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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第五章 平面向量的概念及其线性运算



名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§5.1

平面向量的概念及其线性运算

[高考调研

明确考向]

考纲解读 ?了解向量的实际背景. ?理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ?理解向量的几何表示. ?掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.

?掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量 共线的含义. ?了解向量线性运算的性质及其几何意义.

考情分析 ?平面向量的线性运算是考查重点. ?共线向量定理的理解和应用是重点,也是难点. ?题型以选择题、填空题为主,常与解析几何相联系.

知识梳理 1.向量的有关概念 1 ______又有 □ 2 ______的量叫做向量, (1)向量:既有 □ 3 ______(或□ 4 ______). 向量的大小叫做向量的□ 5 __________的向量叫做零向量,其方向 (2)零向量: □ 6 ______的. 是□

7 ________的向量叫做单位向 (3)单位向量:长度等于 □ 量. 8 ______或 □ 9 ______的 □ 10 ______ (4)平行向量:方向 □ 11 __________,任一组平行向量都可 向量,平行向量又叫 □ 12 __________. 以移到同一条直线上.规定:0与任一向量□

13 ______且方向□ 14 ______的向量. (5)相等向量:长度□ 15 ______且方向□ 16 ______的向量. (6)相反向量:长度□

2.向量的加法和减法 (1)加法: ①法则:服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质: 17 __________(交换律); a+b=□ 18 ______________(结合律); (a+b)+c=□ 19 a+0=0+a=□ .

(2)减法: ①减法与加法互为逆运算; ②法则:服从三角形法则.

3.数乘向量 (1)长度与方向规定如下: 20 ____________; ①|λa|=□ ②当 21 □ ________时,λa与a的方向相同;当 22 □ .

23 ________时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=□

(2)运算律:设λ、μ∈R,则 24 ________________; ①λ(μ a)=□ 25 ________________; ②(λ+μ)a=□ 26 ________________. ③λ(a+b)=□

4.两个向量共线定理 27 __________条件是有且只有一 向量b与a(a≠0)共线的 □ 28 __________. 个实数λ,使得□

1 大小 答案: □ 为0

2 方向 □ 3 长度 □ 4 模 □ 5 长度 □

6 任意 □ 7 1个单位 □ 8 相同 □ 9 相反 □ 10 非零 □

11 共线向量 □ 12 平行 □ 13 相等 □ 14 相同 □ 15 相等 □ 16 □ 相反 17 b+a □ 18 a+(b+c) □ 19 a □ 20 |λ||a| □ 21 λ>0 □

22 λ<0 □ 23 0 □ 24 (λμ)a □ 25 λa+μa □ 26 λa+λb □ 27 充 □ 要 28 b=λa. □

名 师 微 博 ●一条规律 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向 量起点指向最后一个向量终点的向量. ●两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能 不存在,也可能有无数个.

(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所 在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

基础自测 → 1.D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD等于( → 1→ A.-BC+2BA → 1→ C.BC-2BA → 1→ B.-BC-2BA → 1→ D.BC+2BA )

→ → → → 1→ 解析:如图,CD=CB+BD=-BC+2BA.

答案:A

2.判断下列四个命题: ①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|= |b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|,其中正确的个数是 ( ) A.1 C.3 B.2 D.4

解析:只有④正确.

答案:A

3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成 立的是( ) → → → B.EF=OF-OE → → → D.EF=-OF-OE

→ → → A.EF=OF+OE → → → C.EF=-OF+OE

→ → → → → 解析:EF=EO+OF=OF-OE.

答案:B

→ → 4.(2011· 四川)如图,正六边形ABCDEF中, BA + CD + → EF=( )

A.0 → C.AD

→ B.BE → D.CF

→ → → → → → → → → 解析:BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF.

答案:D

5.若a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共 线,则λ=__________.

