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100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——立体几何



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必修 2 立体几何初步 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 重难点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征;柱、锥、台、球的结构特 征的概括. 考纲要求:认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单 物体的结构. 经

典例题:如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的长、宽、高分别是 5cm、4cm、3cm,一只蚂蚁从 A 到 C1 点,沿着表 面爬行的最短距离是多少.

当堂练习: 1.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( A. 六棱锥 B. 六棱台 C. 六棱柱 ) D. 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体

2 下列说法中,正确的是(

)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B. 由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 D.棱柱的各条棱都相等 )

A. 棱柱的侧面可以是三角形 C. 正方体的各条棱都相等

3.一个骰子由 1~6 六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“?”处的数字是(

A. 6

B. 3

C. 1 )

D. 2

4.有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是( A.棱柱 B. 棱锥 C. 棱台 ) C. 五个

D.可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或棱锥

5.构成多面体的面最少是( A.三个

B. 四个

D. 六个 )

6. 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是( A. 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台 B. 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 C. 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台 D. 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台

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7. 甲: “用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形” ;乙: “有一个面是多边形,其余各面都是三角 形的几何体是棱锥”.这两种说法( A.甲正确乙不正确 8.圆锥的侧面展开图是( A.三角形 ) C.甲正确乙正确 D.不正确乙不正确

B.甲不正确乙正确 ) C.

B. 长方形

D.形 ) D.上均不正确

9.将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是( A.圆锥 B.圆柱 ) C.圆台

10.下列说法中正确的是(

A.半圆可以分割成若干个扇形

B.面是八边形的棱柱共有 8 个面

C.直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台 D.截面是圆的几何体,不是圆柱,就是圆锥 11.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是( A.圆锥 B.圆柱 C. 球体 D. 以上都可能 ) D.一个或无穷多个 ) )

12.A、B 为球面上相异两点, 则通过 A、B 可作球的大圆有( A.一个 B.无穷多个 C.零个

13.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,下面的几个截面图中,必定错误的是(

A.

B.

C.

D. .

14.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________, 另一个是 15. 如右图, 四面体 P-ABC 中, PA=PB=PC=2, ? APB= ? BPC= ? APC=30 . 一只蚂蚁 从 A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到 A 点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________. 16.如右图将直角梯形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周,由此形成的 几何体是由简单几何体是___________________. 17.边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面, 则从 E 点沿圆柱的 侧面到相对顶点 G 的最短距离是_______________. 18.只有 3 个面的几何体能构成多面体吗?4 面体的棱台吗?棱台至少几个面.
0

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19.棱柱的特点是:(1)两个底面是全等的多边形,(2)多边形的对应边互相平行,(3)棱柱的侧面都是平 行四边形. 反过来,若一个几何体,具备上面三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能作为棱柱的定义吗?

20.如下图几何体是由哪些简单几何体构成的?

21.(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体,三个图形之间 的什么联系? (2)一个含有 30 的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗?如果以底边上的高所在直线为 轴旋转 180 得到什么几何体?旋转 360 又如何?
0 0 0

必修 2

第 1 章 立体几何初步 §1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法

重难点:理解中心投影、平行投影的概念,掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三 视图判断空间几何体的形状和结构,了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程. 考纲要求:①能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上 述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图;

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②会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形 式; ③会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求) ; ④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) . 经典例题:右图是一个多面体的展开图,每个面内都标注了字母,请根据要求回答问题: (1)这个几何体是什么体? (2)如果面 A 在几何体的底部,那么哪一个面会在上面? (3)如果面 F 在前面,从左面看是面 B,那么哪一个面会在 (4)从右边看是面 C,面 D 在后面,那么哪一个面会在上面? 上面?

当堂练习: 1.下列投影是中心投影的是( A. 三视图 ) C. 斜二测画法 D.. 人在中午太阳光下的投影

B. 人的视觉 )

2.下列投影是平行投影的是( A. 俯视图

B. 路灯底下一个变长的身影 D. 以一只白炽灯为光源的皮影 )

C. 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上

3.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则该几何体可能是( A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 ) D. 球和正方体 ) D.球体

4.下列几何体中,主视图、左视图、俯视图相同的几何体是( A. 球和圆柱 B. 圆柱和圆锥 C. 正方体的圆柱

5.一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中,一定含有( A. 四边形 6.如果用 B. 三角形 C. 圆 表示两个立方体叠加,用 ) D.椭圆

表示一个立方体,用

表示三个立方体叠加,那么右图中有 7

个立方体叠成的几何体,从主视图是(

A.

B.

C.

D. ) D. 既不平行也不相等

7.在原来的图形中,两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段( A.平行且相等 8.下列说法中正确的是( B. 平行但不相等 ) C.. 相等但不平行

A . 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B . 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图可能是平行四边形 )

9.如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是(

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A. 直角梯形 B.等腰梯形 C. 不可能是梯形 ) D.. 3 2 ) D.平行四边形

10.如右图所示的直观图,其平面图形的面积为( A. 3 B.
3 2 2

C. 6

11.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,若其直观图的面积是原三角形面积的( A.
1 倍 2

B.2 倍

C. )

2 倍 2

D. 2 倍

12.如右图,直观图所表示的平面图形是( A. 正三角形 B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 直角三角形

13. 如右图, 用斜二测画法作 ? ABC 水平放置的直观图形得 ? A1B1C1, 其中 A1B1=B1C1, A1D1 是 B1C1 边上的中线, 由图形可知在 ? ABC 中,下列四个结论中正确的是( A.AB=BC=AC B. AD ? BC ) D. AC>AD>AB=BC

C. AC>AD>AB>BC

14.主视图与左视图的高要保持______,主视图与俯视图的长应_________, 俯视图与左视图的宽度应_________. 15.如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有 ___________________(写出两个几何体即可). 16.一个水平放置的正方形的面积是 4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是 ________________. 17.斜二测画法所得的直观图的多边形面积为 a , 那么原图多边形面积是_____________. 18.如图是由小立方块描成几何体同的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,请画 出它的主视图和左视图.

19.画出如图的三视图(单位:mm).

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20.已知斜二测画法得得的直观图 ? A B C 是正三角形,画出原三角形的图形.
/ / /

21.如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何可以找到坐标为( a, b) 的点 P 在直 观图中的位置 P ?
/

必修 2

第 1 章 立体几何初步 §1.2 点、线、面之间的位置关系

考纲要求:①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

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◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

§1.2.1 平面的基本性质 重难点:理解平面的概念及表示,掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号 语言. 经典例题: 如图,设 E,F,G,H,P,Q 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1
E D' A' Q A F B' C' G C P H B

所在棱上的中点,求证:E,F,G,H,P,Q 共面.

