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高三数学函数复习精品训练题2



河南省开封县一高 2009-2010 学年度高三第一轮复习精品训练题数学(函数 1)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是

A. f : x ? y ? x 2 B. f : x ? y ? 3x ? 2 C. f : x ? y ? ? x ? 4 D. f : x ? y ? 4 ? x 2

2.若函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为[-1,2],则函数 f (x) 的定义域是 A. [ ?

5 ,?1] 2

B.[-1,2]

C.[-1,5]

D. [ , 2 ]

1 2

3,已知函数 f (n) ? ?

?n ? 3 ? f [ f (n ? 5)]
B7

n ? 10 ? ,其中 n ? N ,则 f (8) 的值为 n ? 10
C6
D4

A8
4.已知函数 f ( x) ?

4 ? 1 的定义域是 ?a, b? (a, b?Z) ,值域是 ?0,1? ,那么满足条件的整 | x | ?2

数数对 ( a, b) 共有 (A)2 个 (B)3 个 (C) 5 个 (D)无数个

?x 2 , 5.设 f ? x ? ? ? ? x,
值域是 A. ?? ?,?1? ? ? ,??? 1

x ?1 , g ?x ? 是二次函数,若 f ?g ?x ?? 的值域是 ?0,??? ,则 g ?x ? 的 x ?1

B. ?? ?,?1? ? ?0,???

C. ?1,???

D. ?0,???

6.已知函数 y ? f A. (1,2)

?1

1 ( x) 的图象过点 (1,0) ,则 y ? f ( x ? 1) 的反函数的图象一定过点 2
B. (2,1) C. (0,2) D. ( 2,0)

7.将奇函数 y ? f (x) 的图象沿着 x 轴的正方向平移 2 个单位得到图象 C,图象 D 与 C 关于原 点对称,则 D 对应的函数是 A. y ? ? f ( x ? 2) B. y ? f ( x ? 2) C. y ? ? f ( x ? 2)
?1

D. y ? f ( x ? 2)

8.已知函数 y ? log2 x 的反函数是 y ? f ?1( x) ,那么函数 y ? f

( x) ? 1 的图象是

-1-

y

y

y

y

2 x

2 O1 x

2 O x

2 O x

O

1

1

1

A 9.函数 f ?x ? ? ? A.4

B

(C)

(D)

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
C.2 D.1

B.3

10.图中的图象所表示的函数的解析式为

3 | x ? 1 | (0≤x≤2) B. y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 3 3 3 C. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2)D. y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 2
A. y ? 11.客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发.经过乙地,最后到达丙地 所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是( )

A.

B.

C.
?1

D.

12 . 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 的 反 函 数 为 f

( x) , 且 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有

f (? x) ? f ( x) ? 3 ,则 f ?1( x ?1) ? f ?1(4 ? x) 等于
A.0 B.-2 C.2 D. 2 x ? 4

二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。
13. 函数 y ? loga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

y

y ? ?x ? 8
P

14.如图所示,函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线方程是

y ? ? x ? 8 ,则 f ? 5? ?

, f ? ? 5? ?



O 图

5

x

-2-

15.若对于任意 a ? [-1,1], 函数 f(x) = x + (a-4)x + 4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围
2



.

16.已知函数① f ( x) ? 3 ln x ;② f ( x) ? 3e cos x ;③ f ( x) ? 3e x ;④ f ( x) ? 3 cos x .其中对 于 f (x) 定义域内的任意一个自变量 x1 都存在唯一个自变量 x2 , 使 f ( x1 ) f ( x2 ) =3 成立的函 数是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.已知 f(x)=2x-1 的反函数为 f


?1

(x),g(x)=log4(3x+1).

⑴若 f 1(x)≤g(x),求 x 的取值范围 D; 1 ⑵设函数 H(x)=g(x)-2 f
?1

(x),当 x∈D 时,求函数 H(x)的值域

18.已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零 点,求 a 的取值范围.

19.已知函数 f ( x) ?

x2 (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. ax ? b

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x ) ?

(k ? 1) x ? k . 2? x

20.如图,在单位正方形内作两个互相外切的圆,同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切,

-3-

记其中一个圆的半径为 x,两圆的面积之和为 S,将 S 表示为 x 的函数,求函数 S ? f (x) 的解 析式及 f (x) 的值域.

21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax 和 g ( x) ? x ? a .其中 a ? R且a ? 0 . (1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像的一个公共点恰好在 x 轴上,求 a 的值; (2)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 图像相交于不同的两点 A、B,O 为坐标原点,试问:△OAB 的 面积 S 有没有最值?如果有,求出最值及所对应的 a 的值;如果没有,请说明理由. (3) p 和 q 是方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的两根, 若 且满足 0 ? p ? q ? 时, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a .

1 , 证明: x ? ? 0, p ? 当 a

. 22.函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0,且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. ⑴写出函数 y=g(x)的解析式.? ⑵当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.

-4-

2009-2010 学年度高三第一轮复习训练题数学(二) (函数(一) 参考答案 )
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 A 9 B 10 D 11 B 12 A

二、填空题 13.8; 14.3;-1 ; 三、解答题 17.解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 ? 1
x

15.(-∞?1)∪(3,+∞) ; 16.③

∴f 由f

?1

( x) ? log2 ( x ? 1) (x>-1)

?1

? x ? 1? 0 ( x) ≤g(x) ∴ ? 2 ?( x ? 1) ? 3x ? 1

解得 0≤x≤1 ∴D=[0,1]

1 ?1 1 3x ? 1 1 2 f ( x) ? log 2 ? log 2 (3 ? ) 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ∵0≤x≤1 ∴1≤3- ≤2 x ?1 1 1 ∴0≤H(x)≤ ∴H(x)的值域为[0, ] 2 2
(Ⅱ)H(x)=g(x)- 18. 解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ,
2

解得 a ?

