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湖北省襄阳市枣阳市白水中学2015-2016学年高二数学上学期第三次月考试卷(含解析)



2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水中学高二(上)第三次月考 数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.过不重合的 A(m2+2,m2﹣3),B(3﹣m﹣m2,2m)两点的直线 l 倾斜角为 45°,则 m 的 取值为( A.m=﹣1 ) B.m=﹣2 C.m=﹣1 或 2 D.m=l 或 m=﹣2 )

2. 已知圆心 (2

, ﹣3) , 一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上, 则这个圆的方程是 (

A.x2+y2﹣4x+6y=0 C.x2+y2﹣4x﹣6y=0

B.x2+y2﹣4x+6y﹣8=0 D.x2+y2﹣4x﹣6y﹣8=0

3.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1,a2,?aN,其中收入记为正数,支出记 为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白的判断框和 处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )

A.A>0,V=S﹣T

B.A<0,V=S﹣T

C.A>0,V=S+T

D.A<0,V=S+T

4.若根据 10 名儿童的年龄 x(岁)和体重 y(㎏)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重 的回归方程是 y=2x+7,已知这 10 名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5, 则这 10 名儿童的平均体重是( A.17kg B.16kg ) C.15kg D.14kg

1

5. 从 1, 2, 3?20 这 20 个数中任取 2 个不同的数, 则这两个数之和是 3 的倍数的概率为 (



A.

B.

C.

D. ,在∠BAC 内作射线 AM 交 BC

6.如图所示,在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,高 AD= 于点 M,则 BM<1 的概率为( )

A. 7. A.56

B.

C. )

D.

二项展开式中的常数项为( B.112

C.﹣56

D.﹣112

8.如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一球,确认颜色后放回,重复摸取四次,设 X 为取得红球的次数,那么 X 的均值为( A. B. ) C.P(AB)=P(A)P(B|A) D. P (A∩B|A) ) C. D.

9.下列式子成立的是(

A.P(A|B)=P(B|A) B.0<P(B|A)<1 =P(B)

10.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种 颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种 数为( )

A.84
10

B.72
2

C.64
10

D.56 )

11.已知(1+x) =a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x) +?+a10(1﹣x) ,则 a8=(

A.﹣180

B.180

C.45

D.﹣45

2

12.已知随机变量 x 服从二项分布 x~B(6, ),则 P(x=2)=( A. B. C.

) D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 的展开式中常数项为 .

14.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= <k<3.5)= .
2

(c 为常数),k=1,2,3,4,则 P(1.5

15.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 a +b =
2 2

2



16.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母, 若使所有字母既不同行也不同列, 则不同的填法共有 种 (用数字作答)

三、解答题(共 70 分)

17.若 x,y 满足

,求:

(1)z=2x+y 的最小值; (2)z=x +y 的范围. (3)z= 的最大值.
2 2

18. 为了解某市的交通状况, 现对其 6 条道路进行评估,得分分别为:5, 6, 7,8,9, 10. 规 定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表 评估的平均得分 (0,6) (6,8) 合格 (8,10) 优秀

全市的总体交通状况等级不合格

(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
3

(2)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条,它们的得分组成一个样本,求该样本 的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超 0.5 的概率. 19.某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分 成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到频 率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题. (1)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (2)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大 于 10 的概率.

20.求二项式( (1)常数项;



)15 的展开式中:

(2)有几个有理项; (3)有几个整式项. 21.某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的结果如下:

日销售量 频数 频率

1 10 0.2

1.5 25 a

2 15 b

(1)求表中 a,b 的值 (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立, ①求 5 天中该种商品恰有 2 天销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,X 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千 元),求 X 的分布列和期望.

4

22.某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队要 进行比赛,根据规则:每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分, 没有平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 ,甲队获得第一 名的概率为 ,乙队获得第一名的概率为 .

(Ⅰ)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 P1,P2; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲队得分为 X,求 X 的分布列及期望.

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水中学高二(上)第三次月考数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.过不重合的 A(m +2,m ﹣3),B(3﹣m﹣m ,2m)两点的直线 l 倾斜角为 45°,则 m 的 取值为( A.m=﹣1 ) B.m=﹣2 C.m=﹣1 或 2 D.m=l 或 m=﹣2
2 2 2

【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题;对应思想;综合法;直线与圆. 【分析】由两点的坐标求出过 A,B 的直线的斜率,结合倾斜角为 45°列关于 m 的方程,求 得 m 后验证 m=﹣1 不成立,可得 m=﹣2. 【解答】 解: 过A (m2+2, m2﹣3) , B (3﹣m﹣m2, 2m) 两点的直线 l 的斜率 k= ,

∵直线 l 倾斜角为 45°,∴k= 解得 m=﹣1 或 m=﹣2, 当 m=﹣1 时,A,B 重合,舍去, ∴m=﹣2. 故选:B.