D

当堂练习: 1.下面给出四个命题: ①一个平面长 4m, 宽 2m; ②2 个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面 积是 25m ; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( A. 0 B.1 C.2 D.3 )
2



2.若点 N 在直线 a 上,直线 a 又在平面 ? 内,则点 N,直线 a 与平面 ? 之间的关系可记作( A.N ? a ?? B.N ? a ? ? C.N ? a ? ? ) D. 无法确定 ) D.N ? a ??

3. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数为( A.0 B.1

C.1 或 4

4. 空间 四点 A,B,C,D 共面但不共线,则下面结论成立的是( A. 四点中必有三点共线 C.AB,BC,CD,DA 四条直线中总有两条平行 5. 空间不重合的三个平面可以把空间分成( A. 4 或 6 或 7 个部分 6.下列说法正确的是( )

B. 四点中必有三点不共线 D. 直线 AB 与 CD 必相交

B. 4 或 6 或 7 或 8 个部分 C. 4 或 7 或 8 个部分 D. 6 或 7 或 8 个部分 )

①一条直线上有一个点在平面内 , 则这条直线上所有的点在这平面内 ; ②一条直线上有两点在一个平面 内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段 AB ? ? , 则线段 AB 延长线上的任何一点一点必在平面 ? 内; ④ 一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.

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A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ )

7.空间三条直线交于同一点,它们确定平面的个数为 n,则 n 的可能取值为( A. 1 B.1 或 3 C.1 或 2 或 3 )

D.1 或 4

8.如果 a ? ? , b ? ? , ? ? a ? A, ? ? b ? B, 那么下列关系成立的是( A. ? ? ? B. ? ?? C. ? ?? ? A )

D. ? ?? ? B

9.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( A.7 个 B.6 个 C. 5 个 )

D.4 个

10.两个平面重合的条件是它们的公共部分有( A.两个公共点 B.三个公共点

C.四个公共点 )

D.两条平行直线

11.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( A. 1 或 3 个 B.1 或 4 个

C.1 个、3 个或 4 个 )

D. 1 个、2 个或 4 个

12.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( A.1 个 B.1 个或 2 个

C.1 个或 3 个

D.3 个 )

13.空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF ? GH=P,则点 P(

A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC 上 C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上也不在直线 BD 上 14.设平面 ? 与平面 ? 交于直线 ? , 直线 a ? ? , 直线 b ? ? , a ? b ? M , 则 M_______ ? . 15.直线 AB、AD ? ? ,直线 CB、CD ? ? ,点 E ? AB,点 F ? BC,点 G ? CD,点 H ? DA,若直线 HE ? 直线 FG=M, 则点 M 必在直线___________上. 16.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 为 AA1、C1D1 的中点,过 D、M、N 三点的平面与直线 A1B1 交于 点 P,则线段 PB1 的长为_______________. 17.如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 BD1 与过 A1、D、 C1 的平面交于点 M,则 BM:MD1=________________. (16 题) (17 题)

18.如图,E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 交于点 O. 求证:B、D、O 三点共线.
A

E D B F

H O G C

19.证明梯形是平面图形.

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20.已知: 直线 a || b || c , 且直线 ? 与 a, b, c 都相交. 求证: 直线 a, b, c, ? 共面.

21.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 A1C 交平面 ABC1D1 于点 M , 试作出点 M 的位置.

必修 2

第 1 章 立体几何初步 §1.2.2 空间两直线的位置关系

重难点:理解异面直线的概念,能计算异面直线所成角;掌握公理 4 及等角定理. 经典例题:如图,直线 a,b 是异面直线,A、B、C 为直线 a 上三点,D、E、F 是直线 b 上三点,A 、B 、 C 、D 、E 分别为 AD、DB、BE、EC、CF 的中点. 求证: (1) ?A B C = ?C D E ;
' ' '

'

'

'

'

'

C B E' D' C' A A' F E D b a

'

'

'

(2)A 、B 、C 、D 、E 共面.

'

'

'

'

'

B'

当堂练习: 1.若 a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a ,c 的位置关系是( A. 相交、平行或异面 B. 相交或平行 C. 异面 ) D.异面或相交 ) D. 平行或异面

2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( A.异面 B. 相交

C.平行 )

3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A.3 条 B. 4 条

C. 6 条 )

D. 8 条

4.已知 a ,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A. 一定是异面直线 C. 不可能是平行直线 5.下面命题中,正确结论有( ) B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; ② 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等; ③ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ④ 如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.

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A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D.4 个

6.下列命题中正确命题的个数是(

① 两条直线和第三条直线等角,则这两条直线平行; ② 平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; ③ 过空间四边形 ABCD 的顶点 A 引 CD 的平行线段 AE, 则 ? BAE 是异面直线 AB 与 CD 所成的角; ④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形. A. 0 B. 1 C. 2
? =c,则直线 c(

D. 3 )

7.已知异面直线 a,b 分别在 ? , ? 内,面 ? A.一定与 a,b 中的两条都相交 C.至多与 a,b 中的一条都相交 8.两条异面直线所成的角指的是( )

B.至少与 a,b 中的一条都相交 D.至少与 a,b 中的一条都平行

①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直 角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④ 两条直线既 不平行又不相交, 无法成角. A.①② B.②③ C.③④ D.①④

9.空间四边形 ABCD 中, AB、BC、CD 的中点分别是 P、Q、R , 且 PQ=2 , QR= 5 , PR=3 ,那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是( A. 90
0

) B. 60
0

C. 45

0

D.30 )

0

10.直线 a 与直线 b、c 所成的角都相等, 则 b、c 的位置关系是( A.平行 B.相交 C. 异面

D. 以上都可能
0

11.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC 和 BD 的长分别为 6 和 4,它们所成的角为 90 ,则四边形两组对边 中点的距离等于( A.
13

) B.
5

C. 5

D. 以上都不对

12.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,E,F,G,H,M,N 分别是所在棱的中点, 则下列结论正确的是( )
D1 A1

A.GH 和 MN 是平行直线;GH 和 EF 是相交直线 B.GH 和 MN 是平行直线;MN 和 EF 是相交直线 C.GH 和 MN 是相交直线;GH 和 EF 是异面直线
A

M G
B1

C1

N C

D E

H F B

D.GH 和 EF 是异面直线;MN 和 EF 也是异面直线 13. 点 A 是等边三角形 BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a, E、 F 分别在 AB、 CD 上, 且 设 f (? ) ? ? ? ? ? ? , ? ? 表示 EF 与 AC 所成的角, ? ? 表示 EF 与 BD 所成的角,则( A. f (? ) 在 (0,??) 上是增函数 C.
f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,?? ) 上是减函数

AE CF ? ? ? (? ? 0) , EB FD



B. f (? ) 在 (0,??) 上是增函数 D. f (? ) 在 (0,??) 上是常数

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14 .直线 a 、 b 不在平面 ? 内, a 、 b 在平面 ? 内的射影是两条平行直线,则 a 、 b 的位置关系是 _______________________. 15.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、CC1、C1D1、D1A1 的中点,则四边形 EFGH 的形状是 ___________________. 16.空间四边形 ABCD 中, AD=1 , BC= 3 , BD= 角为__________________. 17.已知 a ,b 是一对异面直线,且 a ,b 成 70 角, 则在过 P 点的直线中与 a ,b 所成的角都为 70 的直线 有____________条. 18.已知 AC 的长为定值,D ? 平面 ABC,点 M、N 分别是 ? DAB 和 ? DBC 的重心. 求证: 无论 B、D 如何变换位置, 线段 MN 的长必为定值.
0 0

13 2

, AC=

3 2

, 且 AD ? BC , 则异面直线 AC 和 BD 所成的

19.M、N 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、B1C1 的中点,(1)求 MN 与 AD 所成的角;(2)求 MN 与 CD 1 所 成的角.