?3 ? 7 2
-5-

①当 a ?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ??1,1? 上;

②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x? 在 ??1,1? 上也恰有 一个零点. ③当 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点时, 则

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 5 2
a ?1 或

综上所求实数 a 的取值范围是

a?

?3 ? 5 . 2
2

19.解: (1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入方程 x ? x ? 12 ? 0 得 ax ? b ? 9 ? 3a ? b ? ?9 ?a ? ?1 x2 ? 解得 ? , 所以f ( x) ? ( x ? 2). ? 2? x ?b ? 2 ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ?0 (2)不等式即为 2? x 2? x 2? x 即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0.
①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??). ②当 k ? 2时, 不等式为 x ? 2) 2 ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); ( ③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) . 20.解:设另一个圆的半径为 y,则 2 x ? x ? 2 y ? y ?

2 ? ( 2 ? 1)(x ? y) ? 2

? x? y ?

2 2 ?1

? 2? 2 ,

? S ? f ( x) ? ? ( x 2 ? y 2 ) ? ? [ x 2 ? (2 ? 2 ? x) 2 ]
? ? [2 x 2 ? 2(2 ? 2 ) x ? (6 ? 4 2 )] ? ? [2( x ? 2? 2 2 ) ? (3 ? 2 2 )] , 2

因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大,而另一圆半径最小,
-6-

所以函数的定义域为

3 1 ? 2?x? 2 2

因为

2? 2 3 1 ? [ ? 2, ], 所以 Smin ? ? (3 ? 2 2); 因为 2 2 2

3 1 3 f ( ? 2) ? f ( ) ? (3 ? 2 2), 2 2 2 3? 3? (3 ? 2 2) ,所以函数 S ? f (x) 的值域为 [? (3 ? 2 2 ), (3 ? 2 2 )] . 所以 Smax ? 2 2
21.解: (1)设函数 g ( x) 图像与 x 轴的交点坐标为( a ,0) , 又∵点( a ,0)也在函数 f ( x ) 的图像上,∴ a ? a ? 0 .
3 2

而 a ? 0 ,∴ a ? ?1 . (2)依题意, f ( x) ? g ( x) ,即 ax ? ax ? x ? a ,
2

整理,得

ax2 ? (a ?1) x ? a ? 0 ,①

∵ a ? 0 ,函数 f ( x ) 与 g ( x) 图像相交于不同的两点 A、B,
2 ∴ ? ? 0 ,即△= (a ?1)2 ? 4a2 = ?3a ? 2a ? 1 =(3 a -1)(- a -1)>0.

∴-1< a <

1 且a ? 0. 3

设 A( x 1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ),且 x 1 < x 2 ,由①得, x 1 ? x 2 =1>0, x1 ? x2 ? ? 设点 o 到直线 g ( x) ? x ? a 的距离为 d, 则d ?

a ?1 . a

| ?a | 2 2 2 , | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? k | x1 ? x2 | . 2 1 | ?a | 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? ∴ S ? OAB = 2 2
=

1 2

?3a 2 ? 2a ? 1 ?

1 1 4 ?3(a ? )2 ? . 2 3 3

∵-1< a <

1 1 3 且 a ? 0 ,∴当 a ? ? 时, S ? OAB 有最大值 , S ? OAB 无最小值. 3 3 3

(3)由题意可知

f ( x) ? g ( x) ? a( x ? p)( x ? q) .
1 ,∴ a( x ? p)( x ? q) ? 0 ,∴当 x ? ? 0, p ? 时, f ( x) ? g ( x) ? 0, a

?0 ? x ? p ? q ?
即 f ( x) ? g ( x) .

又 f ( x) ? ( p ? a) ? a( x ? p)( x ? q) ? x ? a ? ( p ? a) ? ( x ? p)(ax ? aq ? 1) ,

x ? p ? 0, 且ax ? aq ? 1 ? 1 ? aq ? 0, ∴ f ( x) ? ( p ? a) <0, ∴ f ( x) ? p ? a ,
-7-

综上可知, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a . 22.解:(1)设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上点,Q(x,y),则 ?

? x ? x 0 ? 2a , ? y ? ? y0
1 (x>a) x?a

∴?

? x0 ? x ? 2a ? y0 ? ? y
?x ? 3a ? 0 ?x ? a ? 0

∴-y=loga(x+2a-3a),∴y=loga

(2) ?

∴x>3a

∵f(x)与 g(x)在[a+2,a+3]上有意义. ∴3a<a+2 ∴0<a<1

∵|f(x)-g(x)|≤1 恒成立 ? |loga(x-3a)(x-a)|≤1 恒成立.

?? 1 ? log a [( x ? 2a ) 2 ? a 2 ] ? 1 1 ?? ? a ? ( x ? 2a ) 2 ? a 2 ? a ?0 ? a ? 1
对 x∈[a+2,a+3]上恒成立,令 h(x)=(x-2a)2-a2 其对称轴 x=2a,2a<2,2<a+2 ∴当 x∈[a+2,a+3] hmin(x)=h(a+2),hmax=h(a+3)

?a ? hmin ( x) ? ∴原问题等价 ? 1 ? a ? hmax ( x) ?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?a ? 4 ? 4a 9 ? 57 ? ? ?1 ?0?a? 12 ? a ? 9 ? 6a ?

-8-



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