=1,

5

【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了直线的倾斜角和斜率的关系,是基础题.

2. 已知圆心 (2, ﹣3) , 一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上, 则这个圆的方程是 (



A.x +y ﹣4x+6y=0 C.x2+y2﹣4x﹣6y=0

2

2

B.x +y ﹣4x+6y﹣8=0 D.x2+y2﹣4x﹣6y﹣8=0

2

2

【考点】圆的一般方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】设直径的两个端点分别 A(a,0)B(0,b),圆心 C(2,﹣3)为 AB 的中点,利 用中点坐标公式求出 a,b 后,再利用两点距离公式求出半径,得到圆的标准方程,即可得 出结论. 【解答】解:设直径的两个端点分别 A(a,0)B(0,b).圆心 C 为点(2,﹣3),

由中点坐标公式得,a=4,b=﹣6, ∴r= |AB|= = ,

则此圆的方程是(x﹣2)2+(y+3)2=13, 即 x +y ﹣4x+6y=0. 故选:A. 【点评】本题考查圆的方程求解,中点坐标公式的应用,确定圆心、半径即能求出圆的标准 方程.
2 2

3.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1,a2,?aN,其中收入记为正数,支出记 为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白的判断框和 处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )

6

A.A>0,V=S﹣T

B.A<0,V=S﹣T

C.A>0,V=S+T

D.A<0,V=S+T

【考点】设计程序框图解决实际问题. 【分析】 分析程序中各变量、 各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知 S 表示月收入, T 表示月支出,V 表示月盈利,根据收入记为正数,支出记为负数,故条件语句的判断框中 的条件为判断累加量 A 的符号, 由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案, 累加完毕 退出循环后,要输出月收入 S,和月盈利 V,故在输出前要计算月盈利 V,根据收入、支出 与盈利的关系,不难得到答案. 【解答】解析:月总收入为 S,支出 T 为负数, 因此 A>0 时应累加到月收入 S, 故判断框内填:A>0 又∵月盈利 V=月收入 S﹣月支出 T, 但月支出用负数表示 因此月盈利 V=S+T 故处理框中应填:V=S+T 故选 A>0,V=S+T 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的赋 值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程 图的含义而导致错误.
7

4.若根据 10 名儿童的年龄 x(岁)和体重 y(㎏)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重 的回归方程是 y=2x+7,已知这 10 名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5, 则这 10 名儿童的平均体重是( A.17kg B.16kg ) C.15kg D.14kg

【考点】回归分析的初步应用. 【专题】计算题. 【分析】根据所给的 10 名儿童的年龄做出平均年龄,这是样本中心点的横标,把横标代入 线性回归方程求出纵标,就是要求的平均体重. 【解答】解:∵10 名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5 ∴这 10 名儿童的平均年龄是 ∵用年龄预报体重的回归方程是 y=2x+7 ∴这 10 名儿童的平均体重是 y=2×4+7=15 故选 C. 【点评】 本题考查线性回归方程的应用, 本题解题的关键是知道样本中心点满足线性回归直 线的方程,代入求解即可. =4,

5. 从 1, 2, 3?20 这 20 个数中任取 2 个不同的数, 则这两个数之和是 3 的倍数的概率为 (



A.

B.

C.

D.

【考点】等可能事件的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】所有的取法共有 件的概率. 【解答】解:所有的取法共有 =190, =190,而满足条件的取法共有 +7×7=64,由此求得所求事

1,2,3?20 这 20 个数中,有 6 个是 3 的倍数,被 3 除余 1 的有 7 个,被 3 除余 2 的有 7 个, 取出的这两个数的和是 3 的倍数,包括两类:①这两个数都是 3 的倍数;

8

②这两个数中,一个被 3 除余 1,另一个被 3 除余 2. 故满足条件的取法共有 故要求事件的概率为 P= 故选:A. 【点评】本题主要考查等可能事件的概率,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. +7×7=64, = ,

6.如图所示,在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,高 AD= 于点 M,则 BM<1 的概率为( )

,在∠BAC 内作射线 AM 交 BC

A. 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计.

B.

C.

D.

【分析】以角为测度,计算当 BM=1 时,∠BAM=30°,再利用几何概型的概率公式求解.

