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湖北省襄阳市枣阳市白水高中2015-2016学年高二数学下学期3月月考试卷 理(含解析)



2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二(下)3 月月考数学 试卷(理科)

一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列选项叙述错误的是(
2


2

A.命题“若 x≠l,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” B.

若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.若命题 p:? x∈R,x2+x+1≠0,则?p:? x∈R,x2+x+1=0 D.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 2.用反证法证明命题“若 a+b+c≥0,abc≤0,则 a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的 反设内容为( )

A.a、b、c 三个实数中最多有一个不大于零 B.a、b、c 三个实数中最多有两个小于零 C.a、b、c 三个实数中至少有两个小于零 D.a、b、c 三个实数中至少有一个不大于零 3.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任 一点,则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为( A.30° B.60° C.90° D.120° 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3+a8=13,且 S7=35.则 a7=( A.11 B.10
2





C.9

D.8 )

5.抛物线 x =8y 的焦点坐标为(

A. (2,0) B. (4,0) C. (0,2) D. (0,4) 6.“a<﹣4”是函数 f(x)=ax+3 在上存在零点的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( A.2 B.4 ) C.6 D.8

-1-

8.数学归纳法证明(n+1)?(n+2)???(n+n)=2 ×1×3×?×(2n﹣1) (n∈N )成立时, 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的乘积因式是( A.2(2k+1) B. C.2k+1 D. ,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 )

n

*

9.在△ABC 中,AB=BC,cosB=﹣ e=( A. ) B. C. D.

10.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an}前 n 项 的和,则 (n∈N+)的最小值为( )

A.4

B.3

C.2

﹣2

D.

11.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=BC=1,动点 P、Q 分别在线段 C1D、AC 上, 则线段 PQ 长度的最小值时( )

A.

B.

C.

D.

12.已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点,设左右焦点分别为 F1,F2,P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 e1?e2 的取值范围是( A. ( ,+∞) B. ( ,+∞) C. ( ,+∞) ) D. (0,+∞)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.数列{an}中,an+1=an+2﹣an,a1=2,a2=5,则 a5 为 .

14.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边形内一点, 点 P 到第 i 条边的距离记为

-2-

,类比上述结论,体积为 V 的三棱 锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内的一点,点 Q 到第 i 个面的距 离记为 di,若

等于

. ,

15.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos< >= 为

,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标 .

16.平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 .

C2: x2=2py (p>0) 交于点 O, A, B, 若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为

三、解答题 17.已知抛物线 C:y =2px(p>0) ,焦点为 F,准线为 l,抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3, 且点 A 到准线 l 的距离为 5. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程. 18.已知等差数列{an}首项 a1=1,公差为 d,且数列 (1)求 d; (2)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (3)求数列 的前 n 项和 Tn. 是公比为 4 的等比数列,
2

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点.
-3-

(I)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (II)若 PD∥平面 EAC,并且二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 45°,求 PD:AD 的值.

20.已知数列{an}中,a1=1,an+1=

(n∈N*) .

(1)求证:{

+

}为等比数列,并求{an}的通项公式 an; ?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(2)数列{bn}满足 bn=(3n﹣1)?

21.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1B1∥平面 ABD; (2)求证:平面 ABD⊥平面 BCC1B1.

22.如图,椭圆 C:

经过点 P(1,

) ,离

心率 e=

,直线 l 的方程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB, PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ ,使得 k1+k2=λ k3?若存在,求 λ 的值; 若不存在,说明理

由.

-4-

-5-

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二(下)3 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列选项叙述错误的是( )

A.命题“若 x≠l,则 x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1” B.若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.若命题 p:? x∈R,x2+x+1≠0,则?p:? x∈R,x2+x+1=0 D.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A“若 p 则 q,“的逆否命题为“若﹣p 则﹣q“.故 A 正确;B p∨q 为真命题说明 p 和 q 中至少有一个为真;C 是全称命题与存在性命题的转化;D 从充要条件方面判断. 【解答】解:A 原命题为“若 p 则 q,“,则它的逆否命题为“若﹣p 则﹣q“.故正确; B 当 p,q 中至少有一个为真命题时,则 p∨q 为真命题.故错误. C 正确. D 由 x 一 3x+2>0 解得 x<1 或 x>2 显然 x>2? x<1 或 x>2 但 x<1 或 x>2 不能得到 x>2 故“x>2”是“x 一 3x+2>0”的充分不必要条件,故正确. 故选 B
2 2