20.如图,已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC=14cm,BD=14cm,M,N 分别是 AB,CD 的中点,MN=7 3 cm,
A

求异面直线 AC 与 BD 所成的角.
M D B P C N

21.在共点 O 的三条不共面直线 a、b、c 上,在点 O 的同侧分别取点 A 的 A1、B 的 B1、C 和 C1,使得
OA1 OB1 OA1 OC1 . ? , ? OA OB OA OC

求证: ?ABC∽ ? A1B1C1 .

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必修 2

第 1 章 立体几何初步 §1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练运用判定定理 和性质定理外,还要充分利用定义;线面关系的判定和证明,要注意线线关系、线面关系的转化. 经典例题:直角 ? ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC. ⑴求证:点 S 与斜边中点 D 的 连线 SD ? 面 ABC; ⑵若直角边 BA=BC,求证:BD ? 面 SAC.
A D B S

C

当堂练习: 1.下面命题正确的是 ( )

A.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面没有公共点 B.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C.若一条直线与一个平面有公共点,直线与这相交 D.直线在平面外,则直线与平面相交或平行 2.直线 b 是平面 ? 外的一条直线,下列条件中可得出 b|| ? 的是( A.b 与 ? 内的一条直线不相交 C.b 与 ? 内的无数条直线不相交 3.下列命题正确的个数是( ) ) B.b 与 ? 内的两条直线不相交 D.b 与 ? 内的所有直线不相交

①若直线 ? 上有无数个点不在平面 ? 内, 则 ? || ? ; ②若直线 ? 与平面 ? 平行, 则 ? 与平面 ? 内有任意一 条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 ? 与平面 ? 平行, 则 ? 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. A.0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D.3 个

4.下无命题中正确的是(

①过一点 , 一定存在和两条异面直线都平行的平面 ; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ )

5.直线 a,b 是异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( A. 过 A 有且只有一个平面平行于 a,b C. 过 A 有无数个平面平行于 a,b

B. 过 A 至少有一个平面平行于 a,b D. 过 A 且平行于 a,b 的平面可能不存在

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6. 直线 a,b 是异面直线,则下列结论成立的是( )

A. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一个平面与 a,b 平行 B. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 相交 C. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 都平行 D. 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 7.下面条件中, 能判定直线 ? ? 平面 ? 的一个是( A. ? 与平面 ? 内的两条直线垂直 C. ? 与平面 ? 内的某一条直线垂直 )

B. ? 与平面 ? 内的无数条直线垂直 D. ? 与平面 ? 内的任意一条直线垂直 ) D. 90 )
0

8.空间四边形 ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则 AB 与 CD 所成的角为( A. 30
0

B. 45

0

C. 60

0

9.如果直线 ? 与平面 ? 不垂直, 那么在平面 ? 内( A. 不存在与 ? 垂直的直线 C. 存在无数条与 ? 垂直的直线

B. 存在一条与 ? 垂直的直线 D. 任意一条都与 ? 垂直

10.定点 P 不在 ? ABC 所在平面内, 过 P 作平面 ? , 使 ? ABC 的三个顶点到平面 ? 的距离相等, 这样的平 面共有( A. 1 个 ) B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

11. ? ABC 所在平面外一点 P, 分别连结 PA、PB、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有( A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
S

12.下列四个命题:①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直;②若一条直 线和平面内的无数多条直线垂直,则这条直线和平面垂直;③仅当一条直线和平面 内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂直;④若一条直线平行于一个 平面,则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是( A.0 B. 1 C. 2 D. 3 )
D G1 E G2 G3 G F

13.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现

沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结论: (1) SG ? 平面 EFG; (2)SD ? 平面 EFG; (3)GF ? 平面 SEF; (4)EF ? 平面 GSD; (5)GD ? 平面 SEF. 正确的 是( ) B. (2)和(5) D. (2)和(4)

A. (1)和(3) C. (1)和(4)

14.若直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行, 则 a 与 ? 的关系为_____________. 15 . 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , M ? AB , N ? AD , 若 __________________. 16.? ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 ? 的距离分别为 2cm、3cm、4cm ,且它们在平面 ? 的同一侧, 则 ? ABC 的重心到平面 ? 的距离为________________.
AM MB ? AN ND

, 则 MN 与 平 面 BDC 的 位 置 关 系 是

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17.若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA、OB、OC 的距离分别为 a、b、c,则 OP 的值为______________. 18.已知四面体 ABCD 中,M,N 分别是 ?ABC 和?ACD 的重心, 求证: (1)BD||平面 CMN; (2)MN||平面 ABD.
M B E C F N D A

19.如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, (1)求证:CD||平面 EFGH; (2)求异面直线 AB,CD 所成的角.
B G

A

E F H D

C

20.M,N,P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD 上的点,且 AM:MB=CN:NB=CP:PD. 求证: (1)AC||平面 MNP,BD||平面 MNP; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC.
M A

E

B N C P

D

21. 如图 O 是正方体下底面 ABCD 中心,B1H?D1O,H 为垂足. 求证:B1H ? 平面 AD1C.
A1

D1

C1 B1

H D O A B C

必修 2

第 1 章 立体几何初步 §1.2.4 平面与平面的位置关系

重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练运用判定定理 和性质定理外,还要充分利用定义;线面关系的判定和证明,要注意线线关系、线面关系的转化.

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经典例题:如图,在四面体S-ABC中, SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E. 又 SA=AB,SB=BC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数.