【解答】解:由题意,∠B=60°,AD⊥BC,AD=

,可知 AB=2,

在△ABM 中,利用余弦定理得,当 BM=1 时,AM2=AB2+BM2﹣2ABBMcos∠ABM=4+1﹣2×2×1× =3, ∴cos∠BAM= = ,∴∠BAM=30°,

从而所求的概率为 P= 故选 B.

= ,

【点评】本题主要考查几何概型,正确选择测度是关键,属于基础题.

7.

二项展开式中的常数项为(



9

A.56

B.112

C.﹣56

D.﹣112

【考点】二项式系数的性质. 【专题】二项式定理. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项.

【解答】解:
r

二项展开式的通项公式为 Tr+1= ,

(﹣2)rx﹣

=



=0,求得 r=2,可得展开式的常数项为 4

=112,

故选:B. 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于中档题.

8.如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一球,确认颜色后放回,重复摸取四次,设 X 为取得红球的次数,那么 X 的均值为( A. B. ) C. D.

【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题. 【分析】求出每次取得红球的概率,找出取得红球次数 X 的可能值,求出随机变量 ξ 服从 二项分布 ξ ~B(4, ),即 E(ξ ),即为 X 的均值. 【解答】解:采用有放回的取球,每次取得红球的概率都相等,均为 , 取得红球次数 X 可能取的值为 0,1,2,3,4, 由以上分析,知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~B(4, ), ∴E(ξ )=4× = 则 X 的均值为 故选:B. 【点评】 此题考查了离散型随机变量的期望与方差, 离散型随机变量的期望表征了随机变量 取值的平均值.
10





9.下列式子成立的是(

) C.P(AB)=P(A)P(B|A) D. P (A∩B|A)

A.P(A|B)=P(B|A) B.0<P(B|A)<1 =P(B) 【考点】条件概率与独立事件. 【专题】概率与统计. 【分析】根据条件概率公式 P(B|A)= 从而得出结论. 【解答】解:由条件概率公式 P(B|A)= (A)P(B|A),

,检验各个选项,可得只有选项 C 成立,

,可得 P(A|B)=

,P(AB)=P

而 P(A) 和 P(B)不一定相等,故 A 不正确,C 正确. 由于当 B|A 为不可能事件时,P(B|A)=0,故 B 不正确. 由 P(A∩B|A)= 故 D 不正确. 故选 C. 【点评】本题主要考查条件概率的计算公式的应用,属于中档题. = ,若 A 与 B 不互斥,则此值不等于 P(B),

10.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种 颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种 数为( )

A.84

B.72

C.64

D.56

【考点】计数原理的应用. 【专题】排列组合. 【分析】每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,然后分类研究,A、C 不同色;A、 C 同色两大类

11

【解答】解:分两种情况: (1)A、C 不同色(注意:B、D 可同色、也可不同色,D 只要不与 A、C 同色,所以 D 可以 从剩余的 2 中颜色中任意取一色):有 4×3×2×2=48 种; (2)A、C 同色(注意:B、D 可同色、也可不同色,D 只要不与 A、C 同色,所以 D 可以从 剩余的 3 中颜色中任意取一色):有 4×3×1×3=36 种. 共有 84 种, 故选:A 【点评】本题考查了区域涂色、种植花草作物是一类题目.分类要全要细.

11.已知(1+x)10=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+?+a10(1﹣x)10,则 a8=(



A.﹣180 【考点】二项式定理. 【专题】计算题.

B.180

C.45

D.﹣45

【分析】将 1+x 写成 2﹣(1﹣x);利用二项展开式的通项公式求出通项,令 1﹣x 的指数 为 8,求出 a8. 【解答】解:∵(1+x) =[2﹣(1﹣x)] ∴其展开式的通项为 Tr+1=(﹣1) 2 令 r=8 得 a8=4C108=180 故选 B 【点评】 本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 关键是将底数 改写成右边的底数形式.
r 10﹣r r 10 10

C10 (1﹣x)

r

12.已知随机变量 x 服从二项分布 x~B(6, ),则 P(x=2)=( A. B. C.

) D.

【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 【专题】计算题. 【分析】x~B(6, )表示 6 次独立重复试验,每次实验成功概率为 ,P(x=2)表示 6 次 试验中成功两次的概率.
12

【解答】解:P(x=2)= 故选 D

=

【点评】本题考查独立重复试验中事件的概率及二项分布知识,属基本题.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 【考点】二项式系数的性质. 【分析】
﹣3

的展开式中常数项为 ﹣33 .

