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广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题4 第19课时 立体几何综合问题



专题四 立体几何

1

考点1 空间几何体与三视图问题
例1 已知正三棱锥V ? ABC的正视图、俯视图如图所示, 其中VA ? 4,AC ? 2 3.

?1? 画出该正三棱锥的侧视图,并求
出该侧视图的面积;

? 2 ? 在正三棱锥V ? ABC中,D是BC

中点,求证:平面VAD ? 平面VBC;

? 3? 求正三棱锥V ? ABC的体积.
切入点:解题的关键在于抓住三视图中的位置 与度量关系,将三视图还原为几何体.
2

解析 ?1? 侧视图如下图所示. (①注意标注尺寸;②用虚 线标出“高平齐”;③图中 注明VD ? 2 3或VC ? 15 或VB ? 15.) S ?VBC 1 ? VA?BC ? 2

1 ? 2 3 ? 2 3 ? 6. 2
3

? 2 ? 证明:因为D是BC的中点,
则有AD ? BC. 而三棱锥V ? ABC为正三棱锥, 所以VD ? BC. 又因为AD ? VD ? D,且AD ? 平面VAD,VD ? 平面VAD, 所以BC ? 平面VAD. 又BC ? 平面VBC, 所以平面VAD ? 平面VBC. 1 1 ? 3? 易得该三棱锥的体积为 ? ? 2 3 ? 2 3 ? sin 60o ? 2 3 ? 6. 3 2 4

1.本题将几何体的直观图、三视图和棱锥的 体积公式、线面垂直的判定等基础知识进行有机的 整合,考查学生综合运用知识解决问题的能力,是 高考中具有导向性的试题,需要很好地体会. 2.画侧视图时,要注意三视图的画图要求,根 据“正俯长对正、正侧高平齐、侧俯宽相等”的原 则作出所需要的视图. 3.证明面面垂直,要注意根据面面垂直的判定 定理去寻找线线垂直.
5

变式1 如图,多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示, M 、N 分别为AF、BC的中点.

?1? 求证:MN //平面CDEF; ? 2 ? 求多面体A ? CDEF的体积; ? 3? 求证:CE ? AF .

6

解析 ?1? 证明:由多面体AEDBFC的三视图知, 三棱柱AED ? BFC中,底面DAE是等腰直角三角形, DA ? AE ? 2,DA ? 平面ABFE,底面ABFE,侧面 ABCD都是边长为2的正方形. 连接EB,则M 是EB的中点.

7

在? EBC中,MN //EC,且EC ? 平面CDEF, MN ? 平面CDEF,所以MN //平面CDEF .

8

? 2 ?因为DA ? 平面ABFE,EF ? 平面ABFE,
所以EF ? AD. 又EF ? AE,所以EF ? 平面ADE, 所以四边形CDEF 是矩形,且侧面CDEF ? 平面DAE. 取DE的中点H,连接AH . 因为DA ? AE,DA ? AE ? 2, 所以AH ? 2,且AH ? 平面CDEF . 故多面体A ? CDEF的体积 1 1 8 V ? S矩形CDEF ? AH ? DE ? EF ? AH ? . 3 3 3
9

? 3? 证明:因为DA ? 平面ABFE,DA//BC,
所以BC ? 平面ABFE,所以BC ? AF . 因为ABFE是正方形,所以EB ? AF, 即AF ? 平面BCE,所以CE ? AF .

10

考点2 空间几何体的折叠与展开图问题

11

切入点:抓住棱锥的特征,在折叠过程中哪些量变了, 哪些量没变.
解析 ?1? 令PA ? x(0<x<2),则A?P ? PD ? x,BP ? 2 ? x. 因为A? P ? PD, 且平面A? PD ? 平面PBCD,故A? P ? 平面PBCD. 所以VA?? PBCD 1 1 1 ? Sh ? ? 2 ? x ?? 2 ? x ? x ? ? 4x ? x 3 ?. 3 6 6

1 令f ? x ? ? ? 4x ? x 3 ?. 6 1 2 3 2 由f ? ? x ? ? ? 4 ? 3x ? ? 0,得x ? . 6 3
12

2 3 当x ? (0, )时,f ? ? x ?>0,f ? x ? 单调递增; 3 2 3 当x ? ( , 时,f ? ? x ?<0,f ? x ? 单调递减. 2) 3 2 3 所以,当x ? 时,f ? x ? 取得最大值. 3 2 3 即当VA?? PBCD最大时,PA ? . 3
13

? 2 ? 设F为A?B的中点,连接PF,FE.