当堂练习: 1.下列命题中正确的命题是( )

①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行; ③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行. A.①和② B.②和③ C.③和④ ) D.②和③和④

2. 设直线 ? ,m,平面 ? , ? ,下列条件能得出 ? || ? 的是( A. ? ? , m ? ? ,且 || ? , m || ? C.
? ? , m ? ? ,且 || m

B. D.

? ? , m ? ? ,且 || m

|| ? , m || ? ,且 || m

3. 命题:①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三 边;③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面. 其中假命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

4.已知 a,b 是异面直线,且 a ? 平面 ? ,b ? 平面 ? ,则 ? 与 ? 的关系是( A. 相交 B. 重合 C. 平行

D. 不能确定

5.下列四个命题:①分别在两个平面内的两直线平行;②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一 条直线必平行于另一平面;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; 果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确命题是( A. ①、② B. ②、④ C. ①、③ D. ②、③ ) ) ④如

6. 设平面 ? || ? , A? ? , B ? ? , C 是 AB 的中点, 当 A、 B 分别在 ? , ? 内运动时, 那么所有的动点 C ( A. 不共面 B.当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才共面

C. 当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D. 不论 A、B 如何移动,都共面
? , ? 是两个相交平面, 7. a ? ? , b ? ? ,a 与 b 之间的距离为 d1, 则 ( ? 与 ? 之间的距离为 d2,



A. d1=d2

B.d1>d2 8.下列命题正确的是(

C.d1<d2 )

D.d1 ? d2

A. 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的 B. 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的 C. 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的 D. 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的 9.对于直线m、n和平面α 、β , 下列能判断α ⊥β 的一个条件是( )

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A. m ? n, m || ? , n || ? C. m || n, n ? ? , m ? ? B. m ? n, ? ? ? ? m, n ? ? D. m || n, m ? ? , n ? ?

10.已知直线l⊥平面α ,直线m ? 平面β ,有下面四个命题: ① ? // ? ? l ? m ② ? ? ? ? l // m ③ l // m ? ? ? ? ④ l ? m ? ? // ? 其中正确的两个命题是( A.①与② B.③与④ C.②与④ ) D.①与③ )

11.设 ? ? ? ? 是直二面角,直线 a ? ? , b ? ? , 且 a 不与 ? 垂直,b 不与 ? 垂直,则( A. a 与 b 可能垂直,但不可能平行 C. a 与 b 不可能垂直,但可能平行 B. a 与 b 可能垂直也可能平行 D. a 与 b 不可能垂直,也不可能平行

12.如果直线 ? 、m与平面α 、β 、γ 满足: ? =β ∩γ , ? //α ,m ? α 和m⊥γ 那么必有( A.α ⊥γ 且 ? ⊥m B.α ⊥γ 且m∥β C. m∥β 且 ? ⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ
D1



13.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界 上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( A.线段 B1C B.线段 BC1 )
A1

C1

B1 P D C B

C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段
A

/ / / 14. 平面 ? || 平面? , ? ABC 和 ? A B C 分别在平面 ? 和平面 ? 内, 若对应顶点的连线共点,则这两个三角形

_______________. 15.夹在两个平行平面间的两条线段 AB、CD 交于点 O,已知 AO=4,BO=2,CD=9,则线段 CO、DO 的长分别 为_________________. 16.把直角三角形 ABC 沿斜边上的高 CD 折成直二面角 A-CD-B 后, 互相垂直的平面有______对.
? , ? , ? 是两两垂直的三个平面, 它们交于点 O, 空间一点 P 到平面 ? , ? , ? 的距离分别是 2cm , 3cm , 6cm , 17.

则点 P 到点 O 的距离为__________________. 18.已知 a 和 b 是两条异面直线,求证过 a 而平行于 b 的平面 ? 必与过 b 而平行于 a 的平面 ? 平行.

A

19. 如图,平面 ? || ? ,线段 AB 分别交 ? , ? 于 M、N,线段 AD 分别交 ? , ?
M

于 C、 D, 线段 BF 分别交 ? , ? 于 F、 E, 若 AM=9, MN=11, NB=15, S ?FMC =78. 求

?

F

C

? END 的面积.
?
E

N D

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20.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点. 求证:平面PAC垂直于平面PBC.

21.如果两个相交平面都和第三个平面垂直,那么它们的交线也和第三个平面垂直.

必修 2

第 1 章 立体几何初步 §1.3 柱、锥、台、球的表面积和体积

考纲要求:了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) ;会求一些简单几何体 的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积和体积的运用. 重难点:了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式,会求一些简单几何体的表面积和体积,体会积 分思想在计算表面积和体积的运用. 经典例题:在三棱柱 ABC—DEF 中,已知 AD 到面 BCFE 的距离为 h,平行四边形 BCFE 的面积为 S. 求:三棱柱的体积V.

当堂练习: 1. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 AB=3, AD=2, CC1=1, 一条绳子从 A 沿着表面拉到点 C1, 绳子的最短长度是 ( )

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A. 13 +1 B. 26 C. 18 D. 14 ) D.12R
2

2.若球的半径为 R,则这个球的内接正方体的全面积等于( A.8R
2

B. 9R

2

C.10R

2

3. 边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面, 则从 E 点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离是 ( A. 10cm B. 5 2 cm C. 5 ? 2 ? 1 cm D.
5 2



? ? 4 cm
2

4.球的大圆面积扩大为原大圆面积的 4 倍,则球的表面积扩大成原球面积的( A.2 倍 B. 4 倍 C. 8 倍 D.16 倍



5.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( A.1 倍
2



B.2 倍

C.1

4 倍 5

D.1

3 倍 4

6.正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( A.



?a 2
3

B.

?a 2
2

C.

D. )

7.两个球的表面积之差为 48 ? ,它们的大圆周长之和为 12 ? ,这两个球的半径之差为( A.4 B. 3 C. 2 D. 1

8.已知正方体的棱长为 a,过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去 8 个角,则剩余部分的体积是 ( A. )
1 3 a 2

B.

2 3 a 3

C.

5 3 a 6

D.

11 3 a 12

9.正方形 ABCD 的边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个三棱锥,使 B,C,D 三 点重合,那么这个三棱锥的体积为( A.
1 8

) C.
2 24

B.

1 24

D.

5 48

10.棱锥 V-ABC 的中截面是 ? A1B1C1,则三棱锥 V-A1B1C1 与三棱锥 A-A1BC 的体积之比是( A.1:2 B. 1:4 C.1:6 ) D. 1:256 ) D. 8 : 27 D.1:8



11. 两个球的表面积之比是 1:16,这两个球的体积之比为( A.1:32 B.1:24 C.1:64

12.两个球的体积之比为 8:27,那么,这两个球的表面积之比为( A.2:3 B.4:9 C. 2 : 3

13.棱长为 a 的正方体内有一个球,与这个正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为( A. 4 ?a
3



B.

?
4

a3

C.

2 3

?a

3

D.