展开式的常数项是两部分的和:一部分是 展开式中含 x 的项与 3x 相乘,另一部分是
3

的常数项,利用

二项展开式的通项求出. 【解答】解:∵ =

又∵

的展开式的通项为

=(﹣1)rC6rx12﹣3r

令 12﹣3r=﹣3 得 r=5 ∴ 展开式中含 x﹣3 的项的系数为﹣6

令 12﹣3r=0 得 r=4 ∴ 故 故答案为﹣33. 【点评】 本题考查将原题转化成二项式的特定项问题; 再用二项展开式的通项公式解决二项 展开式的特定项问题. 展开式中的常数项为 15 的展开式中常数项为 3×(﹣6)﹣15=﹣33

14.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= <k<3.5)= .

(c 为常数),k=1,2,3,4,则 P(1.5

【考点】离散型随机变量的期望与方差.
13

【专题】概率与统计. 【分析】随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,根据它们的概率之和为 1,求出 c 的值, 进一步求出 P(1.5<k<3.5)的值. 【解答】解:由随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= (c 为常数),k=1,2,3,4,

得 解 c= . ∴P(1.5<k<3.5)=P(X=2)+P(X=3)= 故答案为: . .



【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差,解决随机变量的分布列问题,一定要注 意分布列的特点,各个概率值在[0,1]之间,概率和为 1,属于中档题.

15. 直线 l1: y=x+a 和 l2: y=x+b 将单位圆 C: x +y =1 分成长度相等的四段弧, 则 a +b = 2

2

2

2

2



【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的 ,即 = =cos45°,由此求得 a2+b2 的值.

【解答】解:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的 ,



=

=cos45°=

,∴a2+b2=2,

故答案为:2. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,得到 =cos45°是解题的关键,属于基础题. =

14

16.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使所有字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 144 种(用数字作答)

【考点】排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】根据题意,将第一个字母填入有 16 种方法,进而计算第二个、第三个、第四个字 母的填法数目,由分步计数原理计算可得答案. 【解答】解:假设先填第一个 a,有 种, 种,

此时有一行一列不能填任何字母了,那么填第二个 A 有 两个 a 填好后有重复情况,故要除以 2; 同理,经过以上步骤后有两行两列不能填任何字母了, 那么填第一个 b 则有

,填第二个 B 时只有一行一列可以填了,有



由于两个 B 有重复情况,故除以 2; . 故答案为:144. 【点评】本题考查分步计数原理的运用,是简单题;解题时注意“使所有字母既不同行也不 同列”的条件限制即可.

三、解答题(共 70 分)

17.若 x,y 满足

,求:

(1)z=2x+y 的最小值; (2)z=x2+y2 的范围. (3)z= 的最大值.

15

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再分别利用几何意义求最值. 【解答】解:作出满足已知条件的可行域为△ABC 内(及边界)区域,如图 其中 A(1,2),B(2,1),C(3,4). (1)目标函数 z=2x+y,表示直线 l:y=﹣2x+z,z 表示该直线纵截距,当 l 过点 A(1,2) 时纵截距有最小值,故 zmin=4. (2)目标函数 z=x2+y2 表示区域内的点到坐标系点的距离的平方,又原点 O 到 AB 的距离 d= 且垂足是 D( , )在线段 AB 上,故 OD ≤z≤OC ,即 z∈[ ,25];
2 2

(3)目标函数 z= 斜率最大,即

=1+ ,则 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点 A 时, =2,即 zmax=3.

【点评】本题考查了线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.

18. 为了解某市的交通状况, 现对其 6 条道路进行评估,得分分别为:5, 6, 7,8,9, 10. 规 定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表 评估的平均得分 (0,6) (6,8) 合格 (8,10) 优秀

全市的总体交通状况等级不合格

(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级; (2)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条,它们的得分组成一个样本,求该样本 的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超 0.5 的概率. 【考点】等可能事件的概率;众数、中位数、平均数;随机事件.
16

【专题】计算题. 【分析】(1)由已知中对其 6 条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10,计算出 得分的平均分,然后将所得答案与表中数据进行比较,即可得到答案. (2)我们列出从这 6 条道路中抽取 2 条的所有情况,及满足样本的平均数与总体的平均数 之差的绝对值不超 0.5 情况,然后代入古典概型公式即可得到答案. 【解答】解:(1)6 条道路的平均得分为 ∴该市的总体交通状况等级为合格. (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”. 从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为: (5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10) (6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8) (7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共 15 个基本事件. =7.5

事件 A 包括(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9) 共 7 个基本事件, ∴P(A)= 答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 .

