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最新高考数学解题技巧大揭秘 专题7 三角恒等变换与解三角形



专题七 三角恒等变换与解三角形

1.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 5 9

3 ,则 cos 2α=( 3

).

答案:A

[将 sin α+cos α=

3 1 2 两边平方,可

得 1+sin 2α= ,sin 2α=- ,所以(-sin 3 3 3

5 α+cos α)2=1-sin 2α= , 因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0, 所以-sin α+cos 3 α=- 15 5 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)(cos α+sin α)=- ,选 A.] 3 3 ).

1 2.若 tan θ+ =4,则 sin 2θ=( tan θ 1 A. 5 1 C. 3 1 B. 4 1 D. 2
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

1+tan2θ 1 答案:D [∵tan θ+ = =4,∴4tan θ=1+tan2θ, tan θ tan θ 2sin θcos θ 2tan θ 2tan θ 1 ∴sin 2θ=2sin θcos θ= 2 = = = .] sin θ+cos2θ 1+tan2θ 4tan θ 2 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C =( ). 7 A. 25 7 C.± 25 7 B.- 25 24 D. 25

答案:A [因为 8b=5c,则由 C=2B,得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理得 4?2 sin C c 4 7 cos B= = = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2B-1=2×? ?5? -1=25,故选 A.] 2sin B 2b 5 1 4.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 1? 解析 由余弦定理,得 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×? ?-4?,解得 b=4. 答案 4

1.对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角所在范

围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点. 2.对于解 三角形,重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用,通过三 角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学 生分析问题、解决问题的能力以及数 学运算能力.

1.在 三角恒等变换过程中,准确地记忆公式,适当地变换式子,有效地选取公式是解 决问题的关键. 2.在解三角形的试题时,要弄清楚三角形三边、三角中已知什么,求什么,这些都是 解决问题的思维基础,分析题设条件,利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决 问题的关键.

必备知识 ?两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcosβ± cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcosβ?sin αsin β. tan α± tanβ (3)tan(α± β)= . 1?tan αtanβ ?二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.

[来源:Z§xx§k.Com]

(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 1-cos 2α 1+cos 2α (4)降幂公式:sin2 α= ,cos2α= . 2 2 ?正弦定理及其变形 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. ?余弦定理及其推论 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C.

b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C. ?面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2 必备方法 1.“变角”是三角变换的灵魂,因此要注意分析条件与所求之间角的联系,常考察是 否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系.如 2β 与 β 是倍角关系.此外,根据条件与 α+β ? β ?α ? 所求中的角的特点,常要对角进行恰当的配凑,如:β=(α+β)-α, =?α-2? ?-?2-β?, 2 2α=(α+β)+(α-β)等. 2.要充分把握三 角函数的变换规律.三角变换时,需会用“切化弦”“弦化切”“辅 助角”“1 的代换”等技巧,追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一, 其中角的变换是三角变换的核心. 3.在三角形内求值、证明或判断三角形形状时,要用正、余弦定理完成边与角的互化, 一般是都化为边或都化为角,然后用三角公式或代数方法求解,从而达到求值、证明或判断 的目的.解题时要注意隐含条件. 4.解三角形的应用问题时,要将条件和求解目标转化到一个三角形中,然后用正、余 弦定理或三角公式完成求解, 同时注意所求结果要满足实际问题的要求, 还要注意对不同概 念的角的正确理解与应用,如俯角、仰角、方位角、视角等.

利用三角恒等变换进行三角函数 的化简、求值 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂,常考查:①三角恒等变换在化简、求值等方面 的简单应用;②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题,多以解答 题形式出现,难度中档. π? 【例 1】已知函数 f(x)=2cos? ?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10 π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)由 T=10π 可得 ω 的值;(2)化简所给的已知条件,求得 cos α、sin β 的值, 将 cos(α+β)展开,代入数据即可. 解 π? 2π 1 (1)∵f(x)=2cos? ?ωx+6?,ω>0 的最小正周期 T=10π= ω ,∴ω=5.

