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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:10-9]



第十章 10.9 第九课时
高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.若 ξ~B(n,p)且 Eξ=6,Dξ=3,则 P(ξ=1)的值为( ) A.3· 2-2 B.3· 2-10 C.2-4 D.2-8 答案 B 1 1 12 解析 Eξ=np=6,Dξ=np(1-p)=3?p=2,n=12,P(ξ=1)=C1 2- 12( ) =3· 2 .


10

2.设随机变量的分布列如表所示,且 Eξ=1.6,则 a×b=( ) ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.0.15 D.0.4 解析 由分布列的性质得 0.1+a+b+0.1=1,∴a+b=0.8 ① 又由 Eξ=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得 a+2b=1.3 ② 由①②解得 a=0.3,b=0.5, ∴a×b=0.3×0.5=0.15. 答案 C 3.已知离散型随机变量 ξ,η,满足 ξ+η=8,且 ξ~B(10,0.6),则 Eη,Dη 分 别是( ) A.6、2.4 B.2、2.4 C.2、5.6 D.6、5.6 解析 由均值、方差的性质,ξ+η=8,得 η=8-ξ, Eη=8-Eξ=8-10×0.6=2, Dη=D(8-ξ)=(-1)2Dξ=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 4.设投掷 1 颗骰子的点数为 ξ,则( ) 35 A.Eξ=3.5,Dξ=3.52 B.Eξ=3.5,Dξ=12 35 C.Eξ=3.5,Dξ=3.5 D.Eξ=3.5,Dξ=16 答案 B 5.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗 子弹,命中后的剩余子弹数目 ξ 的期望为( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 答案 C 6.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ 0 1 -1 P a b c 1 其中 a,b,c 成等差数列,若 Eξ=3,则 Dξ 的值是( )

1 A.3 5 C.9 解析

2 B.3 7 D.9

∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c,又 a+b+c=1,且 Eξ=-1×a 1 1 1 1 1 1 1 +1×c=c-a=3.联立三式得 a=6,b=3,c=2,∴Dξ=(-1-3)2×6+(0-3)2× 1 12 1 5 + (1 - 3 3) ×2=9. 答案 C 二、填空题 1 7.若随机变量 ξ 的分布列为:P(ξ=m)=3,P(ξ=n)=a.若 Eξ=2,则 Dξ 的最 小值等于________. 答案 0 1 2 1 2 1 解析 依题意有 a=1-3=3,所以 Eξ=3m+3n=2,即 m+2n=6,又 Dξ=3 2 (m-2)2+3(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以当 n=2 时,Dξ 取最小值为 0. 8.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=________ 时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为________. 1 答案 2,25 解析 Dξ=100P(1-P) P+1-P 2 ≤100· ( ) 2 =25 当且仅当 P=1-P. 1 即 P=2时,Dξ 最大为 25. 9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔 偿 a 元,设一年内事件 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的 10%, 公司应要求投保人交的保险金为________元. 解析 设要求投保人交 x 元,公司的收益额 ξ 作为随机变量,则 p(ξ=x)= 1-p,p(ξ=x-a)=p, 故 Eξ=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,所以 x-ap=0.1a ∴x=(0.1+p)a. 答案 (0.1+p)a 三、解答题 10.一台设备由三大部件组成,在设备运转中,各部件需要调整的概率相应 为 0.10,0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以 ξ 表示同时需要调整的部件 数,试求 ξ 的数学期望 Eξ 和方差 Dξ. 解析 P(ξ=0)=P( A1 A2 A3 )=0.9×0.8×0.7=0.504; P(ξ =1)= P(A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3)=0.1 × 0.8 ×0.7 + 0.9 ×

0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398; P(ξ =2)= P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+ P( A1 A2A3)= 0.1× 0.2 ×0.7+0.1 × 0.8× 0.3+0.9×0.2×0.3=0.092; P(ξ=3)=P(A1A2A3)=0.1×0.2×0.3=0.006. ∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6, Dξ=Eξ2-(Eξ)2=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.62=0.82-0.36=0.46 11.某制药厂新研制出一种抗感冒药,经临床试验疗效显著,但由于每位患 者的身体素质不同,可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应,甲、乙、丙三 1 1 1 位患者均服用了此抗感冒药,若他们出现轻微不良反应的概率分别是5,3,4. (1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率; (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率; (3)设出现轻微不良反应的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解析 (1)患者甲出现轻微不良反应,患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概 1 2 3 1 率为5×3×4=10;患者乙出现轻微不良反应,患者甲、丙没有出现轻微不良反应 4 1 3 1 的概率为5×3×4=5;患者丙出现轻微不良反应,患者甲、乙没有出现轻微不良 4 2 1 2 1 反应的概率为5×3×4=15,所以,恰好有一人出现轻微不良反应的概率为 P1=10 1 2 13 +5+15=30. 1 1 3 4 1 1 1 2 1 1 (2)有两人出现轻微不良反应的概率 P2=5×3×4+5×3×4+5×3×4=20+ 1 1 3 + = 15 30 20. 4 2 3 2 三人均没有出现轻微不良反应的概率 P0=5×3×4=5,所以,至多有两人出 2 13 3 59 现轻微不良反应的概率为5+30+20=60. (3)依题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,由(1)(2)得, 2 13 3 2 13 3 1 P(ξ=0)=5,P(ξ=1)=30,P(ξ=2)=20,P(ξ=3)=1-5-30-20=60. 于是 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 2 13 3 1 P 5 30 20 60 2 13 3 1 47 ξ 的数学期望 Eξ=0×5+1×30+2×20+3×60=60. 12.甲、乙、丙三人组成一组参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关, 1 1 其中甲闯关成功的概率为3,甲、乙都闯关成功的概率为 6,乙、丙都闯关成功的 1 概率为5.每人闯关成功记 2 分,三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率; (2)设团体总分为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