【点评】本题考查的知识点是古典概型,平均数,古典概型要求所有结果出现的可能性都相 等, 强调所有结果中每一结果出现的概率都相同. 弄清一次试验的意义以及每个基本事件的 含义是解决问题的前提, 正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键. 解决问题的步骤 是:计算满足条件的基本事件个数,及基本事件的总个数,然后代入古典概型计算公式进行 求解.

19.某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分 成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到频 率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题. (1)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (2)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大 于 10 的概率.
17

【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)根据频率分布直方图,求出该组数据的中位数; (2)求出第 1 组、第 6 组的频数各是多少,计算对应的基本事件数,求出概率即可.

【解答】解:(1)由频率分布直方图知, 前三组的频率之和为 0.1+0.15+0.15=0.4, ∴中位数在第四组, 设中位数为 70+x, 则 0.4+0.030x=0.5, 解得 x= , = ;

∴该组数据的中位数为 70+

(2)第 1 组的频数为:60×0.1=6 人(设为 1,2,3,4,5,6), 第 6 组的频数为:60×0.05=3 人(设为 A,B,C); 从这 9 人中任取 2 人,共有 =36 个基本事件, × =18 个,

满足抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的基本事件有 所以,所求的概率为 P= = .

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了求古典概型的概率的应用问题, 是基础题目.

20.求二项式(



)15 的展开式中:

18

(1)常数项; (2)有几个有理项; (3)有几个整式项. 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】(1)先求出展开式的通项公式,令 x 的幂指数等于零求出 r 的值,即可求得常数 项. (2)在展开式的通项公式中,令 x 的幂指数为整数,可得 r 为 6 的倍数,求出 r 的值,可 得有理项. (3)在展开式的通项公式中,令 x 的幂指数 5﹣ r 为非负整数,得 r 的值,可得整式项.

【解答】解:展开式的通项为:Tr+1=

=



(1)设 Tr+1 项为常数项,则 (2)设 Tr+1 项为有理项,则

=0,解得 r=6,即常数项为 T7 =26 =5﹣ r 为整数,∴r 为 6 的倍数,



又∵0≤r≤15,∴r 可取 0,6,12 三个数,故共有 3 个有理项. (3)5﹣ r 为非负整数,得 r=0 或 6,∴有两个整式项. 【点评】本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于 中档题.

21.某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的结果如下:

日销售量 频数 频率

1 10 0.2

1.5 25 a

2 15 b

(1)求表中 a,b 的值 (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,
19

①求 5 天中该种商品恰有 2 天销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,X 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千 元),求 X 的分布列和期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】应用题;概率与统计. 【分析】(1)利用频率等于频数除以样本容量,求出样本容量,再求出表中的 a,b.

(2) ①利用二项分布的概率公式求出 5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率.

②写出 X 可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出 X 取每一个值的概率.列出分布列, 求得期望. 【解答】解:(1)∵ =50∴a= =0.5,b= =0.3

(2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p=0.5 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,则 X~B(5,0.5) P(X=2)=C5 ×0.5 ×(1﹣0.5) =0.3125 ②X 的可能取值为 4,5,6,7,8,则 p(X=4)=0.22=0.04 p(X=5)═2×0.2×0.5=0.2 p(X=6)═0.5 +2×0.2×0.3=0.37 p(X=7)═2×0.3×0.5=0.3 p(X=8)=0.32=0.09 所有 X 的分布列为: X4 5 6 7 8
2 2 2 3

P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2. 【点评】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变 量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

20

22.某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队要 进行比赛,根据规则:每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分, 没有平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 ,甲队获得第一 名的概率为 ,乙队获得第一名的概率为 .

(Ⅰ)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 P1,P2; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲队得分为 X,求 X 的分布列及期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)阅读得出队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队,甲队获得第一名的概 率为 ; 乙队获得第一名的概率为 ,求解方程组即可.

(2)根据题意得出 X 可能取的值为:0,3,6,分别求出概率得出分布列即可,求解数学期 望. 【解答】解:(Ⅰ)由题意,甲队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队,

∴甲队获得第一名的概率为 同理:乙队获得第一名的概率为 由①②得: .



① .②

所以甲队战胜乙队的概率为 ,甲队战胜丙队的概率 . (Ⅱ) ; ; . X 的分布列为: X P .
21

0

3

6

【点评】 本题考察了古典概率在实际问题中的应用, 考察了学生的阅读分析能力, 计算能力, 属于中档题.

22



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