2.用反证法证明命题“若 a+b+c≥0,abc≤0,则 a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的 反设内容为( )

A.a、b、c 三个实数中最多有一个不大于零 B.a、b、c 三个实数中最多有两个小于零 C.a、b、c 三个实数中至少有两个小于零 D.a、b、c 三个实数中至少有一个不大于零 【考点】反证法与放缩法.

-6-

【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立,而命题“a、b、c 三个实数中 最多有一个小于零”的否定为:“a、b、c 三个实数中至少有两个小于零”,由此得出结论. 【解答】解:用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立, 而命题“a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的否定为:“a、b、c 三个实数中至少有两 个小于零”, 故应假设的内容是:a、b、c 三个实数中至少有两个小于零. 故选:C.

3.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任 一点,则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为( A.30° B.60° C.90° D.120° 【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法 能求出异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2,A1P=t(0≤t≤1) , A(2,0,0) ,M(0,0,1) O(1,1,0) ,P(2,t,2) , =(﹣2,0,1) , ∴ =(1,t﹣1,2) , )

=﹣2+0+2=0,

∴异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为 90°. 故选:C.

-7-

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3+a8=13,且 S7=35.则 a7=( A.11 B.10 C.9 D.8



【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【分析】由等差数列的性质和求和公式可得 a4=5,进而可得 a4+a7=13,代入可得答案. 【解答】解:由等差数列的性质可得: S7= 又 a3+a8=a4+a7=13,故 a7=8, 故选 D = =35,解得 a4=5,

5.抛物线 x2=8y 的焦点坐标为(



A. (2,0) B. (4,0) C. (0,2) D. (0,4) 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线的标准方程的形式,求出焦参数 p 值,即可得到该抛物线的焦点坐标. 【解答】解:由题意,抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上 ∵抛物线 x =8y 中,2p=8,得
2

=2

∴抛物线的焦点坐标为 F(0,2) 故选:C

-8-

6.“a<﹣4”是函数 f(x)=ax+3 在上存在零点的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据函数零点的条件,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【解答】解:若函数 f(x)=ax+3 在上存在零点, 则 f(﹣1)f(1)≤0, 即(a+3) (﹣a+3)≤0, 故(a+3) (a﹣3)≥0, 解得 a≥3 或 a≤﹣3, 即 a<﹣4 是 a≥3 或 a≤﹣3 的充分不必要条件, 故“a<﹣4”是函数 f(x)=ax+3 在上存在零点的充分不必要条件, 故选:A

7.过抛物线 y =4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( A.2 B.4 ) C.6 D.8

2

【考点】抛物线的应用;抛物线的定义. 【分析】线段 AB 的中点到准线的距离为 4,设 A,B 两点到准线的距离分别为 d1,d2,由抛物 线的定义知|AB|的值. 【解答】解:由题设知知线段 AB 的中点到准线的距离为 4, 设 A,B 两点到准线的距离分别为 d1,d2, 由抛物线的定义知: |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8. 故选 D.

8.数学归纳法证明(n+1)?(n+2)???(n+n)=2 ×1×3×?×(2n﹣1) (n∈N )成立时, 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的乘积因式是( A.2(2k+1) B. )

n

*

C.2k+1 D.

-9-

【考点】数学归纳法. 【分析】分别求出 n=k 时左边的式子,n=k+1 时左边的式子,用 n=k+1 时左边的式子,比较两 个表达式,即得所求. 【解答】解:当 n=k 时,左边=(k+1) (k+2)?(k+k) , 当 n=k+1 时,左边=(k+2) (k+3)?(k+k) (2k+1) (2k+2) , 故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是 =2(2k+1) , 故选 A.

9.在△ABC 中,AB=BC,cosB=﹣ 率 e=( A. ) B. C. D.