? ?1=2k 解析:由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:? ? ?λ=-k,

1 1 ∴k= ,λ=- . 2 2

1 答案:-2

考点一

平面向量的概念

[例1]

下列命题中正确的是(

)

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四 边形的四个顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

解析:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确; 由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向 量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以B不正 确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无 关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以 可从其逆否命题来入手考虑,假设a与b不都是非零向量,即

a与b中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共 线,可知a与b共线,符合已知条件,所以有向量a与b不共 线,则a与b都是非零向量,故选C.

答案:C

方法点睛

解决这类与平面向量的概念有关的命题真假

的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念,还应注 意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满足:①模相 等;②方向相同.

变式训练1

给出下列命题:

→ → ①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件; ②若a=b,b=c,则a=c; ③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是__________.

解析:①②正确,③④错误.

答案:①②

考点二

平面向量的线性运算

[例2] 中点,则(

如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的 )

→ → → A.AD+BE+CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → C.AD+CE-CF=0 → → → D.BD-BE-FC=0

→ → → → → → 解析:∵AB+BC+CA=0,∴2AD+2BE+2CF=0,即 → → → AD+BE+CF=0.

答案:A

方法点睛

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运

算的主要方法,共起点的向量,和用平行四边形法则,差用 三角形法则.

变式训练2

→ → 在△ABC中, AB =c, AC =b,若点D满足 ) 5 2 B. c- b 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

→ → → BD=2DC,则AD=( 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3

→ → → → → → 解析:∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD), → → → ∴3AD=2AC+AB, 1 → 2→ 1→ 2 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3

答案:A

考点三

共线向量定理及其应用

[例3]

设两个非零向量a与b不共线.

→ → → (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:A, B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

→ → → 解析:(1)∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴ AB , BD 共线,又它们有公共点,∴A,B,D三点共 线. (2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+ kb),即(k-λ)a=(λk-1)b. 又a,b是两不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0. ∴k2-1=0.∴k=± 1.

方法点睛

平行向量定理的条件和结论是充要条件关

系,既可以证明向量共线,也可以由向量共线求参数.利用 两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.

变式训练3

(2013· 兰州调研)已知a,b是不共线的向

→ → 量, AB =λa+b, AC =a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点 共线的充要条件是( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 ) B.λ-μ=1 D.λμ=1

→ → 解析:由 AB =λa+b, AC =a+μb(λ,μ∈R)及A,B,C → → 三点共线得: AB =t AC ,所以λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,即
? ?λ=t, 可得? ? ?1=tμ,

所以λμ=1,故选D.

答案:D

难点突破(一)

有关平面向量中新定义问题解题策略

从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考 查平面向量中新定义的问题,一般难度较大.这类问题的特 点是背景新颖,信息量大,通过它可考查学生获取信息、分 析并解决问题的能力.解答这类问题,首先需要分析新定义 的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到 具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键所 在.

[示例1]

(2013· 泰安十校联考)定义平面向量之间的一种

运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b =mq-np,下面说法错误的是( A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· b)2=|a|2|b|2 )

审题:关键条件:a⊙b=mq-np,选的是错误的. 方法:逐一验算

求解:a⊙b=mq-np,b⊙a=np-qm,只有当mq-np =0时,a⊙b=b⊙a,故B错误.

反思:本题中的定义运算较易理解,但运算量较大,注 意细心认真.

[示例2]

(2011· 山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标

→ → → → 系中两两不同的四点,若 A1A3=λA1A2(λ∈R), A1A4=μA1A2(μ 1 1 ∈R),且 λ + μ =2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上 的点C,D调和分割点A,B,则下列说法正确的是( A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C、D可能同时在线段AB上 D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上 )

审题:弄清A3,A4调和分割A1,A2的前提条件. 方法:A1,A2,A3,A4四点共线.

1 1 求解:若A成立,则λ= 2 , μ =0,不可能,同理B也不 1 1 可能.若C成立,则0<λ<1,且0<μ<1, λ + μ >2,不成 1 立,若C,D同时在线段AB的延长线上时,λ>1,且μ>1, λ 1 + <2,故D正确. μ

反思:实际上解决本题主要抓住了两条,一是A1,A2, 1 1 A3,A4四点共线,二是 + =2,同时应用了反证法. λ μ



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