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2014-2015概率论与数理统计A卷答案 (1)


桂林理工大学考试试卷 (2014--2015 学年度第 一 学期)
课 程 名 称:概率统计 命 题:基础数学教研室 题 号 注意保持装订完整,试卷折开无效 得 分 一. 单项选择题(每小题 2 分,共 10 分) 1.如果 P( A) ? P( B) ? 1 ,则 事件 A 与 B 必定( C ) 一 二 三 A卷

二.填空题(每题 2 分,共 10 分) 1.已知 P ? A? ? 0.6 , P ? B | A? ? 0.3 , 则 P( A ? B) = ___0.18_______; 2.甲、乙、丙 3 人独立地译出一种密码,他们能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4,则能译出这种密码的 概率为

3 ; 5

总 分

3.一种动物的体重 X 是一随机变量,设 E ? X ? ? 33, D ? X ? ? 4 ,10 个这种动物的平均体重记作 Y ,则

D ?Y ?=__

0.4

_; 37 ;

姓名

4. 已知 D( X ) ? 25 , D(Y ) ? 36 , X 与 Y 的相关系数为 ? XY ? 0.4 ,则 D( X ? Y ) = 5. 设 X1 , X 2 ,

1 2 , X n 是取自总体 N ( ? , ? ) 的样本,则统计量 2

?

?(X
i ?1

n

i

? ? )2 服从 ? (n) 分布.
2

( A) 独立

( B) 不独立

(C ) 相容

( D) 不相容

三.计算下列各题(共 80 分) 1. (10 分)例 1.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录三家厂的 次品率分别为 0.02,0.01,0.03,三家厂所提供的份额分别为 0.15,0.80,0.05。设这三家厂的产品在仓

2.设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ,且 E ? X ? ? 2.1 数 n, p 的值为( A )

D ? X ? ? 1.47 ,则二项分布的参

库中是均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机取一只元件,求它是次品的概率; (2)在仓库 中随机取一只元件,若已知取到的是次品,求出此次品由第一家工厂生产的概率是多少?

学号

( A) n ? 7
(C ) n ? 21
密封线 装订线

p ? 0.3
p ? 0.1

( B) n ? 3 ( D) n ? 4

p ? 0.7 p ? 0.6
B )

解:设 A 表示“取到的是一只次品” , 则 P( P( )=0.15 =0.02 P( P( )=0.80

(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”,

P( P(

)=0.05 =0.03 (3 分)

3.设随机变量 X 服从 N (0 , 1) 分布, Y ? 2 X ? 1 ,则 Y ~ (

=0.01

( A) N (0 ,1)

( B) N (1, 4)

(C ) N (1, 2)

( D) N (0 , 4)

1>.由全概率公式

4. 已知 X 服从泊松分布,则 D( X ) 与 E ( X ) 的关系为( 专业班级

C )

P ? A? ? P( A | B1 )P(B1 ) ? P( A | B2 )P(B2 ) ? P( A | B3 )P(B3 ) ? 0.0125
2>.由贝叶斯公式

(5 分)

( A) D ( X ) ? E( X )
答题留空不够时,可写到纸的背面

( B) D ( X ) ? E ( X )

(C )

D ( X ) ? E( X )

( D) 以上都不是
P( ) = = = 0.24 (10 分)

5. 设 X 1 , X 2 , X 3 是取自 N ( ? ,1) 的样本,以下 ? 的四个估计量中最有效的是( D )

1 3 1 X1 ? X 2 ? X 3 5 10 2 1 1 1 ?3 ? X1 ? X 2 ? X 3 (C ) ? 3 6 2 ?1 ? ( A) ?

1 2 4 X1 ? X 2 ? X 3 3 9 9 1 1 5 ?4 ? X1 ? X 2 ? X3 ( D) ? 3 4 12 ?2 ? ( B) ?

系部
1



1

页(共 3 页)

2. (16 分) 设连续型随机变量 X 的密度为 f ( x) ? ? (1)确定常数 M 解:①

(2)因为

f X ( x) f Y ( y) ? f ( x, y) ,故 X,Y 不相互独立.

