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江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析



江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高一上学期 12 月月 考数学试卷
一、填空题: (每题 5 分) 1. (5 分)cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为.

2. (5 分)若

=(3,6) ,

=(1,2) .则

=.

3

. (5 分)函数 f(x)=sinxcosx 的最小正周期是.

4. (5 分)设向量 =(k,2) , =(1,1) ,若 ∥ ,则 k=.

5. (5 分)已知 tanα=3,则 tan(α+

)=.

6. (5 分)设 , 为单位向量,且 ⊥ ,则( + )2 =.

7. (5 分)若 cosθ=﹣ ,θ∈(

,π) ,则 sin(

﹣θ)=.

8. (5 分)与向量 =(3,4)垂直的单位向量为.

9. (5 分)若

= ,则 cosx=.

10. (5 分)函数 y=

的值域是.

11. (5 分)已知

=.

12. (5 分)计算:

=.

13. (5 分)已知 f(x)=sin(x+θ)+

cos(x+θ)为偶函数,则 tanθ=.

14. (5 分)设点 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,且 AC ﹣2AC+AB =0,则 是.

2

2

的范围

二、解答题: 15. (14 分)化简求值: (1) (2)sin50°(1+ 16. (14 分)已知 ; tan10°) . <α<β< ,且 sin(α+β)= ,cos(α﹣β)= .

(1)判断 α﹣β 的范围; (2)用 α+β,α﹣β,表示 2α; (3)求 cos2α 的值.

17. (14 分)已知向量 与 满足| |=4,| |=2,| + |=2 (1)求 (2)求|3 ﹣4 | (3)求( ﹣2 )?( + ) .
2 2



18. (16 分)已知函数 f(x)=cos x+2 (1)求 f( )的值

sinxcosx﹣sin x

(2)求函数的单调增区间 (3)若 x∈,求函数的值域. 19. (16 分)已知向量 =(sinB,1﹣cosB) ,向量 =(2,0) ,且 与 的夹角为 B,C 是△ ABC 的内角. (1)求角 B 的大小; (2)求 sinA+sinC 的取值范围. 20. (16 分)有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形, 即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上(如图所示) ,求这个内接矩形的最大面积. ,其中 A,

江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (每题 5 分) 1. (5 分)cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为 .

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由两角和与差的余弦函数公式化简后即可求值. 解答: 解:cos45°cos15°+sin15°sin45°=cos(45°﹣15°)=cos30°= 故答案为: . .

点评: 本题主要考察了两角和与差的余弦函数,属于基本知识的考查.

2. (5 分)若

=(3,6) ,

=(1,2) .则

=(﹣2,﹣4) .

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用坐标运算法则求解即可. 解答: 解: =(3,6) , =(1,2) .则 = =(﹣3,﹣6)+(1,2)=(﹣2,

﹣4) . 故答案为: (﹣2,﹣4) 点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查. 3. (5 分)函数 f(x)=sinxcosx 的最小正周期是 π. 考点: 二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法.

专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据二倍角的正弦公式,化简可得 f(x)= sin2x,再由三角函数的周期公式即可算 出函数 f(x)的最小正周期. 解答: 解:∵sin2x=2sinxcosx ∴f(x)=sinxcosx= sin2x, 因此,函数 f(x)的最小正周期 T= =π

故答案为:π 点评: 本题给出三角函数式,求函数的周期,着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函 数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识,属于 基础题.

4. (5 分)设向量 =(k,2) , =(1,1) ,若 ∥ ,则 k=2.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析 : 利用向量共线定理即可得出. 解答: 解:∵ ∥ , ∴k﹣2=0, 解得 k=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

5. (5 分)已知 tanα=3,则 tan(α+

)=﹣2.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 将所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后, 将 tanα 的值代入,即可求出值. 解答: 解:∵tanα=3, ∴tan(α+ )= = =﹣2.

故答案为:﹣2. 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式 是解本题的关键.

6. (5 分)设 , 为单位向量,且 ⊥ ,则( + )2 =2.

考点: 平面向量数量积的运算.

专题: 平面向量及应用. 分析: 利用已知条件直接求解即可. 解答: 解: , 为单位向量,且 ⊥ , 则( + )2 =2 ? +2
2

=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力. 7. (5 分)若 cosθ=﹣ ,θ∈(

,π) ,则 sin(

﹣θ)=﹣



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 运用同角的平方关系和两角差的正弦公式,结合特殊角的三角函数值,即可计算得 到. 解答: 解:cosθ=﹣ ,θ∈( 则 sinθ= 则有 sin( = × ﹣θ)=sin ﹣ . = , cosθ﹣cos =﹣ . sinθ ,π) ,

故答案为:﹣

点评: 本题考查两角差的正弦公式的运用,考查同角的平方关系,考查运算能力,属于基 础题.

8. (5 分)与向量 =(3,4)垂直的单位向量为 =(

,﹣ )或(﹣ , ) .

