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(理)一轮复习教案第十五章系列4选考部分第5讲 不等式基本性质、含有绝对值的不等式(苏教版)



第5讲

不等式基本性质、含有绝对值的不等式

对应学生 用书P233

考点梳理 1.两个实数大小关系 a>b?a-b>0; a=b?a-b=0; a<b?a-b<0. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:如果 a>b,那么 b<a;如果 b<a,那么 a>b. 即 a>b?b<a. (2)传递性:如果 a>b,b>c,那么 a>c.即 a>b,b>c?a>c. (3)可加性:如果 a>b,那么 a+c>b+c. (4)可乘性:如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,那么 ac<bc. (5)乘方:如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N,n>1). n n (6)开方:如果 a>b>0,那么 a> b(n∈N,n>1). 3.绝对值三角不等式 (1)性质 1:|a+b|≤|a|+|b|. (2)性质 2:|a|-|b|≤|a+b|. (3)性质 3:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 利用以上性质可证明不等式或求不等式的最值. 4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集

不等式 |x|<a |x|>a

a>0 {x|-a<x<a}

a=0 ?

a<0 ? R

{x|x>a 或 x<-a} {x|x∈R 且 x≠0}

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 【助学· 微博】 考查角度解读 重点考查含绝对值不等式的解法,利用含绝对值的重要不等式证明不等式问 题. 解含有绝对值不等式时, 脱去绝对值符号的方法主要有: 公式法、 分段讨论法、 平方法、几何法等. 考点自测 1.(2011· 江苏卷)解不等式 x+|2x-1|<3. 解 ?2x-1≥0, ?2x-1<0, 原不等式可化为? 或? ?x+?2x-1?<3 ?x-?2x-1?<3.

1 4 1 解得2≤x<3或-2<x<2.
? ? ? ? 4 ? ∴原不等式的解集是?x?-2<x<3 ?. ? ? ? ? ?

2.求不等式|2x-1|-|x-2|<0 的解集. 解 法一 原不等式即为|2x-1|<|x-2|,

∴4x2-4x+1<x2-4x+4,∴3x2<3,∴-1<x<1.所求解集为{x|-1<x<1}. 法二 原不等式等价于不等式组

1 ? ? <x<2, ?x≥2, ①? 或②?2 ?2x-1-?x-2?<0, ? ?2x-1+?x-2?<0. 1 ? ?x≤ , 或③? 2 ? ?-?2x-1?+?x-2?<0.

1 1 不等式组①无解,由②得2<x<1,由③得-1<x≤2. 综上得-1<x<1,所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 3.若不等式|x+1|+|x-2|<a 无实数解,求 a 的取值范围. 解 由绝对值的几何意义知|x+1|+|x-2|的最小值为 3,而|x+1|+|x-2|<a 无

解,知 a≤3.

对应学生 用书P234 考向一 含绝对值不等式的解法

【例 1】 (2011· 新课标全国)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. 解 (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2.

由此可得 x≥3 或 x≤-1 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. (2)由 f(x)≤0 得,|x-a|+3x≤0. ?x≥a, ?x≤a, 此不等式化为不等式组? 或? ?x-a+3x≤0 ?a-x+3x≤0, x≥a, ? ? 即? a x≤ ? ? 4 x≤a, ? ? 或? a x≤-2. ? ?

? ? ? ? a ? 因为 a>0,所以不等式组的解集为?x?x≤-2 ?. ? ? ? ? ?

a 由题设可得- =-1,故 a=2. 2 [方法总结] 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法:(1)分段 讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b], (b,+∞)(此处设 a<b)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的 不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点 x1=a 和 x2=b

的距离之和大于 c 的全体,|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. (3)图象法:作出函数 y1=|x-a|+|x-b|和 y2=c 的图象,结合图象求解. x 【训练 1】 解不等式|x+3|-|2x-1|<2+1. 解 -3. 1 ②当-3≤x<2时, x 原不等式化为(x+3)-(1-2x)<2+1, 2 2 解得 x<-5,∴-3≤x<-5. 1 x ③当 x≥2时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<2+1, 解得 x>2,∴x>2.
? ? ? ? ? 2 综上可知,原不等式的解集为?x?x<-5或x>2 ?. ? ? ? ? ?

x ①当 x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<2+1,解得 x<10,∴x<

考向二

绝对值三角不等式的放缩功能

1 1 5 【例 2】 (2012· 江苏)已知实数 x,y 满足:|x+y|<3,|2x-y|<6,求证:|y|<18. 证明 1 因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<3,

1 |2x-y|<6, 2 1 5 5 从而 3|y|<3+6=6,所以|y|<18. [方法总结] 含绝对值不等式的证明, 可考虑去掉绝对值符号, 也可利用重要不 等式|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|进行放缩. 应用绝对值不等式性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件. 【训练 2】 (1)(2011· 江西)对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+ 1|的最大值. (2)(2013· 宝鸡统考)不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立,求实 数 a 的取值范围.



