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数学归纳法1



数 学 归 纳 法(一)

问题1:
1 对于数列?an ? ,已知a1 ? 0,an?1 ? ? n ? 1, 2, 3,...? 2 ? an 计算 a4 , 并推测 a100 ,猜想 an的通项公式.

n?1 猜想 an ? n

你能给出证明过程吗?

问题2:游戏中,要使所

有的骨牌都倒下,要满 足什么条件? 为什么满足这些条件就可以了?

(1)第一块骨牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块 倒下一定导致后一块倒下.
你认为条件(2)的作用是什么?

问题3:你认为证明数列的通项公式是 这 个猜想与多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类 比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?
an ?

n?1 n

多米诺骨牌游戏原理
(1)第一块骨牌倒下;

类比得到证明命题的方法 (1)当n=1时命题成立;

*)时 (2) 假设当 n = k ( k ∈ N (2) 任意相邻的两块骨牌, ( 2)假设第 k块骨牌倒下 , 命题成立,推出当n=k+1时 前一块倒下一定导致后一块 则相邻的第k+1块也倒下. 命题也成立. 倒下

根据(1)和 (2),可知不论 有多少块骨牌都能全部倒下.

根据(1)和(2),可知对所 有的正整数n,命题都成立.

问题1:
1 对于数列?an ? ,已知a1 ? 0,an?1 ? ? n ? 1, 2,...? 2 ? an 计算a4 , 并推测a100 ,猜想an的通项公式.

n?1 猜想 an ? n
你能给出证明过程吗?

问题4:对于一个与正整数有关的命题,如何保证 该命题对于所有的正整数都成立呢?

数学归纳法: (1)( 归纳奠基 (1) ) 证明当n取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立;
(2)( 归纳递推(2) ) 假设当n=k( k ≥ n0 ,k∈N* ) 时 命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 根据(1)和(2),可知命题对任何 n ∈ N*都成立.

注:两个步骤,一个结论,缺一不可

验证n取第一个值 n0时命题成立. 归纳奠基

假设当n=k(k≥n0)时命题成 立,则n=k+1时命题也成立. 归纳递推

对从n0开始的所有正整数n命题都成立

注:两个步骤,一个结论,缺一不可

问题5:数学归纳法为什么能保证命题对于 所有大于或等于n0正整数都成立? n=1


n=2


n=3 n=4 n=5 n=6
真 真 真 真

n=7


……

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …… n=k

n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7

n=k+1 真

例1. 用数学归纳法证明:

1 ?2 ?3 ?
2 2 2

(n ? N )

n(n ? 1)(2n ? 1) ?n ? 6 *
2

练一练 试用数学归纳法证明:

n(n ? 1) * (n ? N ) 1? 2 ? 3 ?? ? n ? 2

000000000000000000000000000000

练一练 试用数学归纳法证明:

证明: (1)当n=1时,左边=12=1, 右边= 2 ? 1 等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即 k (k ? 1) 1? 2 ? 3 ? ? k ? 2 k ( k ? 1) ? (k ? 1) 则 1 ? 2 ? 3 ? ? k ? (k ? 1) ? 2
? k ? ( k ? 1)[( k ? 1) ? 1] ? (k ? 1) ? ? 1? ? 2 ?2 ?

n(n ? 1) * (n ? N ) 1? 2 ? 3 ?? ? n ? 2 1? (1 ? 1)

即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N* 都成立.

练一练 想一想 试用数学归纳法证明:

证明: (1)当n=1时,左边=12=1, 右边= 2 ? 1 等式成立. 归纳假设 , n=k(k∈N*)时等式成立,即 (2)假设当 k (k ? 1) 使用没有 ? 1? 2 ? 3 ? ? k ? 2 ( k ? 1)( k ? 2) 则 1 ? 2 ? 3 ? ? k ? ( k ? 1) ? 2 ( k ? 1)[( k ? 1) ? 1] ? 即当n=k+1时等式也成立. 2 根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N* 都成立.

n(n ? 1) * (n ? N ) 1? 2 ? 3 ?? ? n ? 2 1? (1 ? 1)

小结:
问题6 : (1)数学归纳法可以解决什么类型的问题? 与正整数n有关的命题 (2)使用数学归纳法进行证明时,有哪些步 骤?需要注意什么? ①两个步骤,一个结论,缺一不可 ②必须使用归纳假设

(3)你能感受到数学归纳法的简洁之美吗?
利用递推思想实现有限到无限的证明

作业: 1.课本P96 习题2.3 A组 1,2 2.作业本

课后思考: 已知数列

1 1 1 , , , 1? 2 2 ? 3 3 ? 4
计算 S1 , S2 , S3

1 , , n ? (n ? 1)

,

推测计算 Sn 的公式,并给出证明.



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