2 4

?a

3

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14.半径为 R 的球的外切圆柱的表面积是______________. 15.E 是边长为 2 的正方形 ABCD 边 AD 的中点,将图形沿 EB、EC 折成三棱锥 A-BCE(A,D 重合) , 则此三 棱锥的体积为____________. 16.直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 的体积是 V,D、E 分别在 AA? 、 BB ? 上,线段 DE 经过矩形 AB B ?A? 的中心, 则四棱锥 C-ABED 的体积是________________. 17. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋 转体的体积是________________. 18.圆锥的底面半径为 5cm, 高为 12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积 有最大值?最大值是多少?

19.A、B、C 是球面上三点,已知弦 AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平面 ABC 与球心 O 的距离恰好为球半 径的一半,求球的面积.
A B O1 C

O

20.圆锥轴截面为顶角等于 120 的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为 8, 求这圆锥的全面积 S 和体 积 V.

0

21.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, E、F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1-EBFD1 的体积.

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必修 2

第 1 章 立体几何初步单元测试

1. l1 ∥ l 2 ,a,b 与 l1 , l 2 都垂直,则 a,b 的关系是 A.平行 B.相交 C.异面
0

D.平行、相交、异面都有可能

2.异面直线 a,b,a⊥b,c 与 a 成 30 ,则 c 与 b 成角范围是 A.[60 ,90 ]
0 0

B.[30 ,90 ]

0

0

C.[60 ,120 ]

0

0

D.[30 ,120 ]

0

0

3.正方体 AC1 中,E、F 分别是 AB、BB1 的中点,则 A1E 与 C1F 所成的角的余弦值是 A.
1 2

B.

2 2

C.

2 5

D.

21 5

4.在正△ABC 中,AD⊥BC 于 D,沿 AD 折成二面角 B—AD—C 后,BC= A.60
0

1 AB,这时二面角 B—AD—C 大小为 2

B.90

0

C.45
0

0

D.120

0

5.一个山坡面与水平面成 60 的二面角,坡脚的水平线(即二面角的棱)为 AB,甲沿山坡自 P 朝垂直于 AB 的方向走 30m,同时乙沿水平面自 Q 朝垂直于 AB 的方向走 30m,P、Q 都是 AB 上的点,若 PQ=10m,这时 甲、乙 2 个人之间的距离为 A. 20 7m B. 10 10m C. 30 3m D. 10 19m

6.E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方形 折成直二面角如图,则∠BOD= A.135
0

B.120

0

C.150

0

D.90

0

7.三棱锥 V—ABC 中,VA=BC,VB=AC,VC=AB,侧面与底面 ABC 所成的二面角分别为α ,β ,γ (都是锐 角) ,则 cosα +cosβ +cosγ 等于 A.1 B.2 C.
1 2

D.

3 2

8.正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为α ,侧面与底面所成的角为β ,tanα ∶tanβ 等于 A. sin

? n

B. cos

? n

C. sin

2? n

D. cos

2? n

9.一个简单多面体的各面都是三角形,且有 6 个顶点,则这个简单多面体的面数是 A.4 B.6 C.8 D.10

10.三棱锥 P—ABC 中,3 条侧棱两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,△ABC 的面积为 S,则 P 到平面 ABC 的距 离为 A.
abc S

B.

abc 2S

C.

abc 3S

D.

abc 6S

11.三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点,且满足 AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体 积是 A. V
2 1

B. V
3

1

C. V
4

1

D. V
3

2

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12.多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 多面体的体积为 A.
9 2

3 ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该 2

B.5

C.6
0

D.

15 2
0

13.已知异面直线 a 与 b 所成的角是 50 ,空间有一定点 P,则过点 P 与 a,b 所成的角都是 30 的直线有 ________条. 14.线段 AB 的端点到平面α 的距离分别为 6cm 和 2cm,AB 在α 上的射影 A’B’的长为 3cm,则线段 AB 的 长为__________. 15.正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________. 16.如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形,那么它的面数是__________. 17.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点. 求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H; (3)A1O⊥平面 BDF; (4)平面 BDF⊥平面 AA1C.

18.如图,三棱锥 D—ABC 中,平面 ABD、平面 ABC 均为等腰直角三角形, ∠ABC=∠BAD=90 ,其腰 BC=a,且二面角 D—AB—C=60 . ⑴求异面直线 DA 与 BC 所成的角;⑵求异面直线 BD 与 AC 所成的角; ⑶求 D 到 BC 的距离; ⑷求异面直线 BD 与 AC 的距离.
0 0

19. 如图, 在 60 的二面角α —CD—β 中, AC ? α , BD ? β , 且 ACD=45 , tg∠BDC=2, CD=a, AC= 2 x, BD= 5 x,
0 0

当 x 为何值时,A、B 的距离最小?并求此距离.

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20.如图,斜三棱柱 ABC—A’B’C’中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA’与底面相 邻两边 AB、AC 都成 45 角,求此三棱柱的侧面积和体积.
0

参考答案 第 1 章 立体几何初步 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 经典例题:

长方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面可如上图中三种方法展开, 表面展开后, A 与 C1 两点间的距离分别为

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(3 ? 4) ? 5 ?
2 2

74 ,

(5 ? 3) ? 4 ? 4 5 ,
2 2

(5 ? 4) ? 3 ? 3 10 , 三者比较得 74 为从 A 点沿表面到 C1 点
2 2

的最短距离. 当堂练习: 1.C; 2.C; 3.A; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.D; 9.D; 10.A; 11.B; 12.D; 13.B; 14. 棱锥, 棱台; 15. 沿 PA 将四面体剪开面如右图所示的平面图形, 则 ? APA = 90 , 则最短路程; 16. 是由圆柱和圆锥组合体; 17. 5 ? 2 ? 1 ; 18.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,3 个面还围不成几何体. 3 个面不是一个封闭图形,要 围成封闭几何体必须 4 个面, 4 个面只能是三棱锥, 棱台至少 5 个面.如棱柱、 棱锥、 棱台是特殊的几何体, 3 棱锥有 4 个面,3 棱柱、棱台有 5 个面;4 棱锥有 5 个面,4 棱柱、棱台有 6 个面,依次类推. 19.就棱柱来验证这三条性质,无一例外.能不能找到反例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键. 两摞练 习本,将其适度倾斜,构成如图几何体: (1)两个底面矩形全等; (2)两个矩形的对应边相互平行; (3)几何体的各个面均为平行四边形,但几何体显然不是棱柱. 20. 正四棱台上面放置一个球.
上底半径接近于下底半 径 0 ?????? ?? 圆台 ?上底半径接近于 ????? ? ? 圆锥. 21.⑴圆柱 ??
/ 0

圆柱和圆锥是圆台的特殊情形, 当圆台上下底面半径接近相等时, 圆台接近于圆柱; 当圆台上底半径 接近于零时, 圆台接近于圆锥.



