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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:11-4]



第十一章 11.4 第 4 课时
高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加 上 60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6 答案 D 解析 平均数增加 60,即为 62.8.

1n 方差=n∑i-1[(ai+60)-( a +60)]2 1n =n∑i-1 (ai- a )2=3.6,故选 D.

2.商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行 统计,其频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( ) A.6 万元 B.8 万元 C.10 万元 D.12 万元 答案 C 0.4 x 解析 由0.1=2.5,得 10 万元,故选 C. 3.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 答案 B 解析 去掉一个最高分 95 与一个最低分 89 后,所得的 5 个数分别为 90、90、 93、94、93, 90+90+93+94+93 460 所以 x = = 5 =92, 5 2×?90-92?2+2×?93-92?2+?94-92?2 14 S2= = 5 =2.8,故选 B. 5 4.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x

A和

x B,样本标准差分别为 SA 和 SB,则(

)

A. x A> x B,SA>SB C. x A> x B,SA<SB

B. x A< x B,SA>SB D. x A< x B,SA<SB

答案 B 解析 由图可知 A 组的 6 个数为 2.5,10,5,7.5,2.5,10, B 组的 6 个数为 15,10,12.5,10,12.5,10, 2.5+10+5+7.5+2.5+10 37.5 所以 x A= = 6 , 6 15+10+12.5+10+12.5+10 70 x B= =6. 6 显然 x A< x B, 又由图形可知,B 组的数据分布比 A 均匀,变化幅度不大,故 B 组数据比较 稳定,方差较小,从而标准差较小,所以 SA>SB,故选 B. 5.从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,其茎叶图如图.根据茎 叶图,下列描述正确的是( )

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长 得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长 得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长 得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长 得整齐 答案 D 解析 根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为 27,而乙种树苗的平均高度 为 30,但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中,故 D 正确. 6.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们最大 速度的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31 乙:33,29,38,34,28,36 根据以上数据,判断他们的优秀情况,结论为( ) A.甲比乙更优秀 B.乙比甲更优秀 C.甲、乙一样优秀 D.不确定 答案 B 解析 根据统计知识可知,需要计算两组数据的 x 与 s2,然后加以比较,最

后再做出判断. 1 x 甲=6(27+38+30+37+35+31)=33, 1 x 乙=6(33+29+38+34+28+36)=33, 1 2 2 2 2 2 2 s2 甲= [(27-33) +(38 -33) +(30 -33) +(37-33) +(35 -33) +(31-33) ] = 6 1 6×94. 1 2 2 2 2 2 2 s2 乙= [(33-33) +(29 -33) +(38 -33) +(34-33) +(28 -33) +(36-33) ] = 6 1 6×76.
2 ∴ x 甲= x 乙,s2 甲>s乙,

由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲的方差小, 故乙比甲更优秀. 二、填空题 7.在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形 1 的面积等于其他 10 个小长方形的面积和的4,且样本容量为 160,则中间一组的频 数为________. 答案 32 1 1 x 解析 中间一个占总面积的5,即5=160,∴x=32. 8.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的 视力情况,得到频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后 5 组频数和为 62,设视力为 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a,最大频率为 0.32,则 a 的 值为____.

答案 54 解析 前两组中的频数为 100×(0.05+0.11)=16. ∵后五组频数和为 62, ∴前三组为 38. ∴第三组为 22,又最大频率为 0.32 的最大频数为 0.32×100=32, ∴a=22+32=54. 9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出 的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计算无 误,则数字 x 应该是________.

