

h
(c )

t

(d )

h

例 4. 设曲线 C 的方程是 y ? x3 ? x , C 沿 x 轴、y 轴正方向分别平移 t 、s (t ? 0) 将 个单位长度后得到曲线 C1 , (1)写出曲线 C1 的方程;
t s (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; 2 2

(3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ? 解: (1)曲线 C1 的方程为 y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s ;

t2 ?t . 4

(2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) ,设 B2 (x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称 点,则有
x1 ? x2 t y1 ? y2 s ? , ? ,∴ x1 ? t ? x2 , y1 ? s ? y2 代入曲线 C 的方程,得 2 2 2 2

x2 , y2 的方程: s ? y2 ? (t ? x2 )3 ? (t ? x2 )

即 y2 ? ( x2 ? t )3 ? ( x2 ? t ) ? s 可知点 B2 ( x2 , y2 ) 在曲线 C1 上. 反过来,同样证明,在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上. 因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称. (3)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,
? y ? x3 ? x ? ∴方程组 ? 有且仅有一组解, 3 ? y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s ?

消去 y ,整理得 3tx2 ? 3t 2 x ? (t 3 ? t ? s) ? 0 ,这个关于 x 的一元二次方程有且仅有

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

一个根, ∴ ? ? 9t 4 ? 12t (t 3 ? t ? s) ? 0 ,即得 t (t 3 ? 4t ? 4s) ? 0 , 因为 t ? 0 ,所以 s ?
t3 ?t . 4

例 5.《高考 A 计划》考点 16,智能训练 12) ( 1 (1)试作出函数 y ? x ? 的图像; x (2)对每一个实数 x ,三个数 ? x, x,1 ? x 2 中最大者记为 y ,试判断 y 是否是 x 的 函数?若是,作出其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值) ; 若不是,说明为什么? 解: (1)∵ f ( x) ? x ?
1 ,∴ f ( x) 为奇函数,从而可以作出 x ? 0 时 f ( x) 的图像, x

又∵ x ? 0 时, f ( x) ? 2 , ∴ x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 2,图像最低点为 (1, 2) , 又∵ f ( x) 在 (0,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数, 同时 f ( x) ? x ?
1 ? x( x ? 0) 即以 y ? x 为渐近线, x

于是 x ? 0 时,函数的图像应为下图①, f ( x) 图象为图②:

y

y
O


y

O


x

O


x

x

(2) y 是 x 的函数,作出 g1 ( x) ? x, g2 ( x) ? ? x, g3 ( x) ? 1? x2 的图像可知, f ( x) 的 图像是图③中实线部分. 定义域为 R ; 值域为 [1, ??) ; 单调增区间为 [?1, 0),[1, ??) ; 单调减区间为 (??, ?1),[0,1) ;当 x ? ?1 时,函数有最小值 1;函数无最大值. (四)巩固练习: 1.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图像如右图所示,则( A )

第二章 函数——第 17 课时:函数的图象

( A) b ? (??, 0) (C ) b ? (1, 2)

( B) b ? (0,1) ( D) b ? (2, ??)

y
O 1

2

x

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 16,智能训练 3, 7,9,15,16.

第二章

函数——第 18 课时:函数的最值

一.课题:函数的最值 二.教学目标:掌握函数最值的一般求法,并能利用函数的最值解决一些实际问 题,提高分析和解决问题的能力. 三.教学重点:函数最值的一般求法以及应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.函数最值的意义; 2.求函数最值的常用方法: (1)配方法:主要适用于可化为二次函数或可化为 二次函数的函数,要特别注意自变量的范围; (2)判别式法:主要适用于可化为
2 关 于 x 的 二 次 方 程 a( y) x ? b( y) ? x

c y 的 函 数 y ? f ( x) . 在 由 ? ? 0 且 ( ) 0 ?

(3) a( y) ? 0 ,求出 y 的值后,要检验这个最值在定义域内是否有相应的 x 的值; 不等式法:利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件; (4)换元法:用换 元法时一定要注意新变元的取值范围; (5)数形结合法:对于图形较容易画出的 函数的最值问题可借助图象直观求出; (6)利用函数的单调性:要注意函数的单 调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值. (二)主要方法: 1.函数的最值问题实质上是函数的值域问题,因此求函数值域的方法,也是求 函数的值域的方法,只是答题的方式有所差异; 2.无论用什么方法求最值,都要考查“等号”是否成立,不等式法及判别式法 尤其如此. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的最大值或最小值: (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 ; (2) y ? x ? 1 ? 2 x ; (3) y ?
2x2 ? 2x ? 5 x2 ? x ? 1



解: (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 ? 4 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ,由 3 ? 2 x ? x 2 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , ∴当 x ? 1 时,函数取最小值 2 ,当 x ? ?1 or x ? 3 时函数取最大值 4 . (2)令 1 ? 2 x ? t (t ? 0, x ? ) ,则 x ?
2 1
1? t2 2