解析 (1)设乙闯关成功的概率为 P1,丙闯关成功的概率为 P2,则由题意得 1 1 ? ?3P1=6, 1 2 解得 P1=2,P2=5. ? 1 P2=5. ?P1· ? 1 2 即乙闯关成功的概率为2,丙闯关成功的概率为5. 1 1 2 1 (2)由题意知, ξ 的可能取值为 0,2,4,6, 且 P(ξ=0)=(1-3)×(1-2)×(1-5)=5; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 13 P(ξ=2)=3×(1-2)×(1-5)+(1-3)×2×(1-5)+(1-3)×(1-2)×5=30;P(ξ= 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 4)=(1-3)×2×5+3×(1-2)×5+3×2×(1-5)=10;P(ξ=6)=3×2×5=15. 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 2 4 6 1 13 3 1 P 5 30 10 15 1 13 3 1 37 所以 Eξ=0×5+2×30+4×10+6×15=15. 13.某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概 4 率为5,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p,q(p>q),且不同课程是 否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3 6 24 P a b 125 125 (1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p、q 的值; (3)求数学期望 Eξ. 解析 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”i=1,2,3,由题意知 P(A1) 4 =5,P(A2)=p,P(A3)=q. (1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩” ,与事件“ξ=0”是对立的, 6 119 所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1-P(ξ=0)=1-125=125. (2)由题意知 P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3) 1 6 =5(1-p)(1-q)=125, 4 24 P(ξ=3)=P(A1A2A3)=5pq=125. 6 整理得 pq=25,p+q=1. 3 2 由 p>q,可得 p=5,q=5. (3)由题意知 a=P(ξ=1)=P(A1 A
2

A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A

1

4 A 2A3)=5(1-

1 1 37 p)(1-q)+5p(1-q)+5(1-p)q=125. 58 b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=125. 9 Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=5. 14.设 S 是不等式 x2-x-6≤0 的解集,整数 m,n∈S. (1)记“使得 m+n=0 成立的有序数组(m,n)”为事件 A,试列举 A 包含的基 本事件; (2)设 ξ=m2,求 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ. 解析 (1)由 x2-x-6≤0 得-2≤x≤3,即 S={x|-2≤x≤3}. 由于 m,n∈Z,m,n∈S 且 m+n=0,所以 A 包含的基本事件为: (-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于 m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3, 所以 ξ=m2 的所有不同取值为 0,1,4,9, 1 2 1 2 1 1 且有 P(ξ=0)=6,P(ξ=1)=6=3.P(ξ=4)=6=3,P(ξ=9)=6. 故 ξ 的分布列为: ξ 0 1 4 9 1 1 1 1 P 6 3 3 6 1 1 1 1 19 所以 Eξ=0×6+1×3+4×3+9×6= 6 . 15.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达 此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走 出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达 智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令 ξ 表示走 出迷宫所需的时间. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 ξ 的数学期望. 解析 (1)ξ 的所有可能取值为:1,3,4,6, 1 1 1 1 P(ξ=1)=3,P(ξ=3)=6,P(ξ=4)=6,P(ξ=6)=3,所以 ξ 的分布列为: ξ 1 3 4 6 1 1 1 1 P 3 6 6 3 1 1 1 1 7 (2)Eξ=1×3+3×6+4×6+6×3=2(小时).

拓展练习·自助餐
1.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取 2 件,若 X 表示取到次品的个 数,则 E(X)等于( ) 3 8 A.5 B.15

14 C.15 答案 解析

D.1

A 离散型随机变量 X 服从 N=10,M=3,n=2 的超几何分布, nM 2×3 3 ∴EX= N = 10 =5. 2.某人从家乘车到单位,途中有 3 个交通岗亭.假设在各交通岗遇到红灯的 事件是相互独立的, 且概率都是 0.4, 则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( ) A.0.4 B.1.2 3 C.0.4 D.0.6 答案 B 解析 ∵途中遇红灯的次数 X 服从二项分布,即 X~B(3,0.4),∴EX=3×0.4 =1.2. 3.设 ξ~B(n,p),且 Eξ=12,Dξ=4,则 n 与 p 的值分别为( ) 1 2 A.18,3 B.12,3 2 1 C.18,3 D.12,3 答案 C ?np=12 2 解析 由? ,解得 n=18,p=3. ?np?1-p?=4 4.在 1,2,3,?,9 这 9 个自然数中,任取 3 个数. (1)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (2)记 ξ 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组相 邻的数 1,2 和 2,3,此时 ξ 的值是 2).求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ. 2 C1 10 4C5 解析 (1)记“这 3 个数中恰有一个是偶数”为事件 A,则 P(A)= C3 =21. 9 (2)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 5 1 1 P 12 2 12 所以 ξ 的数学期望 5 1 1 2 Eξ=0×12+1×2+2×12=3 5.下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位:吨)的频率分 布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求

月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得 x =0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1). 0 2 因此 P(X=0)=C3 ×0.93=0.729,P(X=1)=C1 3×0.1×0.9 =0.243,P(X=2)= 2 3 3 C2 3×0.1 ×0.9=0.027,P(X=3)=C3×0.1 =0.001. 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X 的数学期望为 EX=3×0.1=0.3.



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