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山东省临清市高中数学全套教学案数学选修1-1:3.2.1几个常用函数导数


学校: 临清一中 学科:数学 编写人:王延华

3.2.1 几个常用函数导数 课前预习学案
(预习教材 P88~ P89,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如果

y ? f (x) 在点 x 0 可导,则曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为
复习 2:求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? ?y (2)求平均变化率 ? ?x (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim
/

?y ?x ? 0 ?x

=

上课学案 学习目标 1 记住四个公式,会公式的证明过程;
2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.知道变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.

学习重难点:会利用公式求函数导数,公式的证明过程 学习过程 合作探究
探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数

新知: y? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 若 y ? c 表示路 程关于时间的函数,则 y? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

.

反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为
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.

若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y? ? ,可以解释为 探究任务二:在同 一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2x, y ? 3x, y ? 4x 的图象,并根据导数 定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

典型例题
例 1 求函数 y ? f ( x) ?
1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 解析:因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

所以 y? ? lim

?x ?0

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x x ? x ? ?x x
函数 导数

y?

1 x

y? ? ?

1 x2

例 2 求函数 y ? f ( x) ? x 2 的导数

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? 解析:因为 ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x 2 图像(图 3.2-3)上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2x ,说明随着 x
的变化, 切线的斜率也在变化. 另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, 表明: 当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函
2

数 y ? x 增加得越来越快. y ? x 表示路程关于时间的函数, y? ? 2 x 可以解释为某物 若 则
2 2

体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2x .

有效训练
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练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

反思总结

1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同 的.

当堂检测
1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 2 ?(3) ? ( 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ) A.0 B.2 x C.6 D.9 ? 3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜 角为 的点为( ) 4 1 1 1 1 A. (0, 0) B. (2, 4) C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4 1 4. 过曲线 y ? 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 .

,在 t ? 4 时的速度

课后练习学案
1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) .

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2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后, 氡气的剩余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834t ,问氡气的散发速度是多少 ?

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学校: 临清一中 学科:数学 编写人:王延华

3.2.1 几个常用函数导数(教案)
教学目标: 1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式; 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点: 能利用导数公式求简单函数的导数,基本初等函数的导数公式的应用 教学过程: 检查预习情况:见学案 目标展示: 见学案 合作探究: 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数 新知: y? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数 反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y? ? ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2x, y ? 3x, y ? 4x 的图象,并根据导数 定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

典型例题
1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 0 ? 0 ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?c

y? ? 0

若 y? ? 0 表示函数 y ? c 图像上每一点处的切线的斜率都为 0. y ? c 表示路程关于时间的函 数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数

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因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim 1 ? 1 ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?x

y? ? 1

若 y? ? 1 表示函数 y ? x 图像上每一点处的切线的斜率都为 1. y ? x 表示路程关于时间的函 数,则 y? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 3.函数 y ? f ( x) ? x 的导数
2

因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x 2 图像上点 ( x , y ) 处的切线的斜率都为 2x ,说明随着 x 的变化,切
线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来 看,表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x
2 2 2

增加得越来越快.若 y ? x 表 示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释为某物体做变速 运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2x . 4.函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

所以 y? ? lim

?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? ?x x

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函数

导数

y?
5.函数 y ?

1 x

x 的导数

6 推广:若 y ? f ( x) ? x (n ? Q ) ,则 f ?( x) ? nx
n *

n ?1

反思总结
1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是 不同的. 骤:

当堂检测
1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 2 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9 ? 3. 在曲 线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 的点为( ) 4 1 1 1 1 A. (0, 0) B. (2, 4) C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4 1 4. 过曲线 y ? 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 .
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,在 t ? 4 时的速度

板书设计 略 作业 略

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