,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】如图所示,利用椭圆的定义和余弦定理即可得出. 【解答】解:如图所示, ∵|AB|=|BC|,∴|BC|=2c. 又|AC|+|BC|=2a,∴|AC|=2a﹣2c. 在△ABC 中,∵ ,



=



化为 16e2+18e﹣9=0,又 e>0. 解得 e= 故选:C. .

- 10 -

10.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an}前 n 项 的和,则 (n∈N )的最小值为(
+



A.4

B.3

C.2

﹣2

D.

【考点】等差数列的性质. 【分析】由题意得(1+2d)2=1+12d,求出公差 d 的值,得到数列{an}的通项公式,前 n 项和, 从而可得 ,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.

【解答】解:∵a1=1,a1、a3、a13 成等比数列, ∴(1+2d) =1+12d. 得 d=2 或 d=0(舍去) , ∴an =2n﹣1, ∴Sn= =n ,
2 2



=



令 t=n+1,则

=t+

﹣2≥6﹣2=4

当且仅当 t=3,即 n=2 时,∴ 故选:A.

的最小值为 4.

- 11 -

11.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=BC=1,动点 P、Q 分别在线段 C1D、AC 上, 则线段 PQ 长度的最小值时( )

A.

B.

C.

D.

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式. 【分析】设 2λ ) , 式可得 |= 数的性质、二次函数的单调性即可得出. 【解答】解:设 ∴ = 0) . ∴ |= =|(1﹣μ ,μ ﹣λ ,﹣2λ ) = = ,当且仅当 ∴线段 PQ 长度的最小值为 故选:C. , . ,即 λ = , 时取等号. +μ , , (λ ,μ ∈) . =(0,λ ,2λ ) , =(1,0,0)+μ (﹣1,1,0)=(1﹣μ ,μ , = +μ =|(1﹣μ ,μ ﹣λ ,﹣2λ ) ,再利用实 , , (λ ,μ ∈) .可得 =(0,λ ,

=(1﹣μ ,μ ,0) .利用向量模的计算公

12.已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点,设左右焦点分别为 F1,F2,P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1,e2,则 e1?e2 的取值范围是( )
- 12 -

A. (

,+∞)

B. (

,+∞)

C. (

,+∞)

D. (0,+∞)

【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 【分析】设椭圆和双曲线的长轴长分别为 2a1,2a2,焦距为 2c,设|PF1|=x,|PF2|=|F1F2|=y,

由题意得

,则

e1?e2=

=

=

,由此利用三角形三边关

系和复合函数单调性能求出结果. 【解答】解:∵中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点, 设左右焦点分别为 F1,F2,P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点, △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形, ∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为 2a1,2a2,焦距为 2c, 设|PF1|=x,|PF2|=|F1F2|=y,

由题意得



∵椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2, ∴e1?e2= = = ,

由三角形三边关系得|F1F2|+|PF2|>|PF1|>|PF2|, 即 2y>x>y,得到 1< ∴1<( <2, )2﹣1<3,

)2<4,∴0<(

根据复合函数单调性得到 e1?e2= 故选:C.





二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.数列{an}中,an+1=an+2﹣an,a1=2,a2=5,则 a5 为 19 .

- 13 -

【考点】数列的概念及简单表示法. 【分析】利用递推数列,直接进行递推即可得到结论. 【解答】解:∵an+1=an+2﹣an,a1=2,a2=5, ∴an+2=an+1+an, 即 a3=a2+a1=2+5=7, a4=a3+a2=7+5=12, a5=a4+a3=12+5=19, 故答案为;19.

14.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边形内一点, 点 P 到第 i 条边的距离记为

,类比上述结论,体积为 V 的三棱 锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内的一点,点 Q 到第 i 个面的距 离记为 di,若

等于



【考点】类比推理. 【分析】由 可得 ai=ik,P 是该四边形内任意一点,将

P 与四边形的四个定点连接,得四个小三角形,四个小三角形面积之和为四边形面积,即采用 分割法求面积;同理对三棱值得体积可分割为 5 个已知底面积和高的小棱锥求体积. 【解答】解:根据三棱锥的体积公式 得: 即 S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V,∴ , ,





- 14 -

故答案为:



15.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos< >=



,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标

为 (1,1,1) .

