湖北省襄阳市枣阳市白水高中2015-2016学年高二数学下学期3月月考试卷 理(含解析)

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）3 月月考数学 试卷（理科）

一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．下列选项叙述错误的是（
2

）
2

A．命题“若 x≠l，则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0，则 x=1” B．若 p∨q 为真命题，则 p，q 均为真命题 C．若命题 p：? x∈R，x2+x+1≠0，则?p：? x∈R，x2+x+1=0 D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 2．用反证法证明命题“若 a+b+c≥0，abc≤0，则 a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的 反设内容为（ ）

A．a、b、c 三个实数中最多有一个不大于零 B．a、b、c 三个实数中最多有两个小于零 C．a、b、c 三个实数中至少有两个小于零 D．a、b、c 三个实数中至少有一个不大于零 3．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，点 O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1 上任 一点，则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为（ A．30° B．60° C．90° D．120° 4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3+a8=13，且 S7=35．则 a7=（ A．11 B．10
2

）

）

C．9

D．8 ）

5．抛物线 x =8y 的焦点坐标为（

A． （2，0） B． （4，0） C． （0，2） D． （0，4） 6．“a＜﹣4”是函数 f（x）=ax+3 在上存在零点的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ）

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则 |AB|等于（ A．2 B．4 ） C．6 D．8

-1-

8．数学归纳法证明（n+1）?（n+2）???（n+n）=2 ×1×3×?×（2n﹣1） （n∈N ）成立时， 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的乘积因式是（ A．2（2k+1） B． C．2k+1 D． ，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 ）

n

*

9．在△ABC 中，AB=BC，cosB=﹣ e=（ A． ） B． C． D．

10．已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1=1，Sn 是数列{an}前 n 项 的和，则 （n∈N+）的最小值为（ ）

A．4

B．3

C．2

﹣2

D．

11．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2，AB=BC=1，动点 P、Q 分别在线段 C1D、AC 上， 则线段 PQ 长度的最小值时（ ）

A．

B．

C．

D．

12．已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点，设左右焦点分别为 F1，F2，P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1，e2，则 e1?e2 的取值范围是（ A． （ ，+∞） B． （ ，+∞） C． （ ，+∞） ） D． （0，+∞）

二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分） 13．数列{an}中，an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5，则 a5 为 ．

14．设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai（i=1，2，3，4） ，P 是该四边形内一点， 点 P 到第 i 条边的距离记为

-2-

，类比上述结论，体积为 V 的三棱 锥的第 i 个面的面积记为 Si（i=1，2，3，4） ，Q 是该三棱锥内的一点，点 Q 到第 i 个面的距 离记为 di，若

等于

． ，

15．如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB=2，E 为 PB 的中点，cos＜ ＞= 为

，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标 ．

16．平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线 ．

C2： x2=2py （p＞0） 交于点 O， A， B， 若△OAB 的垂心为 C2 的焦点， 则 C1 的离心率为

三、解答题 17．已知抛物线 C：y =2px（p＞0） ，焦点为 F，准线为 l，抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3， 且点 A 到准线 l 的距离为 5． （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 P 为抛物线 C 上的动点，求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程． 18．已知等差数列{an}首项 a1=1，公差为 d，且数列 （1）求 d； （2）求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn； （3）求数列 的前 n 项和 Tn． 是公比为 4 的等比数列，
2

19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 PB 上任意一点．
-3-

（I）证明：平面 EAC⊥平面 PBD； （II）若 PD∥平面 EAC，并且二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 45°，求 PD：AD 的值．

20．已知数列{an}中，a1=1，an+1=

（n∈N*） ．

（1）求证：{

+

}为等比数列，并求{an}的通项公式 an； ?an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．

（2）数列{bn}满足 bn=（3n﹣1）?

21．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥BC，D 为棱 CC1 上任一点． （1）求证：直线 A1B1∥平面 ABD； （2）求证：平面 ABD⊥平面 BCC1B1．

22．如图，椭圆 C：

经过点 P（1，

） ，离

心率 e=

，直线 l 的方程为 x=4．

（1）求椭圆 C 的方程； （2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P） ，设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB， PM 的斜率分别为 k1，k2，k3．问：是否存在常数 λ ，使得 k1+k2=λ k3？若存在，求 λ 的值； 若不存在，说明理

由．

-4-

-5-

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）3 月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析

一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．下列选项叙述错误的是（ ）

A．命题“若 x≠l，则 x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x2﹣3x+2=0，则 x=1” B．若 p∨q 为真命题，则 p，q 均为真命题 C．若命题 p：? x∈R，x2+x+1≠0，则?p：? x∈R，x2+x+1=0 D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】A“若 p 则 q，“的逆否命题为“若﹣p 则﹣q“．故 A 正确；B p∨q 为真命题说明 p 和 q 中至少有一个为真；C 是全称命题与存在性命题的转化；D 从充要条件方面判断． 【解答】解：A 原命题为“若 p 则 q，“，则它的逆否命题为“若﹣p 则﹣q“．故正确； B 当 p，q 中至少有一个为真命题时，则 p∨q 为真命题．故错误． C 正确． D 由 x 一 3x+2＞0 解得 x＜1 或 x＞2 显然 x＞2? x＜1 或 x＞2 但 x＜1 或 x＞2 不能得到 x＞2 故“x＞2”是“x 一 3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确． 故选 B
2 2

2．用反证法证明命题“若 a+b+c≥0，abc≤0，则 a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的 反设内容为（ ）

A．a、b、c 三个实数中最多有一个不大于零 B．a、b、c 三个实数中最多有两个小于零 C．a、b、c 三个实数中至少有两个小于零 D．a、b、c 三个实数中至少有一个不大于零 【考点】反证法与放缩法．