图1

图2

图3

图4
0

图 1、图 2 旋转一周围成的几何体是圆锥, 图 3 是两个圆锥的组合体, 图 4 旋转 180 是两个半圆锥的组合 体, 旋转 360 与图 2 的形状是一样的. 直角三角形绕其直角边旋转一周所围成的几何体是圆锥, 绕斜边旋 转一周所围成的图形是两个圆锥的组合体.
0

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§1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法 经典例题: (1) 长方体; (2) 面 F ; (3)面 E; (4) 面 F (可用一个长方体的橡皮, 按题意标上 A,B,C,D,E,F , 旋

转到适当位置即可是到答案.) 当堂练习: 1.B; 2.A; 3.C; 4.D; 5.C; 6.B; 7.A; 8.D; 9.A; 10.C; 11.A; 12.D; 13.C; 14. 平齐,对正,相等; 15. 圆锥、三棱锥、三棱柱; 16.
2;

17. 2 2a ;

18. 画主视图时,先看俯视图从左至右共几列:共 3 列命名为 A、B、C(命名的目的是为了下文叙述,具体 画图时,可以不命名),并横画连续的三个正方形(如图 1) 接着看各列上的最大数字,A、B、C 三列上, 从上至下分别画 4、3、3 个正方形(包括图 1 中正方形) 如图 2. 画左视图时,假设观察者站在俯视图的左 例。从左至右共 4 列,命名为 M、N、A、B(C),并画连续的 4 个正方形(如图 3),再看 M、N 航班、A、B 列 上的最大数字分别是 3、3、4、3. 并在图 3 对应位工上画正方形,使 M、N、A、B 列上正方形个数为 3、3、 4、3(如图 4).因此,图 2 和图 4 就是所画的主视图和左视图. 19. 三视图如图所在地示(单位:mm).

20.在直角坐标系 xOy 中, 取 OB=O B , OC=O C , OA=2O A , 如图, 连结 ABC 便得到原图.

/ /

/ /

/ /

21.(1)在直角坐标系 xOy 内作 PM ? Ox 于 M, PN ? Oy 于 N. 则 OM=a, ON=b . (2)以坐标系 xOy 中的长度单位为长度单位画 O x 轴,以坐标系 xOy 中 的
1 / / 0 0 / / / / / / / 为长度单位画 O y 轴, 且使 ?x O y =45 (或 135 ). O x 轴和 O y 2
/ / / / / / / / / /

的长度单位 轴确定的平 过 M 作 Oy
/ / /

面为水平平面. (3)在 O x 轴上取 O M =OM=a, 在 O y 轴上取 O N =

1 ON=b. 2

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的平行线, 过 N 作 O x 的平行线,它们的交点就是 P 的对应点 P , 也就是点 P 水平放置后的直观图, 如图.
/ / / /

§1.2.1 平面的基本性质 经典例题: 证明:连接 EF,QG,? E,F,Q,G 分别是 A1D1,D1C1,A1A,C1C 的中点,? EF||A1C1||QG, 同理 FG||EP, 设 E,F,G,Q 确定平面 ? ,F,G,E,P 确定平面 ? ,由于 ? 与? 都经过不共线的三点 E,F,G,故 ? 与? 重 合,即 E,F,G,P,Q 五点共面,同理可证 E,F,G,H,Q 五点共面,故 E,F,G,H,P,Q 共面. 当堂练习: 1.A; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B; 8.A; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. ? ; 15. BD; 16. 17. 2:1; 18.证明:? E? AB, H ? AD , ? E ? 平面ABD, H ? 平面ABD. ? EH ? 平面ABD .
? EH ? FG ? O,? O ? 平面ABD .

3 4

a;

同理可证 O? 平面BCD ,

? O ? 平面ABD ? 平面BCD ? BD ,

即 B、 D、 O

三点共线. 19.证明: AB CD ? AB, CD确定平面?
A ? AB ? ? ? AD ? ? D ? CD ? ?
? 梯形

同理 CB ? ?
ABCD的四条边都在平面?内.所以,梯形ABCD为平面图形.

20.证明: 如图 ,设 ? 与 a, b, c 分别交于 A ,B ,C ,
? ? ? ? ? A,? 经过 ? , a 可确定一个平面 ? . ? a || b,? 经过 a, b 可确定一个平面 ? .

? A ? ? , a ? ? ,? A ? ? ,同理 B ? ? ,则 AB ? ? , 即 ? ? ? .

因经过 a , ? 的平面有且只有一个, ? ? 与 ? 为同一平面.
? b ? ? ,? b ? ? . 同理 c ? ?. 即 a, b, c, ? 共面.

21.解: 连结 D1B , A1B , CD1, 则 D1B 与 A1C 的交点即为所求作的点 M. 证明: ? D1B ? 平面 ABC1D1 , D1B ? 平面 A1BCD1 ,
? 平面 ABC1D1 ? 平面 A1BCD1= D1B.
? A1C ? 平面 ABC1D1=M, ? M ? 平面 AB C1D1, M ? 平面 A1BCD1 ,

? M ? D1B.故 M 为 D1B 与 A1C 的交点.

§1.2.2 空间两直线的位置关系

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经典例题:证明:⑴
? A ' , B '是AD, DB的中点 ? A ' B ' || a ? ' ' ' ' ? ? A B || C D ? ? ' ' ? 同理C D || a ? ? 同理B ' C ' || D ' E ' ?

?A' B 'C '的两边和?C ' D ' E '的两边平行且方向相同 ? ?A' B ' C ' ? ?C ' D ' E ' .



? A ' B ' || C ' D ' ? A ' , B ' , C ' , D ' 共面? ? ' ' ' ? ? ? ? , ?都经过点B , C , D ? 同理B ' , C ' , D ' , E ' 共面? ? ' ' ' ' ' ' ? a, b异面 ? B , C , D 三点不共线 ? 过B , C , D 有且只有一个平面 ?
'

? 平面? , ?重合 ? A

'

、 B 、 C 、

'

'

D 、E 共面. 当堂练习: 1.A; 2.D; 3.C; 4.C; 5.B; 6.B; 7.B; 8.B; 9.A; 10.D; 11.A; 12.B; 13.D; 14. 平行或异面; 15. 等 腰梯形; 16. 90 ; 17. 4; 18.如图, 延长 DM 交 AB 于 F, 延长 DN 交 BC 于 E, ? M、N 为重心,
? F、E 分别为 AB、BC 的中点.
0

'

? EF ||AC 且 EF=

1 AC. 又在 ? DEF 中, DM: MF=DN: NE=2: 1, 2

? MN ||EF 且 MN=
? MN || AC 且 MN=

2 EF , 3 1 AC. 即 MN 为与 BD 无关的定值. 3
D1 L
1

19. 解(1) :在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AD||B1C1 ? B1C1 与 MN 所成的锐角(或直角)是 AB、CD 所成的角 A
M , N 分别是B1 B, B1C1的中点? ?C1 B1 B ? 900 B1C1 ? BB1

C1 B1 N

? ? ? ?NB1M 是等腰直角三角形 ? ?
A

D

M

C

? ? B1NM=450 ?MN 与 AD 所成的角为 450。

B

解(2) :连接 A1B,过 M 在面 A1B 中作 A1B 的平行线交 A1B1 于点 L, 连接 LN, 可以证明D1C || A1 B? ? LM||D1C ? ? LMN(或其补角)即为 MN 与 CD 1 所成的角.
LM || A1 B ? ?