考点: 单位向量;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 设向量的坐标为 =(a,b) ,根据题意, 是单位向量,且与向量 则有 ,解可得 a,b 的值,进而可得答案. =(3,4)垂直,

解答: 解:设这个向量为 根据题意,有 ,

=(a,b) ,

解得:

,或



故答案为: =(

,﹣ )或(﹣ , ) .

点评: 本题考查单位向量的求法,一般先设出向量的坐标,再由题意,得到关系式,求解 可得答案.

9. (5 分)若

= ,则 cosx=



考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用二倍角的正弦函数求出 cos ,然后利用二倍角的余弦函数求解即可. 解答: 解: = ,

可得 cos = . cosx=2cos
2

﹣1=2× .

=



故答案为:

点评: 本题考查二倍角公式的应用,三角函数的化简求值,考查计算能力.

10. (5 分)函数 y=

的值域是.

考点: 余弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 将 y= 解答: 解:由 y= ∵﹣1≤cosx≤1,∴ 转化为 得
2

,利用余弦函数的值域可求 y 的值域. ,
2

,即(1+3y) ≤(2﹣y) ,解得﹣ ≤y≤ .

故答案为. 点评: 本题考查函数的值域,解决的关键是变换变量的位置,考查学生综合分析与应用的 能力,属于中档题.

11. (5 分)已知

=



考点: 两角和与差的正弦函数. 分析: 观察题中角之间的关系, x+ 与 是互补的关系, x+ 与 是互余关系,

这是解题的突破口,用诱导公式求出结论中要用的结果,题目得解. 解答: 解:∵ ∴ ∴ = = = , , ,

故答案为: 点评: 在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外,还有两角和与差公式、倍角 公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积,此外,还有万能公式,在一般的求值或证明三 角函数的题中,只要熟练的掌握以上公式,用一般常用的方法都能解决我们的问题.

12. (5 分)计算:

=



考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用 cos10°=sin80°=sin(60°+20°) ,利用两角和的正弦公式展开,合并即可. 解答: 解:∵2cos10°=2sin80°=2sin(60°+20°)=2( = ∴ , = . )

故答案为: . 点评: 本题考查三角函数的化简求值,难点在于“2cos10°=2sin80°=2sin(60°+20°)”的思考 与转化,属于中档题.

13. (5 分)已知 f(x)=sin(x+θ)+

cos(x+θ)为偶函数,则 tanθ=



考点: 余弦函数的奇偶性;函数奇偶性的性质.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据辅助角公式进行化简,利用函数是偶函数即可得到 θ 的值. 解答: 解:∵f(x)=sin(x+θ)+ cos(x+θ) , ∴f(x)=2=2sin(x+θ+ ∵f(x)=sin(x+θ)+ ∴θ+ = ,即 θ= +kπ)=tan . ) , cos(x+θ)为偶函数, +kπ,k∈Z. = .

∴tanθ=tan( 故答案为:

点评: 本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的图象和性质,要求熟练掌握相应的三 角化简公式.
2 2

14. (5 分)设点 O 是△ ABC 的三边中垂线的交点,且 AC ﹣2AC+AB =0,则 是 二、解答题: 15. (14 分)化简求值: (1) (2)sin50°(1+ ; tan10°) .

的范围

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)原式中的“1”化为 tan45°,利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数 值化简即可求出值. (2 )利用正切化正弦、余弦,然后同分,利用两角和的正弦函数、二倍角公式化简,最后利 用诱导公式求出结果. 解答: 解: (1) (2)sin50°(1+ = tan10°) = = =1 点评: 本题是基础题,考查三角函数的公式的灵活运应,考查计算能力,基本知识的掌握 的熟练程度. = = = =tan(45°﹣15°)=tan30°= ;

16. (14 分)已知

<α<β<

,且 sin(α+β)= ,cos(α﹣β)=



(1)判断 α﹣β 的范围; (2)用 α+β,α﹣β,表示 2α; (3)求 cos2α 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)运用不等式的性质:可加性,注意 α﹣β<0,即可得到; (2)运用相加即可得到; (3)分别求出 α+β,α﹣β 的范围,运用同角的平方关系,再由两角和的余弦公式,计算即可 得到. 解答: 解: (1)由于 即有﹣ <α﹣β<0; <α<β< ,则﹣ <﹣β<﹣ ,且 α﹣β<0,

(2)2α=(α+β)+(α﹣β) ; (3)由于 <α<β< ,则 <α+ β<π, =﹣ =﹣ , =﹣ .

则有 cos(α+β)=﹣ 由﹣ <α﹣β<0,则 sin(α﹣β)=﹣

则 cos2α=cos =cos(α+β)cos(α﹣β)﹣sin(α+β)sin(α﹣β) =(﹣ )× ﹣ =﹣ .

点评: 本题考查三角函数的求值,考查同角的平方关系和两角和的余 弦公式,以及角的变 换,考查运算能力,属于基础题和易错题.

17. (14 分)已知向量 与 满足| |=4,| |=2,| + |=2 (1)求 (2)求|3 ﹣4 | (3)求( ﹣2 )?( + ) .