答案 1 解析 若茎叶图中的 x 对应的分数为最高分,则有平均分 89+89+91+92+92+93+94 = ≈91.4≠91.故最高分应为 94. 7 故去掉最高分 94,去掉最低分 88,其平均分为 91, 89+89+92+93+x+92+91 ∴ =91,解得 x=1. 7 10.在 2008 年第 29 届北京奥运会上,我国代表团的金牌数雄踞榜首.如图 是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图,则这十二个代表团获得 的金牌数据的平均数与中位数的差 m 的值为( ) 5 3 2 1 0 A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 答案 B 1 6 3 9 9 6 8 7 4 7 3 7

11 某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了 100 根棉花纤维的长度 (棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分 布直方图如图所示,则在抽测的 100 根中,有________根棉花纤维的长度小于 20 mm. 答案 30 解析 由题意知, 棉花纤维的长度小于 20 mm 的频率为(0.01+0.01+0.04)×5 =0.3,故抽测的 100 根中,棉花纤维的长度小于 20 mm 的有 0.3×100=30(根). 三、解答题 12.下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况,作抽样调查后画出的 样本频率分布直方图,已知图中第一组的频数为 4000,请根据该图提供的信息解 答下列问题: ( 图中每组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000,1500))

(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数. (2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按 月收入再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析, 则月收入在[1500,2000)的这段 应抽多少人? 解析 (1)∵月收入在[1000,1500)的概率为 0.0008×500=0.4,且有 4000 人, 4000 ∴样本的容量 n= 0.4 =10000; 月收入在[1500,2000)的频率为 0.0004×500= 0.2; 月收入在[2000,2500)的频率为 0.0003×500=0.15; 月收入在[3500,4000)的频率为 0.0001×500=0.05; ∴月收入在[2500,3500)的频率为 1-(0.4+0.2+0.15+0.05)=0.2. ∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为 0.2×10000=2000. (2)∵月收入在[1500,2000)的人数为 0.2×10000=2000, ∴再从 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人, 则月收入在[1500,2000)的这段 2000 应抽取 100×10000=20(人). 13.

从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学 生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一 组[155,160);第二组[160,165)、?、第八组[190,195),上图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、 第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的 身高分别为 x、y,求满足|x-y|≤5 的事件频率. 解析 由频率分布直方图知,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06) ×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9 人, 这所学校高三男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144 人. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04, 人数为 0.04×50=2 人,

设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m, 又 m+2=2(7-m),所以 m=4, 即第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为 0.08,0.06. 频率除以组距分别等于 0.016,0.012,见图.

(3)由(2)知身高在[180,185]内的人数为 4 人,设为 a,b,c,d,身高在[190,195] 的人数为 2 人,设为 A、B. 若 x、y∈[180,185]时,有 ab,ac,ad,bc,bd,cd 共六种情况. 若 x、y∈[190,195]时,有 AB 共一种情况若 x,y 分别在[180,185][190,195]内 时,有 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB 共 8 种情况. 所以基本事件的总数为 6+8+1=15 种. 7 事件|x-y|≤5 所包含的基本事件个数有 6+1=7 种,故 P(|x-y|≤5)=15. 14. 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A.将其与原有的一个优良品种 B 进行对照实验.两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品 种 A : 357,359,367,368,375,388,392,399,400 , 405,412,414,415,421,423,423,427,430, 430,434,443,445,445,451,454 品 种 B : 363,371,374,383,385,386,391,392,394 , 394,395,397,397,400,401,401,403,406, 407,410,412,415,416,422,430 (Ⅰ)完成数据的茎叶图; (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (Ⅲ)通过观察茎叶图, 对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较, 写出统计 结论. 答案 (Ⅰ)

(Ⅱ)由于每个品种的数据都只有 25 个,样本不大,画茎叶图很方便;此时茎 叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况,便于比较,没有任何信息损失,而 且还可以随时记录新的数据. (Ⅲ)通过观察茎叶图可以看出:①品种 A 的亩产平均数(或均值)比品种 B 高; ②品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大,故品种 A 的亩产稳定性较差. 15.某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人), 另外 750 名工人参加过长期培训 (称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B

类分二层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人, 调查他们的生产能力(此处生产能 力指一天加工的零件数). (Ⅰ)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (Ⅱ)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表 1: 生产能 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 力分组 4 8 x 5 3 人数 表 2: [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 生产能力分组 6 y 36 18 人数 (ⅰ)先确定 x,y 再在答题纸上完成下列频率分布直方图,就生产能力而言,A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小? (不用计 算,可通过观察直方图直接回答结论)