,∴ y ?
1

1? t2

1 ? t ? ? (t ? 1) 2 ? 1 , 2 2

当 t ? 0 ,即 x ? 时取等号,∴函数取最大值 ,无最小值.
2
2

1

(3)解法(一)用判别式法: 由y?
2x2 ? 2x ? 5 x2 ? x ? 1

得 ( y ? 2) x 2 ? ( y ? 2) x ? y ? 5 ? 0, x ? R ,

①若 y ? 2 ,则 2 ? 5 矛盾, ∴ y ? 2 ,

第二章

函数——第 18 课时:函数的最值

?y ? 2 ②由 y ? 2 ,这时, ? ,解得: 2 ? y ? 6 , 2 ?? ? ( y ? 2) ? 4( y ? 2)( y ? 5) ? 0

1 且当 y ? 6 时, x ? ? , ∴函数的最大值是 6 ,无最小值. 2 解法(二)分离常数法:

由y?

2 x2 ? 2 x ? 5 3 3 ? 2? 2 ? 2? 2 1 3 x ? x ?1 x ? x ?1 ( x ? )2 ? 2 4

1 3 3 ∵ ( x ? )2 ? ? ,∴ 2 ? y ? 6 ,∴函数的最大值是 6 ,无最小值. 2 4 4

例 2. (1)函数 y ? a x 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

2



(2)对于满足 0 ? p ? 4 的一切实数,不等式 x 2 ? px ? 4 x ? p ? 3 恒成立,则 x 的 取值范围为 (??, ?1) ? (3, ??) . ( 3 ) 已 知函 数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? 1 ? x 2 , 构 造 函 数 F ( x) , 定 义 如 下: 当
| f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? f ( x) ,那么 F ( x)



B


( B) 有最小值 ?1 ,无最大值 ( D) 无最小值,也无最大值

( A) 有最小值 0 ,无最大值 (C ) 有最大值 1,无最小值

例 3 . 《高 考 A 计划》考点 17 “智能 训练 第 14 题” ( )已 知

1 ? a ? 1 ,若 3

2 f ( x) ? ax ? 2 x? 1 在 [1,3] 上 的 最 大 值 为 M (a) , 最 小 值 为 N (a) , 令

g ( a)? M ( ?) a

N, ) (a

(1)求 g (a ) 的函数表达式; 小值. 答案参看教师用书 P93 . (四)巩固练习:

(2)判断函数 g (a ) 的单调性,并求出 g (a ) 的最

1.函数 y ? x(6 ? 2 x)2 , x ?[0,3] 的最大值为

16 6

; ;

2.若 x, y ? R ? ,3x ? 2 y ? 12 ,则 xy 的最大值是 3.若 x 2 ? y 2 ? 1, 则 3x ? 4 y 的最小值是 ?5 ;

第二章

函数——第 18 课时:函数的最值

4. f ( x) ? ax3 ? x ? a ? 3b , 在 [?2, ?1] 和 [1, 2] 上是单调递减函数,则 a 的最大
1 值为 . 6

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 17,智能训练 1,3,4, 8, 10,12,13, 15

第二章

函数——第 19 课时:函数的应用

一.课题:函数的应用 二.教学目标:1.能够应用函数的性质解决有关数学问题,能够应用函数知识 解决一些简单的实际问题; 2.培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力. 三.教学重点:建立恰当的函数关系. 四.教学过程: (一)主要知识:函数的综合问题主要有如下几个方面: 1.函数的概念、性质和方法的综合问题; 2.函数与其它知识,如方程、不等式、数列的综合问题; 3.函数与解析几何的综合问题; 4.联系生活实际和生产实际的应用问题. (二)主要方法:解数学应用题的一般步骤为: (1)审题; (2)建模; (3)求解; (4)作答. (三)例题分析: 例 1.从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水填满,再倒出 1 升混合溶 液又用水填满,这样继续下去,如果倒第 n(n ? 1) 次时共

y
倒出纯酒精 x 升,倒第 n ? 1次时共倒出纯酒精 f ( x) 升, 则 f ( x) 的表达式是 f ( x) ?
19 x ?1 . 20

O 3

8

x

例 2.《高考 A 计划》考点 18“智能训练第 7 题” 某工厂八年来某种产品总产 ( ) 量 y 与时间 x (年)的函数关系如右图,下列四种说法①前三年中,产量的增长 的速度越来越快,②前三年中,产量的增长的速度越来越慢,③第三年后,这种 产品停止生产,④第三年后,年产量保持不变,其中说法正确的是
( A) ②与③ ( B) ②与④ (C ) ①与③ ( D) ①与④