考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的平方即为模的平方,化简即可得到; (2)运用向量模的平方即为向量的平方,结合(1) ,计算即可得到; (3)由向量的平方即为模的平方,结合(1)的结论,即可得到所求值. 解答: 解: (1)| |=4,| |=2,| + |=2 ,

则(

) =12,即有 =12,解得,
2

2

=12, =﹣4;

即 16+4+2

(2)|3 ﹣4 | =9

+16

﹣24

=9×16+16×4﹣24×(﹣4)=16×19, 则有|3 ﹣4 |=4 ; ﹣2 ﹣

(3) ( ﹣2 )?( + )=

=16﹣2×4﹣(﹣4)=12. 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质,考查向量的平方即为模的平方,考 查运算能力,属于基础题. 18. (16 分)已知函数 f(x)=cos x+2 (1)求 f( )的值
2

sinxcosx﹣sin x

2

(2)求函数的单调增区间 (3)若 x∈,求函数的值域. 考点: 三角函数的最值;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 运用二倍角的正弦和余弦公式、两角和的正弦公式化简 f(x) ,再由特殊角的三角函 数值即可得到(1) ;再由正弦函数的单调增区间,解不等式即可得到(2) ;再由 x 的范围,求 得 2x+ 的范围,结合正弦函数的图象和性质,即可得到所求值域.
2

解答: 解:函数 f(x)=cos x+2 = sin2x+cos2x=2( ) . )=2sin( 2x+ ≤x≤kπ+

sinxcosx﹣sin x

2

sin2x+ cos2x)

=2sin(2x+ (1)f( (2)令 2k 解得,kπ﹣

)=2sin ≤2k

=2; ,k∈Z,

,k∈Z, ,kπ+ ) ,k∈Z;

则函数的单调增区间为(kπ﹣ (3)由 x∈, 得 2x+ ∈,

即有 sin(2x+

)∈,

则函数 f(x)的值域为. 点评: 本题考查三角函数的化简和求值,考查二倍角的正弦和余弦公式及两角和的正弦公 式的运用,考查正弦函数的单调区间和值域的运用,考查运算能力,属于基础题.

19. (16 分)已知向量 =(sinB,1﹣cosB) ,向量 =(2,0) ,且 与 的夹角为 B,C 是△ ABC 的内角. (1)求角 B 的大小; (2)求 sinA+sinC 的取值范围.

,其中 A,

考点: 数量积表示两个向量的夹角;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函 数. 专题: 计算题. 分析: (1)由向量 =(sinB,1﹣cosB) ,向量 =(2,0) ,且 与 的夹角为 ,我们可

以构造一个关于角 B 的三角方程,解方程后,即可求出一个关于 B 的三角函数,结合 B 的取 值范围,即可求出 B 的大小; (2)由(1)的结论,我们可得 ,则 sinA+sinC= ,然后结合 A 的取值

范围,根据正弦型函数的性质,我们即可求出 sinA+sinC 的取值范围 解答: 解: (1)∵ =(sinB,1﹣cosB)与向量 =(2,0)所成角为 ∴ ∴4sin B=2﹣2cosB, 2 即 4(1﹣cos B)=2﹣2cosB, 即(cosB﹣1) (2co sB+1)=0 解得:cosB=1(舍) ,或 cosB=﹣ , 又由 B 为三角形内角, ∴ ; ,
2





(2)由(1)知, ∴ ∴ ∵ ∴ , ,

∴ ∴

, .

点评:

是向量中求夹角的唯一公式,要求大家熟练掌握.函数 y=Asin

(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,最大值或最小值由 A 确定,由周期由 ω 决定,即要求三角函数 的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数,再根据最大值为|A|,最小值为﹣ |A|,周期 T= 进行求解.如果求其在区间上的值域和最值,则要结合图象进行讨论.

20. (16 分)有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形, 即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上(如图所示) ,求这个内接矩形的最大面积.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 计算题. 分析: 本题入手要解决好两个问题, (1)内接矩形的放置有两种情况,如图所示,应该分别予以处理; (2)求最大值问题这里应构造函数,怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量. 解答: 解:如图(1)设∠FOA=θ,则 FG=Rsinθ, 在△ OEF 中, .

又设矩形 EFGH 的面积为 S,那么

=

又∵0°<θ<60°,故当 cos(2θ﹣60°)=1,即 θ=30°时,S 取最大值 如图(2) ,设∠FOA=θ,则 EF=2Rsin(30°﹣θ) ,在△ OFG 中,∠OGF=150°,故 即 FG=2Rsinθ 设矩形的面积为 S.

那么 S=EFFG=4R sinθsin(30°﹣θ) =2R = 又∵0<θ<30°,故当 cos(2θ﹣30°)=1 即 θ=15°时,S 取最大值 ,所以内接矩形的最大面积为 . ,显然,
2

2

点评: 本题关键是如何利用角 θ 表示矩形的长与宽,合理地把长与宽放在三角形中,利用 正弦定理或三角定义来表示.



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