? M是BB1的中点? 1 ? ? L是A1B1的中点 ? LM ? A1 B ? LM || A1 B ? 2 ? ? 1 1 同理MN ? C1 B, LN ? A1C1 ? ? ?LMN是等边三角形. 2 2 ? 可以求得A1 B ? C1 B ? A1C1 ? ? ?

? ? LMN=600 ? MN 与 CD 1 所成的角为 600.
20.解: 取 BC 的中点 P,连接 PM,PN,可证 ? MPN(或其补角)是异面直线 AC 与 BD 所成的角,

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在 ? PMN 中,由 MP=NP=7, MN=7 3 ,可得 cos ? MPN= ? 则异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60 . 21.?
OA1 OA ? OB1 OA1 OC1 OA OB1 OC1 , ? ? , ? 1 ? . OB OA OC OA OB OC
0

1 2

, ? MPN=120 .
0

在平面 OAB 和平面 OAC 中,有 A1B1||AB , A1C1||AC , ? ?BAC ? ? B1A1C1, 同理: ?ABC ? ? A1B1C1, ? ?ABC∽ ? A1B1C1 .

§1.2.3 直线与平面的位置关系 经典例题:证明: (1)
? ? D是Rt ?ABC 斜边AC的中点 ? BD ? AD ? ? ? ? SB ? SA? ? ?SDB ? ?SDA? ? ? ? SD ? SD ? ? ? SD ? BD ? ? ? ? SD ? 平面ABC. ? SA ? SC ? ? ? ? SD ? AC ? ? ? D是AC的中点? ? ? SD ? AC , BD AC ? D ? ?
? ? ? ? BD ? AC ? D是AC的中点? ? (2) ? BD ? SD(已证) ? ? BD ? 平面SAC. SD AC ? D ? ? ? ? BA ? BC

当堂练习: 1.D; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.D; 11.D; 12.A; 13.C; 14. a|| ? 或 a ? ? ; 15. MN|| 平面 BDC; 16. 3cm; 17.

a 2 ? b2 ? c 2 2

;

18. 连接 AM,AN,并延长分别交 BC,CD 于点 E,F,连接 EF,由 M,N 分别是 ?ABC 和?ACD 的重心,得 E, F 分别是 BC,CD 的中点,则 EF||BD,易证得 BD||平面 CMN;由 面 ABD. 19. (1)由四边形 EFGH 是矩形可得,EF||GH,可证得 EF||平面 BCD,又因 CD 是过 EF 的平面 ACD 与平面 BCD 的交线,则 EF||CD,所以 CD||平面 EFGH. (2)由 CD||平面 EFGH,可证得 CD||GH;同理可证 AB||GF; ? FGH 就是异面直线 AB,CD 所成的角(或 补角) ,因为 EFGH 是矩形,所以 ? FGH=90 ,则异面直线 AB,CD 所成的角为 90 .
0 0

AM AC

?

AN AF

?

2 3

,得 MN||EF,可证 MN||平

AM CN ? ? ? MN || AC? MB NB ? 20. 证明: (1) AC ? 平面MNP ? ? AC||平面 MNP, ? MN ? 平面MNP ? ?

CN CP ? ? ? PN || BD? NB PD ? BD ? 平面MNP ? ? BD||平面 MNP. ? PN ? 平面MNP ? ?

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设平面MNP ? 平面ACD ? PE? ? (2) AC ? 平面ACD ? ? PE || AC ,即平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC. ? AC || 平面MNP ?

21. 再找一条与 B1H 垂直的直线 AC,证 AC ? 平面 BB1D1D 即可,又 AC?OD1=O, 因此 B1H ? 平面 AD1C.

§1.2.4 平面与平面的位置关系 经典例题:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD. 而SC∩SA=S, ∴BD⊥面SAC. ∵DE=面SAC∩面BDE, DC=面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA=a, 则AB=a , BC=SB= 2a. 又因为AB⊥BC,所以AC= 3a. 在 Rt?SAC 中,
0 tan ?ACS ? SA ? 3 . ∴∠ACS=30°.又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于 60 .

AC

3

当堂练习: 1.B; 2.C; 3.B; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.C; 9.C; 10.D; 11.C; 12.A; 13.A; 14. 相似; 15. 6、3; 16. 3; 17. 7cm;

18.过 a 作平面 M 交 ? 于 c,则 a||c,则 c|| ? ,又 b|| ? ,b、c 是相交直线(否则 a||b),所以 ? || ? . 19. 解 :

? || ? , 平 面 AND 分 别 与 ? , ? 交 于 MC 、 ND , ? MC||ND , 同 理 MF||NE ,
1

? ?FMC ? ?END , ?

S?END S?FMC
? AN AM

= 2
1 2

EN ? ND ? sin ?END

=
FM ? MC ? sin ?FMC

EN ? ND FM ? MC

.



EN FM

?

BN

? S ?END ?

BM MC BN ? AN BM ? AM



ND

,BN=15,BM=15+11=26,AN=9+11=20,AM=9,

S ?FMC =100.

20. 证明: 设圆O所在平面为α . 由已知条件,PA⊥平面α , 又BC在平面α 内, 因此PA⊥BC. 因此∠BCA 是直角, 因此 BC⊥AC. 而 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的相交直线, 因此 BC⊥△PAC 所在平面. 从而证得△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直. 21. 已知: ?
? ? ,? ? ? , ? ? ? .

求证: ? ? .

证法一(同一法) :在 ? 上取点P作 ? 1 ??
? ? ? ? ,? P ? ? , P ? ? . 又 ? ? ? , ? ? ? ,?
1

? ?,

1

? ? ,?

1

??

?,
??
?
b

而?

? ? , ? ? 1 与 ? 垂直,? ? ? .
?

a

m

n

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证法二:设 ?
? ? m, ? ? ? n, 分别在 ? , ? 内作 a?m, b?n,

且a,b都过所在平面内 ? 外一点, 又 a ? ? , b ? ? ,? a || ? . 证法三:设 ?
? ? m, ?

? ? ? , ? ? ? ,? a ? ? , b ? ? ,? a || b.
? ? ,? a || ,? ??? .
?
m

??
?

又 a ? ? ,?

n b P

a

? ? n, 在 ? 内取一点P,

并在 ? 内过点P分别作m、n的垂线a、b, 又 a ? b ? P, a, b ? ? ,? ??? .

