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2016年温州市高三第一次适应性测试文科数学(含答案)



数学(文科)试题

2016 年温州市高三第一次适应性测试 数学(文科)试题
考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

2016.1

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4

页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 2 至 4 页。 满分 150 分,

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式: S ? 4? R 2

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ? 4 ?R 3 其中 R 表示球的半径

3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求。
2 1.已知集合 A ? x y ? lg x , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

▲ ) D. ( ?1,3) ▲ )

A. (0,3)

B. ( ?1, 0)

C. (??,0) ? (3, ??)

2.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l //? , m//? ,则 l //m C.若 l B.若 l D.若 l

? m , m//? ,则 l ? ? ? m , l ? ? ,则 m//?

? ? , m ? ? ,则 l //m

?2 x ? y ? 0 ? 3.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值为( ▲ ) ?x ? 2 y ? 3 ?
A. ?1 B. 0
2

C.

1

D .3

4. 已知直线 l :y ? kx ? b , 曲线 C :x A.充分不必要条件

则 “ b ? 1” 是 “直线 l 与曲线 C 有公共点” 的( ▲ ) ? y2 ? 1, C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ▲ )

B.必要不充分条件

??? ? ??? ? 5.已知正方形 ABCD 的面积为 2,点 P 在边 AB 上,则 PD ? PC 的最大值为(
A.

6 2

B.

3 2

C. 2

D. 2

数学(文科)试题

第 1 页(共 4 页)

数学(文科)试题

6.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 3 ,点 E 为 AD 的中点,现分别沿 BE , CE 将 ?ABE , ?DCE 翻 折,使得点 A, D 重合于 F ,此时二面角 E ? BC ? F 的余弦值为 ( A. ▲ ) D.

3 4
A E

B.

7 4
D

C.

2 3
F E

5 3

?
B C

第 6 题图

B

C

7.如图,已知 F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,点 P 在第一象限,且满足 a 2 b2
y P

???? ? ???? ???? ? ???? ? | F2 P |? a , ( F1P ? F1F2 ) ? F2 P ? 0 ,线段 PF2 与双曲线 C 交于点 ???? ? ???? ? Q ,若 F2 P ? 5F2Q ,则双曲线 C 的渐近线方程为( ▲ )
5 x 5 3 x C. y ? ? 2
A. y ? ? 8. 已知集合 M

1 B. y ? ? x 2 3 x D. y ? ? 3

Q F1 O F2 x

第 7 题图

? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} ,若实数 ? , ? 满足:对任意的 ( x, y) ? M ,都有 (? x, ? y) ? M ,
▲ ) B. {(? , ? ) | ?
2 2

则称 (? , ? ) 是集合 M 的“和谐实数对” 。则以下集合中,存在“和谐实数对”的是( A. {(? , ? ) | ? ? ? ? 4} C. {(?, ? ) | ?
2

? ? 2 ? 4} ? ? 2 ? 4}

? 4? ? 4}

D. {(? , ? ) | ?

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0, l2 : x ? y ? 1 ? 0 , l1 // l2 ,则 a 的值为 ▲ , 直线 l1与l2 间的距离为 ▲ . 10.钝角 ..?ABC 的面积为

1 , AB ? 1, BC ? 2, 则角 B ? 2



, AC ?



.

2 ? ?x , x ? 0 11.已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f ( ?2)) ? x ? ?2 ? 2, x ? 0

▲ ,函数 f ( x ) 的零点的个数为





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12.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 积为 ▲ .



,表面
4

13.若数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,则数列 ?an ? 的前 8 项和为 ▲ . 14 .已知 f ( x) ? ln(x ?

4 ? a ),若对任意的 m ? R ,方程 f ( x) ? m 均 x 有正实数解,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

3
正视图

3
侧视图

15.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 2) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心 a2 2
俯视图

率为 e , 直线 l : y ? ex ? a , P 为点 F1 关于直线 l 对称的点 , 若

第 12 题图

?PF1 F2 为等腰三角形,则 a 的值为 ▲ .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 15 分)已知 2sin ? ? tan ? ? 3 ,且 0 ? ? ? ? .
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? 4cos x cos( x ? ?) 在 [0, ] 上的值域.

? 4

17.(本题满分 15 分)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 2 ,且 4S1 ,3S2 ,2S3 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn

? 2n ? 5 ? an ,求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn .

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18. (本题满分 15 分)如图,在三棱锥 D ? ABC 中, DA ? DB ? DC , D 在底面 ABC 上的射影为 E ,

AB ? BC , DF ? AB 于 F .
(Ⅰ)求证:平面 ABD ? 平面 DEF ; (Ⅱ)若 AD ? DC , AC ? 4, ?BAC ? 60 ,求直线 BE 与平
?

D

面 DAB 所成的角的正弦值.
A F B E C

第 18 题图

19. (本题满分 15 分) 如图, 已知点 F (1,0) , 点 A, B 分别在 x 轴、y 轴上运动,且满足 AB ? BF , AD ? 2 AB, 设点 D 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;
y D B

????

??? ?

1 (Ⅱ)若斜率为 的直线 l 与轨迹 C 交于不同两点 2

P, Q (位于 x 轴上方),记直线 OP,OQ 的斜率分 别为 k1 , k 2 ,求 k1 ? k 2 的取值范围.
A

O

F

x

第 19 题图

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? t ) | x | (t ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 t ? (0, 2) ,对于任意 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? x ? a 都成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 年温州市高三第一次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
要求.

2016.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目

题号 答案

1 A

2 C

3 D

4 A

5 C

6 B

7 B

8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

9. ?1 ; 2 . 12.12;36. 三、解答题 16. (本题 15 分)

10. 135 ; 5 13.28.

?

11.14;1. 14. [4,??) . 15. 3

解: (Ⅰ)由已知得 2 sin ? ? 3 cos? ,则 2 cos ? ? 3 cos? ? 2 ? 0 ????? 3 分
2

2

1 或 cos ? ? ?2 (舍)?????????????5 分 2 又因为 0 ? ? ? ?
所以 cos ? ? 所以

??

?

3

???????????????????????7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 4 cos x cos( x ?

?
3

)

1 3 ? 4 cos x( cos x ? sin x) ????????9 分 2 2 ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) ????????????11 分 6 ? ? ? 2? 由 0 ? x ? 得 ? 2x ? ? ??????????????12 分 4 6 6 3 所以 当 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 f (0) ? 2 ? ? 当 x ? 时, f ( x) 取得最大值 f ( ) ? 3 ????????14 分 6 6
所以函数 f ( x) 在 [0,

?

4

] 上的值域为 [2,3] ???????????15 分

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第 5 页(共 4 页)

数学(文科)试题

17.(本题 15 分)解: (Ⅰ)? 4S1 ,3S2 ,2S3 成等差数列.

?6S2 ? 4S1 ? 2S3 ?????????????????2 分
即 6(a1 ? a2 ) ? 4a1 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ????????????4 分 则 a3 ? 2a2 ?q ? 2?an ? 2n ??????????????6 分 (Ⅱ)? 当 n ? 1,2 时, an ? 0 ,当 n ? 3 时, an ? 0 ????????????7 分

T1 ? 6, T2 ? 10 ??????????????????????????9 分
当 n ? 3 时, Tn ? 10 ? 1? 23 ? 3 ? 24 ? ?? (2n ? 5) ? 2n

2Tn ? 20 ? 1? 24 ? 3? 25 ? ?? (2n ? 7) ? 2n ? (2n ? 5) ? 2n?1 ???10 分
两式相减,得 ? Tn ? ?10 ? 8 ? 2(24 ? 25 ? ?? 2n ) ? (2n ? 5) ? 2n?1 ??????11 分

24 (1 ? 2n?3 ) ? (2n ? 5) ? 2n ?1 1? 2 ? ?34 ? (7 ? 2n) ? 2n?1 ? ?2 ? 2 ?

?Tn ? 34 ? (2n ? 7) ? 2n?1 ????????????????13 分
?6, n ? 1 ? ?????????15 分 ? Tn ? ?10, n ? 2 n ? 1 ?34 ? (2n ? 7) ? 2 ?

D

18. (本题 15 分) (Ⅰ)如图,由题意知 DE ? 平面 ABC H 所以 AB ? DE ,又 AB ? DF A E 所以 AB ? 平面 DEF ,??????3 分 又 AB ? 平面 ABD 所以平面 ABD ? 平面 DEF ?6 分 F (Ⅱ)解法一: B 由 DA ? DB ? DC 知 EA ? EB ? EC 所以 E 是 ?ABC 的外心 又 AB ? BC 所以 E 为 AC 的中点 ?????????????9 分 EH ? DF 过E作 于 H ,则由(Ⅰ)知 EH ? 平面 DAB 所以 ?EBH 即为 BE 与平面 DAB 所成的角?????????????12 分
? 由 AC ? 4 , ?BAC ? 60 得 DE ? 2 , EF ? 3

C

所以 DF ? 7 , EH ? 所以 sin ?EBH ? 解法二:

2 3 7
?????????????15 分

EH 21 ? BE 7

如图建系,则 A(0,?2,0) , D(0,0,2) , B( 3,?1,0)
数学(文科)试题 第 6 页(共 4 页)

数学(文科)试题

所以 DA ? (0,?2,?2) , DB ? ( 3,?1,?2) 设平面 DAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) 由?

