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全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准



全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ? cos x ? 4 答: [ B ] 解: y ? sin[( x ? ? )? ], 即 4 4 ? y ?cos x . 故选 B. 2. 如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程 有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 答: [ C ] 解:由 ? ? p2 ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负. 2 2 设 f ( x) ? x ? px ? q ,则 f (3) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 . 由于 p, q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意. 故选 C. 3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3 1 的最小值是 b( a ? b ) C. 4 D. 5 答: [ C ] 解:由 a ? b ? 0 , 可知 a2 a 1 0 ? b( a ? b ) ? ? (b ? ) 2 ? a 2 , 4 2 4 所以, a ? 2 1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C. b( a ? b ) a 1 1 4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个 答: [ D ] P 解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? . 作与 ? 平行的平面 ? , 与四棱锥的各个侧面 A A1 D D1 B1 C1 相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样 的平面 ? 有无数多个.故选 D. C B 5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ?N*, 则 a2005 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ C ] 解:数列 {an } 模 64 周期地为 2,16,-2,-16,……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C. 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 308 个


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