例 3.假设国家收购某种农产品的价格是 1.2 元/ kg ,其中征税标准为每 100 元征 ,计划可收购 mkg .为了减轻农民负担, 8 元(叫做税率为 8 个百分点,即 8% ) 决定税率降低 x 个百分点,预计收购可增加 2x 个百分点. (1)写出税收 y (元) 与 x 的函数关系; (2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的 78% ,确定 x 的取值范围. 解: (1)由题知,调节后税率为 (8 ? x)% ,预计可收购 m(1 ? 2 x%)kg ,总金额为

第二章

函数——第 19 课时:函数的应用

1.2m(1 ? 2 x%) 元

3m (400 ? 42 x ? x 2 )(0 ? x ? 8) . 12500 (2)∵元计划税收 1.2m? 8% 元,

∴ y ? 1.2m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% ?

∴ 1.2m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% ? 1.2m ? 8% ? 78% , 得 x 2 ? 42 x ? 88 ? 0 , ?44 ? x ? 2 ,又∵ 0 ? x ? 8 , ∴ x 的取值范围为 0 ? x ? 2 . 例 4.某航天有限公司试制一种仅由金属 A 和金属 B 合成的合金,现已试制出这 种合金 400 克, 它的体积 50 立方厘米, 已知金属 A 的比重 d 小于每立方厘米 9 克, 大于每立方厘米 8.8 克;金属 B 的比重约为每立方厘米 7.2 克. (1)试用 d 分别表示出此合金中金属 A 、金属 B 克数的函数关系式; (2)求已试制的合金中金属 A 、金属 B 克数的取值范围.
? x ? y ? 400 ? 解: (1)此合金中含 A 金属 x 克、 B 金属 y 克, 则 ? x , y ? d ? 7.2 ? 50 ?

40d 360(d ? 8) (8.8 ? d ? 9) , y ? (8.8 ? d ? 9) . d ? 7.2 d ? 7.2 40d 7.2 (2)∵ x ? ? 40(1 ? ) 在 (8.8,9) 上是减函数,∴ 200 ? x ? 220 . d ? 7.2 d ? 7.2 360(d ? 8) 0.8 y? ? 360(1 ? ) 在 (8.8,9) 上是增函数, 180 ? y ? 200 . d ? 7.2 d ? 7.2

解得 x ?

例 5.《高考 A 计划》考点 18 例 3)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定 ( 量的水清洗一次的效果作如下假定: 用一个单位的水可清除蔬菜上残留的农药量 1 的 ,用水越多洗掉的农药量越多,但总还有农药残留在蔬菜上,设用 x 单位量 2 的水清洗一次后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 (1)试规定 f (0) 的值,并解释其实际意义; (2)根据假定写出函数 f ( x) f ( x) .
1 ,现有 a(a ? 0) 单位量的水,可 1 ? x2 清洗一次, 也可以把水平均分成两份后清洗两次,哪种方案清洗后蔬菜上残留的 农药量比较少?说明理由. 解答见《高考 A 计划》第 95 页.

应满足的条件和具有的性质; (3)设 f ( x) ?

(四)巩固练习: 1.《高考 A 计划》考点 18“智能训练第 5 题” ( )甲、乙两人沿同一方向去 B 地, 途中都使用两种不同的速度 v1 , v2 (v1 ? v2 ) .甲一半路程使用速度 v1 ,另一半路程 使用速度 v2 ,乙一半时间使用速度 v1 ,另一半时间使用速度 v2 ,甲、乙两人从 A

第二章

函数——第 19 课时:函数的应用

地到 B 地的路程与时间的函数图象及关系,有下面图中 4 个不同的图示分析(其 中横轴 t 表示时间,纵轴 S 表示路程) ,其中正确的图示分析为( D ) .
( A) (1) S C
B A t1 t2 t

( B) (3) S C
B A t1

(C ) (1)或(4) S
C B

( D) (1)或(2) S
C B

t2 t

A

t1

t2 t

A

t1

t2 t

(1)

(2)

(3)

(4)

2.投寄本埠平信,每封信不超过 20g 时付邮费 0.6 元,超过 20g 不超过 40g 时付 邮费 1.2 元,依此类推,每增加 20g 需增加邮费 0.6 元(重量在 100g 以内) ,如果 某人投一封重量为 72.5g 的信,他应付邮费
( A) 2.1 元 ( B) 2 元 (C ) 2.3 元



D



( D) 2.4 元

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 18,智能训练 3,4,10,13,14

第二章 函数——第 20 课时:高三(上)数学巩固练习(2)