? ? ? , ? ? ? ,? a ? ? , b ? ? ,? ? a, ? b.

§1.3 柱、锥、台、球的表面积和体积 经典例题: 解法一:把三棱柱补成一平行六面体 EFDG—BCAH,可看成以 s 为底,以 h 为高,则体积为
1 sh. VABC-DEF= sh. 这就是用补的方法求体积. 2

解法二:连 DB、DC、BF,把三棱柱分割成三个等体积的三棱锥,如 D—BEF 就是以
1 棱锥,则 VD-BEF= sh, 6 当堂练习:

1 s 为底,高为 h 的三 2

则 VABC-DEF=3 VD-BEF=

1 sh . 2
2

1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6 ? R ; 15.
V 3

3 ; 16. 3

;

17.

48 5

? cm ;
3

18. 如图 ,SAB 是圆锥的轴截面 , 其中 SO=12, OB=5. 设圆锥内接圆柱底面半径为 O1C=x , 由 ?SO1C 与
?SOB 相似, 则
SO1 O1C ? SO OB , SO1 ? SO OB , O1C ? 12 5 x.

? OO1=SO-SO1=12-

12 x ,则圆柱的全面积 S=S 侧+2S 底 5
2

=2 ? (12 ?

12 5
2

x ) x ? 2? x ? 2? (12 x ?
2 2

7 5

2 x ). 则当 x ?

20 7

cm 时,S 取到最大值

360 7

? cm .
2

19. 解:? AB +BC =AC , ? ? ABC 为直角三角形, ? ? ABC 的外接圆 O1 的半径 r=15cm, 因圆 O1 即为平面 ABC 截球 O 所得的圆面,因此有 R =(
2

R 2

) +15 ,

2

2

? R =300,? S 球=4 ? R =1200 ? (cm ).
2 2 2

20. 解:设母线长为 ? , 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时,
1 底面半径 r ? 2 3 ,高 h ? 2. 则 S 全= ?r 2 ? ?r? ? 4(3 ? 2 3 )? , V ? ?r 2 h ? 8? . 3

1 2 ? ? 8,? ? ? 4, 2

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EB ? BF ? FD1 ? D1 E ? a 2 5 2 a ?( ) ? a, ? 四 棱 锥 A1-EBFD1 的 底 面 是 菱 形, 连 接 EF , 则 2 2

21. 解 :

?EFB ? ?EFD 1 , ?V A1 ? EFB ? V A1 ? EFD1 ,? CC1 || 平面 ABB1A1,

? 三棱锥 F-EBA1 的高是 CC1 到平面 AB1 的距离,即棱长 a,
1 1 1 S ?EBA ? 1 A1 E ? AB ? 1 ? a ? a ? 1 a 2 . ? V A ? EFB ? VF ? EBA ? ? a 2 ? a ? a 3 . 3 4 12 2 2 2 4
1

1

1

?V A ? EBFD ? 2V A ? EFB ?
1 1 1

1 3 a . 6

立体几何初步单元测试 1.D; 2.A; 3.C; 4.A; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5 或 73 ; 15. ( 16. 偶数; 17. 解析: ⑴欲证 EG∥平面 BB1D1D, 须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线, BEGO’及辅助直线 BO’,显然 BO’即是。 ⑵按线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行的思路,在平面 B1D1H 内寻找 条关键的相交直线,转化为证明:B1D1∥平面 BDF,O’H∥平面 BDF ⑶A1O⊥平面 BDF,由三垂线定理,易得 BD⊥A1O,再寻 A1O 垂直于平
2 2 2

n?2 n

?,? ) ;

构造辅助平面

B1D1 和 O’H 两

面 BDF 内的另

一条直线。猜想 A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得:A1O +OF =A1F ? A1O⊥OF。 ⑷∵ CC1⊥平面 AC∴ CC1⊥BD 又 BD⊥AC∴ BD⊥平面 AA1C 又 BD ? 平面 BDF ∴ 平面 BDF⊥平面 AA1C 18. 解析: (1)在平面 ABC 内作 AE∥BC,从而得∠DAE=60 ∴ DA 与 BC 成 60 角 (2)过 B 作 BF∥AC,交 EA 延长线于 F,则∠DBF 为 BD 与 AC 所成的角 由△DAF 易得 AF=a,DA=a,∠DAF=120 ∴ DF =a +a -2a ·( ?
0 2 2 2 2 0 0

1 2 )=3a 2

∴ DF= 3 a

△DBF 中,BF=AC= 2 a∴ cos∠DBF=

1 1 ∴ 异面直线 BD 与 AC 成角 arccos 4 4

(3)∵ BA⊥平面 ADE∴ 平面 DAE⊥平面 ABC 故取 AE 中点 M,则有 DM⊥平面 ABC;取 BC 中点 N,由 MN⊥BC,根据三垂线定理,DN⊥BC ∴ DN 是 D 到 BC 的距离 在△DMN 中,DM=
3 7 a,MN=a∴ DN= a 2 2

(4)∵ BF ? 平面 BDF,AC ? 平面 BDF,AC∥BF∴ AC∥平面 BDF

又 BD ? 平面 BDF

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1 ∴ AC 与 BD 的距离即 AC 到平面 BDF 的距离∵ VA?BDF ? h ? S?BDF , VA?BDF ? VB?ADF 3


1 1 h ? S ?BDF ? AB ? S ?ADF 3 3
1 1 15 15 2 ? BD ? BF ? sin ?DBF ? ? 2a ? 2a ? ? a 2 2 4 4 1 1 3 3 2 AF ? DM ? a ? a? a 2 2 2 4

S ?BDF ? S ?ADF ?

由h ?

AB ? S ?ADF 5 5 a. ? a ,即异面直线 BD 与 AC 的距离为 5 S ?BDF 5
0

19. 解析:作 AE⊥CD 于 E,BF⊥CD 于 F,则 EF 为异面直线 AE、BF 的公垂段,AE 与 BF 成 60 角,可求得 |AB|= 7x 2 ? 4ax ? a 2 ,当 x=
21 2a a. 时,|AB|有最小值 7 7

20. 解析:在侧面 AB’内作 BD⊥AA’于 D
0

连结 CD
0

∵ AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=45 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=90 ,BD=CD ∴ BD⊥AA’,CD⊥AA’∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在 Rt△ADB 中,BD=AB·sin45 =
0

2 a 2
a2 4 a 2b 4

∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=( 2 +1)a,△DBC 的面积= ∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=( 2 +1)ab ∴ V= S ?DBC ·AA’=

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外研版,新起 点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五,小六,初 一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学,教学研究,在线教学 ,在线学习, 学习, 测 评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育,中考,高考,中小学, 中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初 复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文 档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科 网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模 拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷

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