【考点】空间直角坐标系. 【分析】设 PD=a(a>0) ,确定 , 的坐标,利用数量积公式,即可确定 E 的坐标. ) ,

【解答】解:设 PD=a(a>0) ,则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,P(0,0,a) ,E(1,1, ∴ =(0,0,a) , =(﹣1,1, ) ,

∵cos<



>=

,∴

=a

?

,∴a=2.

∴E 的坐标为(1,1,1) . 故答案为: (1,1,1)

16.平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线

C2:x2=2py(p>0)交于点 O,A,B,若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为



- 15 -

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出 A 的坐标,可得 = ,利用△OAB 的垂心为 C2 的焦

点,可得

×(﹣

)=﹣1,由此可求 C1 的离心率.

【解答】解:双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±

x,

与抛物线 C2:x2=2py 联立,可得 x=0 或 x=±



取 A(



) ,设垂心 H(0,

) ,

则 kAH=

=



∵△OAB 的垂心为 C2 的焦点, ∴ ∴5a =4b , ∴5a =4(c ﹣a ) ∴e= = . .
2 2 2 2 2

×(﹣

)=﹣1,

故答案为:

三、解答题 17.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) ,焦点为 F,准线为 l,抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3, 且点 A 到准线 l 的距离为 5. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)先求抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程,根据抛物线的定义,即可求得结论;

- 16 -

(2)利用代入法,即可求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程. 【解答】解: (1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为:x=﹣ ∵抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3,且点 A 到准线 l 的距离为 5, ∴根据抛物线的定义可知,3+ ∴p=4 ∴抛物线 C 的方程是 y =8x;
2

=5,

(2)由(1)知 F(2,0) ,设 P(x0,y0) ,M(x,y) ,则

,即



而点 P(x0,y0)在抛物线 C 上, ∴(2y) =8(2x﹣2) ,即 y =4(x﹣1) , 此即所求点 M 的轨迹方程.
2 2



18.已知等差数列{an}首项 a1=1,公差为 d,且数列 (1)求 d; (2)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (3)求数列 的前 n 项和 Tn.

是公比为 4 的等比数列,

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (1)利用数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列 列,即可求 d; (2)利用等差数列的通项与求和公式,即可求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (3)利用裂项法求数列{ }的前 n 项和 Tn. 是公比为 4 的等比 是公比为 4 的等比数

【解答】解: (1)∵数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列 数列,

- 17 -



,求得 d=2?

(2)由此知 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, (3)令

?

? 则

=

?

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (I)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (II)若 PD∥平面 EAC,并且二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 45°,求 PD:AD 的值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 【分析】 (I)根据 PD⊥平面 ABCD,得到 AC⊥PD,结合菱形 ABCD 中 AC⊥BD,利用线面垂直判 定定理,可得 AC⊥平面 PBD,从而得到 平面 EAC⊥平面 PBD; (II)连接 OE,由线面平行的性质定理得到 PD∥OE,从而在△PBD 中得到 E 为 PB 的中点.由 PD⊥面 ABCD 得到 OE⊥面 ABCD,可证出平面 EAC⊥平面 ABCD,进而得到 BO⊥平面 EAC,所以 BO⊥AE.过点 O 作 OF⊥AE 于点 F,连接 OF,证出 AE⊥BF,由二面角平面角的定义得∠BFO 为

- 18 -

二面角 B﹣AE﹣C 的平面角,即∠BFO=45°.分别在 Rt△BOF 和 Rt△AOE 中利用等积关系的三 角函数定义,算出 OE= ,由此即可得到 PD:AD 的值.