(1)∵|x-1|≤1,∴-1≤x-1≤1,∴0≤x≤2.

又∵|y-2|≤1,∴-1≤y-2≤1,∴1≤y≤3, 从而-6≤-2y≤-2. 由同向不等式的可加性可得-6≤x-2y≤0, ∴-5≤x-2y+1≤1, ∴|x-2y+1|的最大值为 5. (2)由绝对值的几何意义知:|x-4|+|x+5|≥9, 则 log3(|x-4|+|x+5|)≥2,所以要使不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立,则需 a<2.

考向三

含参绝对值不等式的最值问题

【例 3】 设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果对于?x∈R,f(x)≥2,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|,

由 f(x)≥3 得:|x-1|+|x+1|≥3, 法一 由绝对值的几何意义知不等式的解集为
? ? ?. ? ?

? ? ? 3 3 ?x?x≤- 或x≥ 2 2 ? ? ?

法二

不等式可化为

?x≤-1, ?-1<x≤1, ?x>1, ? 或? 或? ?-2x≥3 ?2≥3 ?2x≥3,
? ? ? ? 3 3 ? ∴不等式的解集为?x?x≤-2或x≥2 ?. ? ? ? ? ?

(2)若 a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;

?-2x+a+1 ?x≤a?, 若 a<1,f(x)=?1-a ?a<x<1?, ?2x-?a+1? ?x≥1?,
f(x)的最小值为 1-a;

?-2x+a+1 ?x≤1?, 若 a>1,f(x)=?a-1 ?1<x<a?, ?2x-?a+1? ?x≥a?,
f(x)的最小值为 a-1. 所以对于?x∈R,f(x)≥2 的充要条件是|a-1|≥2, 从而 a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞). [方法总结] 不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集?的 对立面(如 f(x)>m 的解集是空集, 则 f(x)≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题, 此两类问题都可转化为最值问题,即 f(x)<a 恒成立?a>f(x)max,f(x)>a 恒成立 ?a<f(x)min. 【训练 3】 已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围. 解 (1)由 f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3,

又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, ?a-3=-1, 所以? 解得 a=2; ?a+3=5, (2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|, 设 g(x)=f(x)+f(x+5),于是

?-2x-1,x<-3, g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ?2x+1,x>2,
所以当 x<-3 时,g(x)>5; 当-3≤x≤2 时,g(x)=5;当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得 g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范 围为(-∞,5].

对应学生 用书P235 热点突破 38 含绝对值不等式的恒成立问题

重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式. 【示例】 (2012· 苏锡常镇调研)设 a∈R,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1), 5 (1)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤4; 17 (2)求 a 的值,使函数 f(x)有最大值 8 . [审题与转化] 第一步: (1)|f(x)|是一个多项式的绝对值, 所以可以考虑利用绝 对值三角不等式的性质进行放缩,然后再用配方法求解.(2)从 f(x)的最大值为 17 8 入手分析,a<0 时,f(x)在对称轴上取得最值. [规范解答] 第二步:(1)证明 法一 ∵-1≤x≤1,

∴|x|≤1.又∵|a|≤1,∴|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤ |a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|= 1? 5 5 ? -?|x|-2?2+4≤4. ? ? 法二 设 g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.

∵-1≤x≤1,当 x=± 1,即 x2-1=0 时, 5 |f(x)|=|g(a)|=1≤4; 当-1<x<1,即 x2-1<0 时,g(a)=(x2-1)a+x 是单调递减函数. ∵|a|≤1,∴-1≤a≤1, ∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1 ? 1? 5 =-?x-2?2+4; ? ? ? 1? 5 g(a)min=g(1)=x2+x-1=?x+2?2-4. ? ? 5 ∴|f(x)|=|g(a)|≤4. (2)解 当 a=0 时,f(x)=x,当-1≤x≤1 时,f(x)的最大值为 f(1)=1,不满足

题设条件,∴a≠0.

