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概率复习试卷1



概率论与数理统计期末试卷(A) (红色的内容表示不属于本次考试范围内)
? A ? 1、 (10 分)若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ( x 2 ? 1) ? 0 ? x?0 x?0
, (1)求常数 A ; (2)求 Y ? ln X 的概率密度。

2、 (10 分)已知随机变量 X 和 Y 的分布律分别是:
??1 X ~ ?1 ? 4 ? 0 1 2 1? ?0 1 ? ,Y ~ ? 1 ? 2 4? ? ? 1? (1)求 X 和 Y 的联合分布律; (2)X 和 Y 1 ? , 且 P( XY ? 0) ? 1 , ? 2?

是否独立?

? 1 ? 2 3、 (12 分)设随机变量 ? X , Y ? 的联合分布密度为 f ( x, y ) ? ? 2 x y ?0 ?
求 X 、 Y 的边缘概率密度,并说明 X 与 Y 是否相互独立。

1 ? x ? ??, 其他

1 ? y?x x ,

4、 (10 分)一民航机场的送客汽车每次载 20 位旅客自机场开出,沿途有十个车站。若到达车站没有旅 客下车,就不停车,假设每位旅客在各个车站下车是等可能的,求汽车每趟停车的平均次数。

y x ?1 ? 3 ?1 ?2 e e x?0 ? ? 5、 (10 分)若随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度分别为 f X ( x) ? ? 2 , f Y ( y) ? ? 3 ?0 ?0 其他 ? ?

y?0 其他

求随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度 f Z (z ) 。

6、 (10 分)设随机变量 概率密度函数 g (z ) 。

X 与 Y

相互独立,其中 X ~ B(1, 0.6 ) ,Y ~ f ( y ) ,求随机变量 Z ? 3 X ? Y 的

7、 (16 分)设二维随机变量(X,Y)在矩形 G ? ( x, y ) 0 ? x ? 2,

?

0 ? y ? 1? 上服从均匀分布,记

?0, U ?? ?1,

X ?Y X ?Y



?0, V ?? ?1,

X ? 2Y X ? 2Y

,求:

(1) U 和 V 的联合分布; (2)U 和 V 的相关系数。

8、(10 分) 某大型商场每天接待顾客 10000 人,设每位顾客的消费额(元)服从 [100 , 1000 ] 上的均匀分布上,且顾客 的消费额是相互独立的。试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过 20000 (元)的概率。

9、 (12 分)假设随机变量 X 的密度函数为: p ( x ) ? ?

?2 x, 0 ? x ? 1 ,现在对 X 进行 n 次独立的重复观测,以 Z n 表 其他 ? 0,

示观测值不大于

5 的次数,求: 5

(1)随机变量 Z n 的概率分布;

(2)设 n=100,利用棣莫拂——拉普拉斯中心极限定理,求观测值不大于 近似值。

5 的次数不少于 14 且不多于 30 的概率的 5

2007——2008 学年第一学期概率论与数理统计期末试卷答案(A)
? A ? 1、 (10 分)若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ( x 2 ? 1) ? 0 ? x?0 x?0
, (1)求常数 A ; (2)求 Y ? ln X 的概率密度。

2 解: (1) ?
??1 X ~ ?1 ? 4 ?

2e y ; (2) f Y ( y ) ? 。 ? (e 2 y ? 1)
1? ?0 1 ? ,Y ~ ? 1 ? 2 4? ? ? 1? (1)求 X 和 Y 的联合分布律; (2)X 和 Y 1 ? , 且 P( XY ? 0) ? 1 , ? 2?

2、 (10 分)已知随机变量 X 和 Y 的分布律分别是:
0 1 2

是否独立?为什么? 解: X Y 0 1 不独立。
? 1 ? 2 3、 (12 分)设随机变量 ? X , Y ? 的联合分布密度为 f ( x, y ) ? ? 2 x y ?0 ?
求 X 、 Y 的边缘概率密度,并说明 X 与 Y 是否相互独立。

-1 1/4 0

0 0 1/2

1 1/4 0
1 ? x ? ??, 其他 1 ? y?x x ,

?1 ?2 0 ? y ? 1 ? ? ln x ? 1 ? 2 1 ? x ? ?? 解: f X ( x) ? ? x , f Y ( y ) ? ? 2 y ? 1 , X 与 Y 不相互独立 ?0 ?2y 其他 ? ?0 y?0 ? ?

4、 (10 分)一民航机场的送客汽车每次载 20 位旅客自机场开出,沿途有十个车站。若到达车站没有旅 客下车,就不停车,假设每位旅客在各个车站下车是等可能的,求汽车每趟停车的平均次数。
10 ?1 若第i站有人下车 解:设 X i ? ? i=1,2……10,汽车停车的次数 X 为 X=? X i ?0 第i站无人下车 i ?1

20 E(X)=10[1- ( ) ]

9 10

5、 (10 分)若随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度分别为
x ?1 ?2 x?0 ? e f X ( x) ? ? 2 , ?0 其他 ? y ?1 ? 3 ? e f Y ( y) ? ? 3 ?0 ?

y?0 其他

求随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度。
z z ? ? ?3 ?e ? e 2 z ? 0 解: f Z ( z ) ? ? ?0 z?0 ?

6、 (10 分)设随机变量 概率密度函数 g (z ) 。

X 与 Y

相互独立,其中 X ~ B(1, 0.6 ) ,Y ~ f ( y ) ,求随机变量 Z ? 3 X ? Y 的

解: g ( z ) ? 0.6 fY (3 ? z ) ? 0.4 fY (? z ) .
7、 分) (16 设二维随机变量 (X, 在矩形 G ? ( x, y ) 0 ? x ? 2, Y)

?

?0, 记 0 ? y ? 1? 上服从均匀分布, U ? ? ?1,

X ?Y X ?Y



?0, V ?? ?1,

X ? 2Y X ? 2Y

,求:

(1)U 和 V 的联合分布; (2)U 和 V 的相关系数。 解: (1) U 0 1 V 0 0.25 0.25 1 0 0.5

(2)

EU=0.75, EV=0.5, DU=3/16, DV=0.25, E(UV)=0.5,

COV(U,V)=1/8, R(U,V)=

3 3

8、(10 分) 某大型商场每天接待顾客 10000 人,设每位顾客的消费额(元)服从 [100 , 1000 ] 上的均匀分布上,且顾客 的消费额是相互独立的。试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过 20000 (元)的概率。

解: 0. 56
9、 (12 分)假设随机变量 X 的密度函数为: p ( x ) ? ?

?2 x, 0 ? x ? 1 ,现在对 X 进行 n 次独立的重复观测,以 Z n 表 其他 ? 0,

示观测值不大于

5 的次数,求: 5

(1)随机变量 Z n 的概率分布;

(2)设 n=100,利用棣莫拂——拉普拉斯中心极限定理,求观测值不大于 近似值。 解:(1)p= P ( X ?

5 的次数不少于 14 且不多于 30 的概率的 5

5 ) ? 0.2 , 5

所以 Z n ~B(n, 0.2)

q ? P(14 ? Z 100 ? 30 )
(2) ? P (

14 ? 100 * 0.2

100 * 0.2 * 0.8 100 * 0.2 * 0.8 100 * 0.2 * 0.8 10 6 ? ? ( ) ? ? (? ) ? 0.994 ? 1 ? 0.993 ? 0.987 4 4

?

Z 100 ? 100 * 0.2

?

30 ? 100 * 0.2

)



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