高三(上)数学巩固练习(2) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将你 认为正确的答案填在后面的表格中) 1.已知全集 I,M、N 是 I 的非空子集,若 M ? N ,则必有 (A) M ? N ? N (B) M ? N ? N (C) M ? N (D) M ? N 2. 若定义在区间 (?1,0) 内的函数 f ( x) ? log 2 a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范
1 围是 (A) (0, ) 2 1 (C) ( ,?? ) (D) (0,??) 2 x ? x2 1 3.任取 x1 , x2 ? [a, b], 且 x1 ? x 2 , 若 f ( 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,称 f ( x) 是[a , 2 2 b]上的凸函数,则下列图象中,是凸函数图象的是
y y y y

1 (B) (0, ] 2

a

O b x (A)

a

O b x (B)

a

O b x (C)

a

O b x (D)

4.函数 y ? x 2 ? x ? 3( x ? ?1) 的反函数是
1 13 13 1 13 13 (A) y ? ? ? x ? ( x ? ? ) (B) y ? ? ? x ? ( x ? ? ) 2 4 4 2 4 4 1 13 1 13 (C) y ? ? ? x ? ( x ? ?3) (D) y ? ? ? x ? ( x ? ?3) 2 4 2 4

5.若 f (x) 、 g (x) 都是 R 上的单调函数,有如下命题: ①若 f (x) 、 g (x) 都单调递增,则 f ( x) ? g ( x) 单调递增 ②若 f (x) 、 g (x) 都单调递减,则 f ( x) ? g ( x) 单调递减 ③若 f (x) 、 g (x) 都单调递增,则 f ( x) ? g ( x) 单调递增 ④若 f (x) 单调递增, g (x) 单调递减,则 f ( x) ? g ( x) 单调递增 ⑤若 f (x) 单调递减, g (x) 单调递增, f ( x) ? g ( x) 单调递减 其中正确的是 (A)①② (B)②③④ (C)③④⑤ (D)④⑤ 6.要把函数 y ? a ? x 和函数 y ? log a (? x) 的图象画在同一坐标系中,只可能是
y y y y

O (A)

x

O (B)

x

O (C)

x

O (D)

x

第二章 函数——第 20 课时:高三(上)数学巩固练习(2)

7.函数 y ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图象如图所示,则 (A)a>0,b>0,c>0 (B)a>0,b>0,c<0 (C)a<0,b<0,c>0 (D)a<0,b<0,c<0 8. 奇函数 y ? f ( x)( x ? R) 有反函数 y ? f
?1

y ?2 0 1 x

( x), 则必在 y ? f

?1

( x) 的图象上的点是
?1

(A) (? f (a), a) (B) (? f (a),?a) (C) (?a,? f (a)) (D) (a, f

(?a))

9.如果一个函数 f (x) 满足: (1)定义域为 R; (2)任意 x1、x2∈R,若 x1 ? x2 ? 0 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; (3)任意 x∈R,若 t>0。则 f ( x ? t ) ? f ( x) ,则 f (x) 可以 是 A、 y ? x 3 B、 y ? 3 x C、 y ? 3x ? 1 D、 y ? x 2 10.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,并且满足 f ( x ? 2) ? ? 1 , 当 2 ? x ? 3 时
f ( x)

f ( x) ? x ,则 f (105.5) ?

A、-2.5 B、2.5 C、5.5 D、-5.5 选择题题 1 2 3 4 号 答案 二、填空题:

5

6

7

8

9

10

11.设函数 f ( x) ? log a x (a ? 0 且 a ? 1) 满足 f (9) ? 2 ,则 f ?1 (log 9 2) ? 12. 已知函数 f x) ( 是奇函数, 1 ? x ? 4时f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 , 当 则当 ? 4 ? x ? ?1 时, 函数 f(x)的最大值是 三.解答题: 13.已知: f ( x) ? log 3
x 2 ? ax ? b , x ? (0,??) ,是否存在实数 a 、 b ,使 f(x)同 x



时满足下列二个条件: (1)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数; (2) f(x)的最小值是 1.若存在,求出 a 、 b ;若不存在,说明理由.

第二章 函数——第 20 课时:高三(上)数学巩固练习(2)

14.设函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 ? 1( x ? 1) (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)求出最大的实数 a,使得 f ( x) ? ax( x ? 1) 恒成立.

15.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择.它们的速度分 别为 50 千米/小时,100 千米/小时,500 千米/小时,每千米的运费分别为 a 元、 b 元、c 元,且 b<a<c. 又这批海鲜在运输过程中的损耗为 500 元/小时,若使 用三种运输工具分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等,试确定 使用哪种运输工具总费用最省.(题中字母均为正的已知量)

15.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 1(a ? 0, b ? R), 方程 f ( x) ? x 有两个实数根 x1 、
x2 。

(Ⅰ)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证 x0 ? ?1 ; (Ⅱ)如果 0 ? x1 ? 2 ,且 f ( x) ? x 的两实根相差为 2,求实数 b 的取值范围。


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