【解答】解: (I)∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,∴AC⊥PD ∵菱形 ABCD 中,AC⊥BD,PD∩BD=D ∴AC⊥平面 PBD 又∵AC? 平面 EAC,平面 EAC⊥平面 PBD; (II)连接 OE, ∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE,PD? 平面 PBD ∴PD∥OE,结合 O 为 BD 的中点,可得 E 为 PB 的中点 ∵PD⊥平面 ABCD,∴OE⊥平面 ABCD, 又∵OE? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 ABCD, ∵平面 EAC∩平面 ABCD=AC,BO? 平面 ABCD,BO⊥AC ∴BO⊥平面 EAC,可得 BO⊥AE 过点 O 作 OF⊥AE 于点 F,连接 OF,则 ∵AE⊥BO,BO、OF 是平面 BOF 内的相交直线, ∴AE⊥平面 BOF,可得 AE⊥BF 因此,∠BFO 为二面角 B﹣AE﹣C 的平面角,即∠BFO=45° 设 AD=BD=a,则 OB= a,OA= a,

在 Rt△BOF 中,tan∠BFo= Rt△AOE 中利用等积关系,可得 OA?OE=OF?AE 即 a?OE= a? ,可得 PD:AD= .

,可得 OF=

,解之得 OE= :2

∴PD=2OE= 即 PD:AD 的值为

- 19 -

20.已知数列{an}中,a1=1,an+1=

(n∈N*) .

(1)求证:{

+

}为等比数列,并求{an}的通项公式 an; ?an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

(2)数列{bn}满足 bn=(3n﹣1)? 【考点】数列的求和;数列递推式.

【分析】 (1)根据数列的递推关系,结合等比数列的定义即可证明{ 并求{an}的通项公式 an; (2)利用错误相减法即可求出数列的和. 【解答】解(1)∵a1=1,an+1═ ,

+

}为等比数列,





即 则{ 首项为 则 + = +

=

=3(

+

) ,

}为等比数列,公比 q=3, , ,



=﹣

+

=

,即 an=



(2)bn=(3 ﹣1)?

n

?an=



- 20 -

则数列{bn}的前 n 项和 Tn= = 两式相减得 =1 +?+ ②, ﹣



=



=2﹣



=2﹣



则 Tn=4﹣



21.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1B1∥平面 ABD; (2)求证:平面 ABD⊥平面 BCC1B1.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)根据直棱柱的性质判定线线平行,再由线线平行证线面平行即可; (2)先由线线垂直证线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直即可. 【解答】证明: (1)由直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,得 A1B1∥AB, 又 A1B1?平面 ABD,AB? 平面 ABD, ∴A1B1∥平面 ABD. (2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,∴AB⊥BB1,AB⊥BC, ∴AB⊥平面 BCC1B1, 又∵AB? 平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BCC1B1.

- 21 -

22.如图,椭圆 C:

经过点 P(1,

) ,离

心率 e=

,直线 l 的方程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB, PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ ,使得 k1+k2=λ k3?若存在,求 λ 的值; 若不存在,说明理

由.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)由题意将点 P (1, )代入椭圆的方程,得到 ,再由离心率为 e= 示出来代入方程,解得 c,从而解得 a,b,即可得到椭圆的标准方程; (2)方法一:可先设出直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一 元二次方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数的关系求得 x1+x2= , ,将 a,b 用 c 表

, 再求点 M 的坐标, 分别表示出 k1, k2, k3. 比较 k1+k2=λ k3 即可求得参数的值;

- 22 -

方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,以之表示出直线 FB 的方程为 ,由此方程求得 M 的坐标,再与椭圆方程联立,求 得 A 的坐标,由此表示出 k1,k2,k3.比较 k1+k2=λ k3 即可求得参数的值 【解答】 解: (1) 椭圆 C: 经过点 P (1, ) ,

可得 由离心率 e= 得 =

① ,即 a=2c,则 b2=3c2②,代入①解得 c=1,a=2,b=

故椭圆的方程为 (2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③ 代入椭圆方程 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2= , ④ 并整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

在方程③中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k) , 从而 , , =k﹣

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+





+



=2k﹣

×



- 23 -

④代入⑤得 k1+k2=2k﹣

×

=2k﹣1

又 k3=k﹣

,所以 k1+k2=2k3

故存在常数 λ =2 符合题意 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,则直线 FB 的方程为

令 x=4,求得 M(4,



从而直线 PM 的斜率为 k3=



联立

,得 A(



) ,

则直线 PA 的斜率 k1=

,直线 PB 的斜率为

k2= 所以 k1+k2= + =2×

=2k3, 故存在常数 λ =2 符合题意

- 24 -

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