(ⅱ)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数, 并估计该工厂工人的生 产能力的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 1 解析 (Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为10,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙 1 1 1 工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为 p=10×10=100. (Ⅱ)(ⅰ)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人应抽查 75 名.故 4+8+ x+5+3=25,得 x=5,6+y+36+18=75,得 y=15. 频率分布直方图如下:

从直方图可以判断,B 类工人个体间的差异程度更小. 4 8 5 5 3 (ⅱ) x A=25×105+25×115+25×125+25×135+25×145=123, 6 15 36 18 x B=75×115+75×125+75×135+75×145=133.8, 25 75 x=100×123+100×133.8=131.1. A 类工人生产能力的平均数, B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能

力的平均数的估计值分别为 123,133.8 和 131.1.

拓展练习·自助餐

1.样本数为 9 的一组数据,它们的平均数是 5,频率条形图如图,则其标准 差等于________.(保留根号) 答案 2 2 解析 由条形图知 2 与 8 的个数相等,且多于 5 的个数, 于是这 9 个数分别为 2,2,2,2,5,8,8,8,8.∵ x =5, 1 ∴s2= [(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8- 9 1 5)2+(8-5)2]=9×8×9=8,∴s=2 2. 2.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频 率分布直方图 ( 如图 ) ,由图中数据可知 a = ________. 若要从身高在 [120,130) , [130,140), [140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动, 则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.

答案 0.030 3 解析 因为直方图中的各个矩形的面积之和为 1,所以有 10×(0.005+0.035 +a+0.020+0.010)=1, 解得 a=0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为 100 ×10×(0.030+0.020+0.010)=60 人.其中身高在[140,150]内的学生人数为 10 人, 18 所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为60×10=3 人. 3.根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: API 级别 状况 0~ 50 Ⅰ 优 51~ 100 Ⅱ 良 101~ 150 Ⅲ1 轻微 污染 151~ 200 Ⅲ2 轻度 污染 201~ 250 Ⅳ1 中度 污染 251~ 300 Ⅳ2 中度 重污染 >300 Ⅴ 重度 污染

对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获得的 API 数据按照区间[0,50], (50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直 方图如图. (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市的某一周至少 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. 3 2 7 8 123 (结果用分数表示,已知 57=78125,27=128,1825+365+1825+9125=9125, 365=73×5) 解析 (1)根据频率分布直方图可知 3 2 7 8 119 x={1-(1825+365+1825+9125)×50}÷ 50=18250. (2)空气质量为 Y 的天数=(Y 对应的频率÷ 组距)×组距×365=100(天). 所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是 119 2 × 50 × 365 = 119( 天 ) 和 18250 365×50×365=100(天). (3)设 A,B 分别表示随机事件“空气质量为良”和“空气质量为轻微污染” , 则事件 A 与 B 互斥. 所以空气质量为良或轻微污染的概率是 119 100 3 P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=365+365=5. 3 设 X 表示该城市某一周的空气质量为良或轻微污染的天数,则 X~B(7,5), 故所求的概率是 2 3 2 6 76653 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-(5)7-7· 5(5) =78125. 4.为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分 层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 165~180 cm 之间的女生中任选 2 人,求至少有 1 人身高 在 170~180 cm 之间的概率. 解析 (1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1

35 =35 人, 样本容量为 70, 所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f=70= 0.5,故由 f 估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 p=0.5. (3)样本中女生身高在 165~180 cm 之间的人数为 10,身高在 170~180 cm 之 间的人数为 4. 设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180 cm 之间的女生中任取 2 人,至少 有 1 人身高在 170~180 cm 之间” , 2 1 1 2 C6 2 C6· C4+ C4 2 则 P(A)=1-C2 =3(或 P(A)= C2 =3). 10 10



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