又 f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1, 故 f(1)和 f(-1)均不是最大值, 17 ∴f(x)的最大值 8 应在其对称轴上的顶点位置取得,

? ?-1<-21a<1, ∴命题等价于? 1 17 ? ?f???-2a???= 8 ,
a<0, 1 a < - ? ? 2, 解得? 1 ? ?a=-2或a=-8, ∴a=-2. [反思与回顾] 第三步: 含绝对值不等式的证明题主要分为两类: 一类是比较 简单的不等式,往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见 的不等式证明题, 或利用绝对值三角不等式性质定理: ||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|, 通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式, 往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想, 或利用一元二次方程 的根的分布等方法来证明. 高考经典题组训练 1.(2009· 海南、宁夏卷)如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点, 设 x 表示 C 与原点的距离, y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?



(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30.

?4|x-10|+6|x-20|≤70, (2)依题意,x 满足? ?0≤x≤30. 解不等式组,其解集为[9,23].

∴x∈[9,23]. 2.(2012· 课标全国卷)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.



?-2x+5,x≤2, (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3.

当 x≤2 时,由 f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3,得 2x-5≥3,解得 x≥4. ∴f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时, |x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 3.(2012· 福建卷)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[- 1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈R+,且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9. (1)解 ∵f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m,

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. (2)证明 1 1 1 由(1)知a+2b+3c=1,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 a+2b+3c

1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? =(a+2b+3c)?a+2b+3c?≥? a· + 2b· + 3c· ?2=9. ? ? ? a 2b 3c? 4 . (2012· 辽宁卷 ) 已知 f(x) = |ax + 1|(a ∈ R) ,不等式 f(x)≤3 的解集为 {x| -

2≤x≤1}. (1)求 a 的值; ? ?x ?? (2)若?f?x?-2f?2??≤k 恒成立,求 k 的取值范围. ? ? ?? 解 (1)由|ax+1|≤3,得-4≤ax≤2.

又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,-a≤x≤a,得 a=2. ?x? (2)记 h(x)=f(x)-2f?2?, ? ?

? ?-4x-3,-1<x<-1 2, 则 h(x)=? 1 ? ?-1,x≥-2,
1,x≤-1, ∴|h(x)|≤1,∴k≥1.

对应学生 用书P397

分层训练 A 级 (时间:30 分钟

基础达标演练 满分:60 分)

1.(2013· 佛山质检)求不等式|x+1|+|2x-4|>6 的解集. 解 由题意知,原不等式可化为: ?x≥2 ?-1<x<2 ? 或? ?x+1+2x-4>6 ?x+1-2x+4>6 ?x≤-1 或? , ?-x-1-2x+4>6 解得 x>3 或 x<-1,∴x∈(-∞,-1)∪(3,+∞). 2.(2011· 福建卷)设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解 (1)由|2x-1|<1 得-1<2x-1<1,解得 0<x<1,所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1,所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b- 1)>0,故 ab+1>a+b. 3.(2011· 天津卷改编)已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+ -6,t∈(0,+∞)},求集合 A∩B. 解 |x+3|+|x-4|≤9, 1 t

当 x<-3 时,-x-3-(x-4)≤9,即-4≤x<-3; 当-3≤x≤4 时,x+3-(x-4)=7≤9 恒成立; 当 x>4 时,x+3+x-4≤9,即 4<x≤5. 综上所述,A={x|-4≤x≤5}. 1 又∵x=4t+ t -6,t∈(0,+∞), ∴x≥2 1 1 4t· - 6 =- 2 ,当 t = t 2时取等号.

∴B={x|x≥-2},∴A∩B={x|-2≤x≤5}. 4.(2013· 郑州二检)不等式|x+1|-|x-2|>k 的解集为 R,求实数 k 的取值范围. 解 法一 根据绝对值的几何意义,设数 x,-1,2 在数轴上对应的点分别为

P、A、B,则原不等式等价于 PA-PB>k 恒成立.∵AB=3,即|x+1|-|x-2|≥

-3. 故当 k<-3 时,原不等式恒成立. 法二 令 y=|x+1|-|x-2|,

?-3,x≤-1 则 y=?2x-1,-1<x<2,要使|x+1| ?3,x≥2
-|x-2|>k 恒成立,从图象中可以看出,只要 k<-3 即可. 故 k<-3 满足题意. 5.(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集. (1)证明 f(x)=|x-2|-|x-5|

