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17专题十七 同角三角函数的关系式及诱导公式



专题十七

同角三角函数关系式及诱导公式

【考点分析】 从近年的高考试题来看, 同角三角函数基本关系及诱导公式是高考的热点, 题型既有填 空题,又有解答题,难度为中低档题;考查的主要方式有:1、诱导公式在三角式求值、化 简的过程中的运用;2、同角三角函数的关系式的运用。3、同角三角函数关系式及诱导公式 在解三角形中的运用问题。 在考查基本

运算的同时, 注重考查恒等变形能力及等价转化的思 想方法. 【基础再练】 1. 化简:sin2 ? + cos ? sin 2
2

? + cos2 ? cos2 ? =___________.

2. 已知 sinx=

5 ,x 是第二象限角,那么 tanx=___________. 13

3. 点 P (0, 2) 到直线系 M: xcosθ+ (y-2) sinθ=1 中的每条直线的距离是常数___________.
1 ? 2sin 40? cos 40? cos 40? ? 1 ? sin 2 50?

4. 化简:

=

.

【经典导引】 题型一:同角三角函数关系式的应用 【知识回顾】 1. 同角三角函数间的基本关系式 (1) 平方关系: (2) 商数关系: 1 例 1、 已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα= . 5 (1)求 tanα 的值; (2)把

1 用 tanα 表示出来,并求其值. cos ? ? sin 2 ?
2

1

变式:已知 sin(3π+α)=2sin( sin2α.

3? sin ? ? 4 cos ? +α),求下列各式的值:(1) ;(2)sin2α+ 2 5 sin ? ? 2 cos ?

题型二:诱导公式的应用 【知识回顾】 组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ+α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π+α -sinα - cosα tanα 三 -α -sinα cosα - tanα 四 π-α sinα - cosα - tanα 函数名改变 符号看象限 五 六

? -α 2
cosα sinα

? +α 2
cosα -sinα

口诀

函数名不变 符号看象限

注: 诱导公式可概括为

k? 记忆规律是: 奇变偶不变, ? ? (k ? z ) 的各三角函数值的化简公式。 2

? 的奇数倍和偶数倍,则函数名称变为相应的余名函数; 2 若是 偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果 的符号。
符号看象限。其中的奇、偶是指

例 2、化简:

sin(k? ? ? ) cos[( k ? 1)? ? ? ] (k ? Z ) sin[(k ? 1)? ? ? ]cos(k? ? ? )

1 变式: 已知 cos(75° + ? )= ,假设 ? 是第三象限角,求 cos(15° - ? )+sin( ? -15° )的 3 值.

2

题型三:诱导公式三角形中的应用 【知识回顾】 1、三角形 ABC 中∵A+B+C=π,2A+2B+2C=2π, ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC; sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C; sin( cos(

A B C ? ? ? ? , 2 2 2 2

A B ? C C ? )=sin( ? )=cos ; 2 2 2 2 2 A B ? C C ? )=cos( ? )=sin . 2 2 2 2 2

1 例 3.已知在△ABC 中,sinA+cosA= , 5 (1)求 sinA· cosA; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形.

变式:在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2 sin(π-B), 3 cosA=- 2 cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

【策略争分】 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用

sin ? =tanα 可以实现角 cos ?

α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 这三个式子, 利用(sinα± cosα)2=1± 2sinαcosα,可以知一求二. 3.在计算和证明或者化简三角函数问题时,一般还常用到以下技巧: (1)“1”的代换,1 可

? 的值等; (2) 切化弦,是指将正切化成正弦和余弦 4 函数的商; (3) 整体代换,指将算式适当变形使条件可以整体代入或者将条件作适当变 形找出算式之间的关系.
以是 sin2 ? +cos2 ? ,也可以是 tan
3

【强化训练】 1.已知 A=

sin( k? ? ? ) cos( k? ? ? ) + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是 sin ? cos ?

2.已知 f(α)=

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) 31 ,则 f(- π)的值为 3 cos(?? ? ? ) tan?

3.已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=

4.设 cos(π+α)=

3? 3 (π<α< ),那么 sin(2π-α)的值为 2 2

5.已知 sin(π-α)· cos(-8π-α)=

? ? 60 ,且 α∈( , ),试求 sinα 和 cosα 的值. 169 4 2

6.已知 sinα 是方程 5x2-7x-6=0 的根, 求

cos(2? ? ? ) cos(? ? ? ) tan2 (2? ? ? ) tan2 (? ? ? ) . sin(? ? ? ) sin(2? ? ? )

7.(2010· 宁波模拟)已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域和最小正周期;

1 ? sin 2 x (2)若 f(x)=2f′(x),求 的值. cos2 x ? sin x cos x

4



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