1 π? (2)由(1)知 f(x)=2cos? ?5x+6?, π? ? 5π? 6 5π 16 而 α,β∈? ?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f(5β- 6 )=17, 5π π 1 6 5α+ ?+ ?=- , ∴2cos?5? 3 ? 6? ? ? 5 5π π 16 1 5β- ?+ ?= , 2cos?5? 6 ? 6? 17 ? ? π? 3 8 即 cos? ?α+2?=-5,cos β=17, 3 4 15 于是 sin α= ,cos α= ,sin β= , 5 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 8 3 15 13 = × - × =- . 5 17 5 17 85 (1)给值求角的本质还是给值求值, 即欲求某角, 也要先求该角的某一三角函 数值. (2)由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求出限定范围内的角. (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系,灵活使用角的变换,如 α=(α+β)-β,α α+β α-β = + 等. 2 2 π π 3π 2 x- ?= ,x∈? , ?. 【突破训练 1】 已知 cos? ? 4? 10 ?2 4 ? (1)求 sin x 的值; π? (2)求 sin? ?2x+3?的值. 解 π 3π? (1)因为 x∈? ?2, 4 ?,

π π π? , , 所以 x- ∈? 4 ?4 2? π? 于是 sin? ?x-4?= π? 7 2 1-cos2? ?x-4?= 10 .

π π x- ?+ ? sin x=sin?? ?? 4? 4?

π? π ? π? π =sin? ?x-4?cos4+cos?x-4?sin 4 = 7 2 2 2 2 4 × + × = . 10 2 10 2 5

π 3π? (2)因为 x∈? ?2, 4 ?, 所以 cos x=- 1-sin2x=- 4?2 3 1- ? ?5? =-5.

24 7 sin 2x=2sin xcos x=- ,cos 2x=2cos2x-1=- . 25 25 π 24+7 3 π π 2x+ ?=sin 2xcos +cos 2xsin =- 所以 sin? . 3? ? 3 3 50 三角函数与解三角形 以三角形为载体,以三角变换为核心,结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个 热点问题.根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键,综合考查 学生逻辑分析和计算推理能力. 【例 2】在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 知 cos A-2cos C 2c-a = . cos B b sin C 的值; sin A

(1)求

1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)根据所给式子和第(1)问式子的特征,采用边化角较为简单;(2)借用第(1) 1 问的结果可知 a、c 间的关系,再结合 cos Β= ,b=2,利用余弦定理可求解. 4 解 则 (1)由正弦定理,设 a b c = = =k, sin A sin B sin C

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = , b ksin B sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以原等式可化为 sin C=2sin A, sin C 因此 =2. sin A

(2)由

sin C =2,得 c=2a. sin A

1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= , 4 1 得 4=a2+4a2-4a2× ,解得 a=1,从而 c=2. 4 1 15 又因为 cos B= ,且 0<B<π,所以 sin B= . 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的 选择.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,在解三角形的试题中 方程思想是主要的数学思想方法,要注意从方程的角度出发分析问题. π π ? 【突破训练 2】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin? ?4+C? 4 π ? -csin? ?4+B?=a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面 积. (1) 证明 π ? ?π ? ?π ? 由 bsin ? ?4+C? - csin ?4+B? = a ,应用正弦定理,得 sin Bsin ?4+C? - sin

π ? Csin? ?4+B?=sin A, sin B? 2 2 ? ? 2 sin B+ 2cos B?= 2, sin C+ cos C -sin C 2 2 ?2 ? ?2 ? 2

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2 (2)解 3π 5π π B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8

π 由 a= 2,A= , 4 asin B 5π asin C π 得 b= =2sin ,c= =2sin , sin A 8 sin A 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin = 2cos · sin = . 2 8 8 8 8 2

易错点拨 第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻,导致丢分,遇到这种情

况时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去. 向量与解三角形的综合考查 解三角形问题常以向量为载体, 解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三 角形中的边角关系,然后再借助解三角形的知识求解,难度中档偏低. π 【例 3】? 在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,A= ,(1+ 3)c=2b. 6 (1)求角 C; → → (2)若CB· CA=1+ 3,求 a,b,c. [审题视点]

[听课记录] π [审题视点] (1)由(1+ 3)c=2b 及 A= 可利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;(2) 6 → → 将向量关系式CB· CA=1+ 3转化为三角形中的边角关系,再利用解三角形的知识求解. 解 b 1 3 sin B (1)由(1+ 3)c=2b,得 = + = , c 2 2 sin C

π 5π 5π ? sin? ?π-6-C? sin 6 cos C-cos 6 sin C 则有 = sin C sin C = 1 3 1 3 + = + , 2tan C 2 2 2

π 得 tan C=1,即 C= . 4 → → (2)由CB· CA=1+ 3,推出 abcos C=1+ 3. π 2 而 C= ,即得 ab=1+ 3, 4 2

? 2 ab=1+ 3, 则有??1+ 3?c=2b, ?sina A=sinc C,
2

?a= 2, 解得?b=1+ 3, ?c=2.