(8 分)

? Me ?5 x , x ? 0 x ? 0. ?0,
(3)求分布函数 F ( x) . (4 分) (5 分)

(3) E ( X ) ?

?

?? ??

xf X ( x)dx ?

5 12

,
1 0

E (Y ) ? ?
1 0

(2)求 P{ X ? 0.2}
0 ??

E ( XY ) ? ?


??

??

?

??

??

xyf ( x, y ) dxdy ? ? dx ?

5 12 1 xy (2 ? x ? y ) dy ? 6
?? ??

yfY ( y )dy ?

?

??

??

f ( x)dx ? ? 0dx ? ?
??

0

1 Me ?5 x dx ? M ? 1 5

? XY ?

E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) DX ? DY

? 0 ,故 X 与 Y 相关 .

(14 分)

故 M =5

.

② P( X ? 0.2) ?

?

??

0.2

5e?5 x dx ? e?1 ? 0.3679.

(10 分) (12 分) 3.(14 分)(文科学生做, 工科学生不做) 已知二元离散型随机变量 ? X , Y ? 的联合概率分布如下表所示:

③当 x<0 时,F(x)=0;

Y
当 x ? 0 时, F ( x ) ?

?

x

??

? ( x)dx ? ? dx ? ? 5e ?5 x dx
?? 0

0

x

X
(14 分)

-1

1

2 0.3 0.1

? 1? e
故 F ( x) ? ?1 ? e
?5 x

?5 x

-1 0.1 0.2 2 0.2 0.1 (1) 试求 X 和 Y 的边缘分布率

? ?

,x ? 0 ,x ? 0

.

(16 分)

(2) 试求 E ( X ) , E (Y ) , D( X ) , D (Y ) ,及 X 与 Y 的相关系数 ? XY (满分 14 分) 解:(1)将联合分布表每行相加得 X 的边缘分布率如下表: X -1 2 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得 Y 的边缘分布率如下表: Y -1 1 2 p 0.3 0.3 0.4 (4 分)
2 (2) E ( X ) ? 1 ? 0.6 ? 2 ? 0.4 ? 0.2 , E X ? 1 ? 0.6 ? 4 ? 0.4 ? 2.2 ,

0

3. (14 分) (工科学生做,文科学生不做) 设 ( X , Y ) 的联合概率密度为: f ( x, y ) ? ?

?2 ? x ? y , , ?0

0 ? x ?1, 0 ? y ?1 其它

, (1)求 X 、 Y 的边

Y 是否独立,是否相关?(3)求 E ( XY ) 。 缘概率密度 f X ( x) 和 f Y ( y) ; (2)判断 X ,
(X,Y) 解: (1) 关于 X 的边缘密度为

? ?

D ? X ? ? E ? X 2 ? ? ? EX ? ? 2.2 ? 0.04 ? 2.16
2

(6 分)

f X ( x) ? ?

??

??

?3 ? ?x , f ( x, y) dy ? ? 2 ? , ?0 ?3 ? ?y , f ( x, y)dx ? ? 2 ? , ?0

0 ? x ?1 其他

(3 分)

E (Y ) ? 1 ? 0.3 ? 1 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 0.8, E ?Y 2 ? ? 1 ? 0.3 ? 1 ? 0.3 ? 4 ? 0.4 ? 2.2
D ?Y ? ? E ?Y 2 ? - ? ? E ?Y ? ? ? ? 2.2 - 0.64 ? 1.56 E ? XY ? ? ? - 1? ? ? - 1? ? 0.1 ? ? - 1? ? 1 ? 0.2 ? ? - 1? ? 2 ? 0.3 ? 2 ? ? - 1? ? 0.2 ? 2 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? 2 ? 0.1 ? 0.1 - 0.2 - 0.6 - 0.4 ? 0.2 ? 0.4 ? - 0.5 cov ? X , Y ? ? E ? XY ? - E ? X ? E ?Y ? ? - 0.5 - 0.16 ? - 0.66 ( 12分)
2

(X,Y) 关于 Y 的边缘密度为

f Y ( y) ? ?

