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高三文科第一轮复习公开课——函数与方程



课题:函数与方程----函数的零点问题
一、教 学 目 标:
1、函数的零点概念(理解) 2、函数零点存在性定理(掌握)

二、知 识 梳 理:
1.函数零点的定义 (1)对于函数 y=f(x) (x∈D),把使__ __成立的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系:方程 f(x)=0 有实数根?

函数 y=f(x)的图象与 有交点?函数 y=f(x)有 . 2.函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数 y=f(x)在区 间 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方程 f(x)=0 的根.

三、直 击 高 考:
1.常设题型:选择题、填空题 2.题目难度:较小或中等 3.考情分析:本考点通常有四种类型的题目: 题型 方法/思想 典型例题 题型一:函数零点(方程的根) 的判断与求解 题型二:函数零点(方程的根) 个数的判断 题型三:已知函数零点(方程的 根)的情况求参数的值(或取值 范围) 本考点是新课标下的新增内容,在 2104 年的全国卷中出现在选择题的最后一题,作为一道压轴题。 而在自主命题的省份中几乎属于必考题。估计本考点命题概率约 30%

四、课 前 自 测:
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点. ( ) (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)· f(b)<0. ( ) (3)若 f(x)在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)f(b)>0,则 f(x)在(a,b)内没有零点.( ) (4)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点. ( ) (5)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个. ( ) 1 (6)函数 f(x)=kx+1 在(1,2)上有零点,则-1<k<- . ( ) 2 3.若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是________. 4.已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上连续不断,由下表知方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是________. x f(x) g(x) -1 -0.677 -0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.890 2 5.980 5.241 3 7.651 6.892

五、课 堂 重 点:
【例 1】 函数零点所在区间的判定 (1)(2014 河北保定调研)函数 f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 2 (2)函数 f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]上 (填“存在”或“不存在”) 零点. 解:

1

【类题通法】判断函数零点所在区间的方法: 1)存在性定理:验证不等式 f(a)· f(b)<0 是否成立; 2)解方程:直接令 f(x)=0 得到方程的根也就是函数的零点,再判断所在区间 【变式训练 1】 (1)设 f(x)=lnx+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 2 (2)(2014 甘肃嘉峪关一中高三六模)函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的区间是( ) x 1 A. ( ,1) B. (1,e-1) C. (e-1,2) D. (2,e) 2 (3) (2013 重庆高考)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+ (x-b)(x-c)+ (x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A. (a,b)和(b,c)内 B. (-∞,a)和(a,b)内 C. (a,b) 和(c,+∞)内 D. (-∞,a)和(c,+∞)内 【听课记录】



【例 2】 函数零点个数的判断 (1)(2012 湖北)函数 f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (2) (2012 北京高考)函数 y ? x 2 ? ( ) x 的零点的个数为( A. 0 解: B. 1 C. 2 D. 3
1



1 2



【类题通法】判断函数零点个数的方法: 1)直接令 f(x)=0 得到方程解的个数,即为零点的个数;(解方程) 2) 若令 f(x)= 0 得到的是一个非常规方程,通常构造成两个熟知函数,进而判断两函数图像交点的个 数.(画图像) 【变式训练 2】 (1)函数 f ( x) ? 2 | log0.5 x | ?1 的零点个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
x



? x2 ? 2 x?0 (2) (2014 福建高考)函数 f ( x) ? ? 的零点个数为 x?0 ?2 x ? 6 ? ln x
【听课记录】

.

2

【例 3】 已知函数零点的情况求参数的取值(或范围) (1) (2014 山东高考)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 , g ( x) ? kx .若方程 f ( x) ? g ( x) 有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( ) 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) 2 2 D. (2, +∞) .

(2) (2015 湖南高考)若函数 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 解:

【类题通法】已知函数零点的情况求参数的取值(或范围),主要利用数形结合的方法确定临界值,进而 求出相应参数的范围。 【变式训练 3】 (1) (2014 河南郑州高三模拟)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 是( ) 1 B. ( ,1) 2 C. [0,1) 1 D. [ ,1) 2

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两零点,则 m 的取值范围 6 ? 2?

A. (0, 1)

(2) (2014 吉林省实验中学高三一模)已知函数 f ( x) ? ? 的实数 m 的取值范围是( A. [0,1) B. (-∞,1) 【听课记录】 ) C. (-∞,1) ? (2,+∞)

?0
x ?e

x?0 x?0

则使函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? m 有零点

D. (-∞,0] ? (1,+∞)

六、课 堂 热 练
2 1、函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点为 2,那么 g ( x) ? bx ? ax 的零点是( 1 1 1 A. 0 ,2 B. 0, C. 0,D. 2, 2 2 2



2、 (2014 北京高考)已知函数 f ( x) ? A. (0, 1) B. (1,2) C. (2,4)

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 零点的区间是( ) x
D. (4, +∞)

?ln x-x2+2x,x>0, ? 3、函数 f(x)=? 的零点个数是________. ? ?4x+1,x≤0

4、已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x-2 的零点为 a,函数 g(x)=ln x+x-2 的零点为 b,则

3

f(a),f(1),f(b)的大小关系为________. 5、(2014· 湖北)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点 的集合为________. 6、已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ex ? m ?1, g ( x) ? x ? (1)若 g ( x) ? m 有零点,求 m 的取值范围;

e2 ( x ? 0) x

(2)确定 m 的取值范围,使得 g ( x) ? f ( x) ? 0 有两个相异实根

七、课 堂 小 结
一、知识要点小结: 1)函数零点的概念; 2)函数零点存在性的判断:存在性定理 3) 二、知识方法小结: 1)数形结合的思想; 2)化归转化思想;

八、下 节 课 预 习
二分法 (1)定义对于区间[a,b]上连续不断的,且 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的 区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; ②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;(ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④.

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【训练 1】(1)根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N), 则 k 的值为________. x 0 1 2 3 -1 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 x+2 (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点 个数是________.

【例 2】 与二次函数有关的零点分布 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零 点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

5

6

【训练 2】(1)已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的取值范 围.

【例 3】 函数零点的应用 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

【训练 3】 已知函数 f(x)=? 则 a 的取值范围是________.

? ?x+1,x≤0, ?x -2x+1,x>0, ?
2

若关于 x 的方程 f 2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的实数解,

【例 4】 函数与方程思想的应用

e2 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围;(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

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2 【训练 4】 (1)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是________. x |2 -1|,x<2, ? ? (2) 已知函数 f(x) = ? 3 若方程 f(x) - a = 0 有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 ,x≥2, ? ?x-1 ________.
x

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