1 1 则有EF // BC,PD // BC, 2 2 所以四边形PDEF 是平行四边形, 所以DE //PF . 又A? P ? PB,所以PF ? A? B, 故DE ? A? B.
14

1.折叠与展开问题是立体几何的两个重 要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平 面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的 关键是抓住两图的特征关系. 2.平面图形通过折叠变成立体图形;立 体图形通过展开变成平面图形.这类问题的解 决主要是弄清它们之间的位置关系和度量关 系.要善于将立体问题转化为平面问题.
15

变式2(2011? 茂名二模)用硬纸剪出一个三边均不等的锐 角三角形AOB,M ,N 分别为OA,OB的中点,然后以 AB边上的高OO1为折痕,折得两个直角三角形,使之 立于桌面所在的平面? 上,固定三角形OO1 A,将Rt? OO1 B绕OO1旋转,使A,O1,B三点不共线.

?1? 求证:MN //?; ? 2 ? 试探究满足什
么条件时,三棱 锥O ? O1 AB的体 积最大.

16

解析 ?1? 证明:连接AB.

因为M ,N 分别为OA,OB的中点,所以MN //AB. 又因为AB ? ?,MN ? ?,所以MN //? .

17

? 2 ?因为OO1 ? AO1,OO1 ? BO1,AO1 ? BO1 ? O1,
所以OO1 ? 平面AO1 B, 1 所以VO ? O1 AB ? S ? ABO1 ? OO1, 3 所以要使三棱锥O ? O1 AB体积最大, 只需? AO1 B的面积最大, 1 而S ? O1 AB ? AO1 ? BO1 ? sin?AO1 B, 2 故当且仅当sin?AO1 B ? 1时,即AO1 ? BO1时 三棱锥的体积最大.
18

考点3 空间几何体中的探究性问题
例3 如图所示,在四棱锥S ? ABCD中,底面ABCD 是矩形,侧面SDC ? 底面ABCD,且AB ? 2,SC ? SD ? 2.

?1? 求证:平面SAD ? 平面SBC; ? 2 ? 设BC ? x,BD与平面SBC所
成的角为?,试探究sin?的取值 范围.
19

切入点: ?问可通过证明线面垂直得到面面垂直; ?1

? 2 ?问的关键是建立sin? 关于x的函数关系,转化
为函数的值域.

20

解析 ?1? 证明:在?SDC中, 因为SC ? SD ? 2,CD ? AB ? 2, 所以?DSC ? 90?,即DS ? SC. 因为底面ABCD是矩形,所以BC ? CD. 又因为平面SDC ? 平面DBC , 平面SDC ? 平面DBC ? CD, 所以BC ? 平面SDC,即得DS ? BC. 而BC ? SC ? C,所以DS ? 平面SBC. 因为DS ? 平面SAD,所以平面SAD ? 平面SBC.
21

? 2 ?由?1? 知,DS ? 平面SBC,
所以SB是DB在平面SBC 上的射影, 所以?DBS 就是DB与平面SBC 所成的的角, DS 即?DBS ? ?,且sin? ? . DB 由BC ? x,CD ? 2,得DB ? 4+x 2, 2 所以sin? ? .由x ? 0,得0 ? sin? ? . 2 4 ? x2
22

2

1.本题因为BC=x是可变化的,故导致α的 变化.因此,如能建立sinα与x的函数关系,则 可利用函数的方法研究sinα的取值范围,这是 函数思想在立体几何中的具体运用. 2.一般的,范围的探究问题都可考虑能否 利用函数思想的方法加以解决.建立函数模型 后,要注意确定相应变量的取值范围,即要注 意确定函数的定义域.
23

变式3(2011?佛山一模)如图,在四棱锥P ? ABCD中,底 面ABCD为菱形,?BAD ? 60?,Q为AD的中点.

?1? 若PA ? PD,求证:平面PQB ? 平面PAD; ? 2 ? 点M 在线段PC上,PM ? tPC,试确定实数t的值,
使得PA//平面MQB.
24

解析 ?1? 证明:连接BD.

易得? ABD为等边三角形,所以BQ ? AD. 又PA ? PD,所以PQ ? AD,BQ ? PQ ? Q, 所以AD ? 平面PQB. 而AD ? 平面PAD,所以平面PQB ? 平面PAD.
25

? 2 ? 连接AC交BD于O,交BQ于N,连接MN .

2 1 易知AN ? AO ? AC. 3 3 而PM ? tPC,由于PA//平面MQB,PA ? 平面PAC, 平面PAC ? 平面MQB ? MN, PM AN 1 所以PA//MN,所以t ? ? ? . PC AC 3
26

1.立体几何的综合问题最为常见的有空间几 何体与三视图、空间几何体的翻折与展开以及空 间几何体的探究性问题、应用题问题等. 2.在解决几何体与三视图、几何图形的翻折 与展开时,关键在于对照前后两种图形,分清哪 些元素的位置关系、长度、角度等度量关系哪些 改变了,哪些没有改变. 3.对于探究性问题和应用题问题,先将其转 化为数学问题,然后利用相关知识和方法解决.
27



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