解答这一类问题,首先要保证向量运算必须正确,否则,反被其累,要很好 的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形,方能使问题简捷解答. → → → → → 【突破训练 3】 在△ABC 中,已知 2AB· AC= 3|AB|· |AC|=3BC2,求角 A,B,C 的大 小. 解 设 BC=a,AC=b,AB=c,

→ → → → 由 2AB· AC= 3|AB|· |AC|, 得 2bccos A= 3bc,所以 cos A= 3 , 2

π → → → 又 A∈(0,π),因此 A= ,由 3|AB|· |AC|=3BC2, 6 得 bc= 3a2,于是 sin C· sin B= 3sin2A= 5π 3 ? 所以 sin C· sin? ? 6 -C?= 4 , 3 . 4

?1cos C+ 3sin C?= 3, sin C· 2 ?2 ? 4
因此 2sin C· cos C+2 3sin2C= 3, π? sin 2C- 3cos 2C=0,即 sin? ?2C-3?=0. π 5π π π 4π 由 A= 知 0<C< ,所以- <2C- < , 6 6 3 3 3 π π π 2π 从而 2C- =0,或 2C- =π,即 C= 或 C= , 3 3 6 3 π 2π π π π 2π 故 A= ,B= ,C= 或 A= ,B= ,C= . 6 3 6 6 6 3 正、余弦定理的实际应用 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具,而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问 题 等常常是高考的热点,其主要要求是:会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一 些测量和几何计算有关的实际问题. 【例 4】如图,

渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向 追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 第(1)问实质求 BC;第(2)问运用正弦定理可求解. 解 (1)依题意,∠ BAC=120° ,AB=12,

AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120° =784, 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 14 海里/时. (2)在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120° ,BC=28,∠BCA=α, 由正弦定理,得 AB BC = , sin α sin 120°

3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α= = = , BC 28 14 3 3 所以 sin α 的值为 . 14 (1)三角形应用题的解题要点:解斜三角形的问题,通常都要根据题意,从实 际问题中寻找出一个或几个三角形, 然后通过解这些三角形得出所要求的量, 从而得到实际 问题的解. (2)有些时候也必须注意到三角形 的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形 等.正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的. 【突破训练 4】如图,
[来源:学科网 ]

某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A,B, 观察对岸的点 C,测得∠CAB=75° ,∠CBA=45° 且 AB=100 米. (1)求 sin 75° ; (2)求该河段的宽度. 解 (1)sin 75° =sin(30° +45° )

=sin 30° cos45° +cos 30° sin 45° 6+ 2 1 2 3 2 = × + × = . 2 2 2 2 4 (2)因为∠CAB=75° ,∠CBA=45° ,

所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=60° . AB BC 由正弦定理得 = , sin∠ACB sin∠CAB ABsin 75° 所以 BC= . sin 60°

如图,过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D, 则 BD 的长就是该河段的宽度. 在 Rt△BDC 中, 因为∠BCD=∠CBA=45° , BD sin∠BCD= , BC 所以 BD=BCsin 45° = ABsin 75° · sin 45° sin 60° 100× = 6+ 2 4 2 × 2 3 2



25?6+2 3? 50?3+ 3? = (米). 3 3

50?3+ 3? 答:该河段的宽度为 米. 3

转化与化归在解三角形中的应用 解三角形问题是历年高考的热点, 常与三角恒等变换相结合考查正弦、 余弦定理的应用, 解题的实质是将三角形中的问题转化 为代数问题或方程问题,在此过程中也常利用三角恒 等变换知识进行有关的转化.可以说,三角形问题的核心就是转化与化归. 【示例】已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b -c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. [满分解答] (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C -sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,

所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin? ?A-6?=2. π 又 0<A<π,故 A= .(6 分) 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.(12 分) 老师叮咛:本题较容易,得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转 化的能力.其中,第?1?问利用正弦定理将边化成角,结合三角恒等变换知识整理出角 A.第?2? 问根据三角形的面积公式得到关于 b,c 的等式,再由余弦定理用 a 和角 A 表示出 b,c 的 关系,从而求解. 【试一试】 在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A. (1)求 AB 的值; π 2A- ?的 值. (2)求 sin? 4? ? 解 AB BC (1)在△ABC 中,根据正弦定理, = . sin C sin A

sin C 于是 AB= · BC=2BC=2 5. sin A (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 2 5 cos A= = . 2AB· AC 5 于是 sin A= 1-cos2A= 5 . 5
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

[来源:学科网 ZXXK]

4 从而 sin 2A=2sin Acos A= , 5 3 cos 2A=cos2A-sin2A= . 5 π? π π 2 所以 sin? ?2A-4?=sin 2Acos4-cos 2Asin4= 10 .



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