?-3,x≤2, =?2x-7,2<x<5, ?3,x≥5.
当 2<x<5 时,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3. (2)解 由(1)可知,当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为空集;

当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为 {x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5≤x≤6}. 综上,不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集为 {x|5- 3≤x≤6}. 6.已知不等式|x+1|-|x-3|>a. (1)若不等式有解; (2)不等式的解集为 R; (3)不等式的解集为?,分别求出 a 的取值范围. 解 法一 的差, 即|x+1|-|x-3|=PA-PB. 因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点 P(x)与两定点 A(-1),B(3)距离

由绝对值的几何意义知,PA-PB 的最大值为 AB=4, 最小值为-AB=-4,即-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,a 只要比|x+1|-|x-3|的最大值小即可,故 a<4. (2)若不等式的解集为 R,即不等式恒成立, 只要 a 比|x+1|-|x-3|的最小值还小,即 a<-4. (3)若不等式的解集为?,a 只要不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可,即 a≥4. 法二 由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4. |x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4. 可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,则 a<4; (2)若不等式的解集为 R,则 a<-4; (3)若不等式解集为?,则 a≥4.

分层训练 B 级
实数 a 的取值范围.

创新能力提升

1.(2013· 皖南八校联考)不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,求

解 由绝对值的几何意义易知:|x+3|+|x-1|的最小值为 4,所以不等式|x+ 3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 2.(2011· 陕西卷)若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,求实数 a 的取 值范围.



?-2x+1?x≤-1?, ∵f(x)=|x+1|+|x-2|=?3?-1<x<2?, ?2x-1?x≥2?,

∴f(x)≥3.要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解, ∴|a|≥3,即 a≤-3 或 a≥3. 3. (2012· 苏中三市调研)若关于 x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1 在 R 上的解 集为?,求实数 a 的取值范围. 解 要使不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1 在 R 上的解集为?, 则 a2-2a-1<(|x -1|+|x-3|)min. 又(|x-1|+|x-3|)min=2,∴a2-2a-1<2, 即 a2-2a-3<0,∴-1<a<3.

4.(2012· 南京四校调研)已知一次函数 f(x)=ax-2. (1)当 a=3 时,解不等式|f(x)|<4; (2)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (3)若不等式|f(x)|≤3 对任意 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=3 时,则 f(x)=3x-2, 2 ∴|f(x)|<4?|3x-2|<4?-4<3x-2<4?-2<3x<6?-3<x<2,∴不等式的解集
? ? ? ? 2 ? 为?x?-3<x<2 ?. ? ? ? ? ?

(2)|f(x)|<4?|ax-2|<4?-4<ax-2<4?-2<ax<6,
? ? ? 2 ? 6 ? 当 a>0 时,不等式的解集为?x?-a<x<a ?; ? ? ? ? ? ? ? ?6 ? 2 ? 当 a<0 时,不等式的解集为?x?a<x<-a ?. ? ? ? ? ?

(3)|f(x)|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3 ?ax≤5, ?-1≤ax≤5?? ?ax≥-1. ∵x∈[0,1],∴当 x=0 时,不等式组恒成立; 5 a ≤ ? ? x 当 x≠0 时,不等式组转化为? 1 ? ?a≥-x

.

-1 5 又∵x ≥5, x ≤-1,∴-1≤a≤5 且 a≠0. 5.(2012· 泰州调研)设函数 f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数 y=f(x)的图象;

(2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

?-2x+5,x<2, 解 (1)由于 f(x)=? 则函数 y=f(x)的图象如图所示. ?2x-3,x≥2,

1 (2)由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知,当且仅当 a≥2或 a<-2 时,函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象有交点,故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时,a 的取 ?1 ? 值范围为(-∞,-2)∪?2,+∞?. ? ? 6. (2012· 前黄高级中学期中调研)设函数 f(x)=|x-1|+|x+1|, 若不等式|a+b|-|2a -b|≤|a|· f(x)对任意 a、b∈R 且 a≠0 恒成立,求实数 x 的范围. 解 由 f(x)≥ |a+b|-|2a-b| ,对任意的 a 、 b ∈ R ,且 a≠0 恒成立,而 |a|

|a+b|-|2a-b| |a+b+2a-b| ≤ =3,f(x)≥3, |a| |a| 3 3 即|x-1|+|x+1|≥3,解得 x≤-2,或 x≥2,
? ? ? ? 3 3 ? ∴实数 x 的范围为?x?x≤-2或x≥2 ?. ? ? ? ? ?



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