??????????????9 分

? ?n ? DA ? 0 ? ?n ? DB ? 0

得?

?? 2 y ? 2 z ? 0 ? 3x ? y ? 2 z ? 0

,取 n ? (

3 ,?1,1) 3

??????12 分
z D

设 EB 与 n 的夹角为 ? 所以 cos? ?

EB ? n | EB | ? | n |

?

2 7 2 3

?

21 7

A F B x

E

C

y

21 所以 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值为 ????????????15 分 7
19. (本题 15 分) 解: (Ⅰ)设 D ( x, y )

? AD ? 2 AB? B 为 AD 的中点????1 分 y y 则 A( ? x,0), B (0, ) ??????????3 分 2 y y B ? AB ? ( x, ), BF ? (1,? ) ??????4 分 2 2 y2 ? AB ? BF ? x ? ? 0( x ? 0) 即 y 2 ? 4x( x ? 0) ??7 分 A O F 4 2 2 1 y y (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? b , P( 1 , y1 ),Q( 2 , y2 ) , y1 ? y2 2 4 4 1 ? ?y ? x ? b 联立方程组 ? 分19 题图 ? y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 ?????????????8第 2 ? y 2 ? 4x ? 则 y1 ? y2 ? 8, y1 y2 ? 8b ? 0, ? ? 64 ? 32b ? 0 ????????????9 分 则0 ? b ? 2 y 4 4 4( y1 ? y2 ) 32 ?????????11 分 ? k1 ? 1 ? , k2 ? ? k1 ? k2 ? 2 y1 y2 y1 y2 y1 y1 y2 4 ? y1 ? 0, y2 ? 0? y1 ? y2 ? 2 y1 y2 则 0 ? y1 y2 ? 16 当且仅当 y1 ? y2 时,取等号,但 y1 ? y2 ???????13 分 ? 0 ? y1 y2 ? 16 ? k1 ? k2 ? 2 ? k1 ? k2 的取值范围为 (2,??) ???????????????????15 分

D

x

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第 7 页(共 4 页)

数学(文科)试题

20. (本题 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? ?
2 ? ? x ? tx, x ? 0 ,?????????????????????1 分 2 ? ? x ? tx , x ? 0 ?

当 t ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 [ ,?? ), ( ?? ,0) ,单调减区间为 [ 0, ] ?????4 分 当 t ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??,??) ??????????????????5 分 当 t ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 [0,??) , ( ??, ] ,单调减区间为 [ ,0) ????8 分

t 2

t 2

t 2

t 2

(Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? ?

? x 2 ? (t ? 1) x 2 ?? x ? (t ? 1) x

x ? [0,2] x ? [?1,0]

x ? [0,2] 时,?

t ?1 t ?1 (t ? 1)2 ? (0,2) ,? g min ( x) ? g ( )?? ????????9 分 2 2 4

x ? [?1,0] 时,? g (?1) ? ?t , g (0) ? 0? gmin ( x) ? ?t ??????10 分

? (t ? 1) 2 ? 1 ?? ? a 成立,即 ?? ? a ?????????13 分 故只须 ? t ? (0,2) ,使得: ? ? 4 4 ? ? ? t ? a ? ? 0?a
所以 a ? ?

1 ???????????????????????????????14 分 4

另解:

t ? x | x | ? x, t ? (0, 2) ????????9 分 设 h(t ) ? f ( x) ? x ? ? | x |?
只须 h(t )max ? a, 对x ?[?1, 2] 都成立。????????10 分 则只须 h(0) ? x | x | ? x ? a, 对x ?[?1, 2] 都成立。????????12 分 再设 m( x) ? x | x | ? x, x ?[?1, 2] ,只须 m( x)min ? a ,易求得 a ? ?

1 ????????14 分 4

命题教师: 林世明 戴海林 胡浩鑫 叶思迁 叶建华 叶事一

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