??

0 ? y ?1 其他

??

(5 分)

? XY ?

cov( X , Y ) ?0.66 0.66 ? ?? ? ?0.36 1.836 D( X ) D(Y ) 2.16 ?1.56

(14 分)

2



2

页(共 3 页)

4. (10 分) 设总体的分布函数为 f ? x,? ? ? 估计量 ?? 。(设样本容量为 n ) 解:利用极大似然估计法

? x e??
x!

, ( x ? 0,1,

;0 ? ? ? ?) , 用极大似然估计法求 ? 的

6.(10 分)设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取 15 个进行检验,算出平均使用寿命 为 1950 小时,样本标准差 s 为 300 小时,以 95%的置信水平估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 ( t0.975 (14) ? 2.1448, t0.975 (15) ? 2.1315) 解: 已知样本均值 x ? 1950 , 样本标准差 s=300, 自由度为 15-1=14, 分位数 t0.975(14)=2.1448, (3 分)

似然函数为 L ?? ? ?

e , X1 ! X 2 ! X n !
i ?1

?

? Xi

n

? n?

算出 t0.975 (14) (4 分)

s 2.1448 ? 300 1 ? ? 166.1 , 3.873 2 15

(6 分) (10 分)

因此平均使用寿命的置信区间为 x ? 166.1 ,即(1784, 2116)。

? n ? ln L ?? ? ? ? ? X i ? ln ? ? n? ? ln ? X1 ! X 2 ! ? i ?1 ?


X n !?

(7 分)

d ln L d ln L 1 ? n 1 n ? ? 0, 得 ? ? ? X i ? ? ? X i ? ? n ,令 d? n i ?1 d? ? ? i ?1 ?

?? 即极大似然估计量 ?

1 n ? Xi 。 n i ?1

(10 分)

7. (10 分)根据长期的经验,某工厂生产的特种金属丝的折断力 X ~ N (? , ? 2 ) (单位:kg).

已知

5. (10 分)保险公司为估计企业的利润,需要计算各种概率。若一年中某类投保人中每个人死亡的 概率为 0.005,现在此类投保人 10000 人,试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过 70 人 的概率.( ? ? 2.84? ? 0.9977, ? ?7.09? =1 ) 解: 把每位投保人看作一次试验, 死亡的概率 p ? 0.005 因此可看作是 n ? 10000 次的贝努利试验。 把在未来一年中死亡的投保人数记为随机变量 X ,则 X

? ? 8 kg, 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品,测得样本均值 x ? 575.2 kg.
问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg ? ( ? ? 5 % ) ( u0.975 ? 1.960 , u0.95 ? 1.645 , u0.90 ? 1.282 ) 解: 要检验的假设为 H0 : ? ? ?0 ? 570, H1 : ? ? ?0 ? 570 (2 分)

b ?10000,0.005? ,从而

(3 分) (5 分) 检验用的统计量 U ? 拒绝域为

E ? X ? ? np ? 10000 ? 0.005 ? 50, D ? X ? ? 50 ? 0.995 ? 49.75 , 有
X ? 50 70 ? 50 ? ? 0 ? 50 P ?0 ? X ? 70? ? P ? ? ? ? ? ? ? 2.84? ?? ? ?7.09? ? 0.9977 49.75 49.75 ? ? 49.75

X ? ?0

?/ n
2

~ N ( 0 ,1 ) ,
(6 分)

(10 分)

U ? u1? ? ? u0.975 ? 1.96 .

U0 ?

575.2 ? 570 8 / 10

? 0.65 10 ? 2.06 ? 1.96 ,落在拒绝域内,

(8 分)

故拒绝原假设 H 0 ,即不能认为平均折断力为 570 kg .

(10 分)

3



3

页(共 3 页)


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