-6-

【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c 三个实数中 最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c 三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论． 【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立， 而命题“a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c 三个实数中至少有两 个小于零”， 故应假设的内容是：a、b、c 三个实数中至少有两个小于零． 故选：C．

3．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，点 O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1 上任 一点，则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为（ A．30° B．60° C．90° D．120° 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小． 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2，A1P=t（0≤t≤1） ， A（2，0，0） ，M（0，0，1） O（1，1，0） ，P（2，t，2） ， =（﹣2，0，1） ， ∴ =（1，t﹣1，2） ， ）

=﹣2+0+2=0，

∴异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为 90°． 故选：C．

-7-

4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3+a8=13，且 S7=35．则 a7=（ A．11 B．10 C．9 D．8

）

【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式． 【分析】由等差数列的性质和求和公式可得 a4=5，进而可得 a4+a7=13，代入可得答案． 【解答】解：由等差数列的性质可得： S7= 又 a3+a8=a4+a7=13，故 a7=8， 故选 D = =35，解得 a4=5，

5．抛物线 x2=8y 的焦点坐标为（

）

A． （2，0） B． （4，0） C． （0，2） D． （0，4） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的标准方程的形式，求出焦参数 p 值，即可得到该抛物线的焦点坐标． 【解答】解：由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上 ∵抛物线 x =8y 中，2p=8，得
2

=2

∴抛物线的焦点坐标为 F（0，2） 故选：C

-8-

6．“a＜﹣4”是函数 f（x）=ax+3 在上存在零点的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

）

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据函数零点的条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：若函数 f（x）=ax+3 在上存在零点， 则 f（﹣1）f（1）≤0， 即（a+3） （﹣a+3）≤0， 故（a+3） （a﹣3）≥0， 解得 a≥3 或 a≤﹣3， 即 a＜﹣4 是 a≥3 或 a≤﹣3 的充分不必要条件， 故“a＜﹣4”是函数 f（x）=ax+3 在上存在零点的充分不必要条件， 故选：A

7．过抛物线 y =4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则 |AB|等于（ A．2 B．4 ） C．6 D．8

2

【考点】抛物线的应用；抛物线的定义． 【分析】线段 AB 的中点到准线的距离为 4，设 A，B 两点到准线的距离分别为 d1，d2，由抛物 线的定义知|AB|的值． 【解答】解：由题设知知线段 AB 的中点到准线的距离为 4， 设 A，B 两点到准线的距离分别为 d1，d2， 由抛物线的定义知： |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8． 故选 D．

8．数学归纳法证明（n+1）?（n+2）???（n+n）=2 ×1×3×?×（2n﹣1） （n∈N ）成立时， 从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的乘积因式是（ A．2（2k+1） B． ）

n

*

C．2k+1 D．

-9-

【考点】数学归纳法． 【分析】分别求出 n=k 时左边的式子，n=k+1 时左边的式子，用 n=k+1 时左边的式子，比较两 个表达式，即得所求． 【解答】解：当 n=k 时，左边=（k+1） （k+2）?（k+k） ， 当 n=k+1 时，左边=（k+2） （k+3）?（k+k） （2k+1） （2k+2） ， 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 =2（2k+1） ， 故选 A．

9．在△ABC 中，AB=BC，cosB=﹣ 率 e=（ A． ） B． C． D．

，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】如图所示，利用椭圆的定义和余弦定理即可得出． 【解答】解：如图所示， ∵|AB|=|BC|，∴|BC|=2c． 又|AC|+|BC|=2a，∴|AC|=2a﹣2c． 在△ABC 中，∵ ，

∴

=

，

化为 16e2+18e﹣9=0，又 e＞0． 解得 e= 故选：C． ．

- 10 -

10．已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1=1，Sn 是数列{an}前 n 项 的和，则 （n∈N ）的最小值为（
+

）

A．4

B．3

C．2

﹣2

D．

【考点】等差数列的性质． 【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差 d 的值，得到数列{an}的通项公式，前 n 项和， 从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列， ∴（1+2d） =1+12d． 得 d=2 或 d=0（舍去） ， ∴an =2n﹣1， ∴Sn= =n ，
2 2

∴

=

．

令 t=n+1，则

=t+

﹣2≥6﹣2=4

当且仅当 t=3，即 n=2 时，∴ 故选：A．

的最小值为 4．

- 11 -

11．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2，AB=BC=1，动点 P、Q 分别在线段 C1D、AC 上， 则线段 PQ 长度的最小值时（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】设 2λ ） ， 式可得 |= 数的性质、二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：设 ∴ = 0） ． ∴ |= =|（1﹣μ ，μ ﹣λ ，﹣2λ ） = = ，当且仅当 ∴线段 PQ 长度的最小值为 故选：C． ， ． ，即 λ = ， 时取等号． +μ ， ， （λ ，μ ∈） ． =（0，λ ，2λ ） ， =（1，0，0）+μ （﹣1，1，0）=（1﹣μ ，μ ， = +μ =|（1﹣μ ，μ ﹣λ ，﹣2λ ） ，再利用实 ， ， （λ ，μ ∈） ．可得 =（0，λ ，

=（1﹣μ ，μ ，0） ．利用向量模的计算公

12．已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点，设左右焦点分别为 F1，F2，P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1，e2，则 e1?e2 的取值范围是（ ）
- 12 -

A． （

，+∞）

B． （

，+∞）

C． （

，+∞）

D． （0，+∞）

【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 【分析】设椭圆和双曲线的长轴长分别为 2a1，2a2，焦距为 2c，设|PF1|=x，|PF2|=|F1F2|=y，

由题意得

，则

e1?e2=

=

=

，由此利用三角形三边关

系和复合函数单调性能求出结果． 【解答】解：∵中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与双曲线 C2 有共同的焦点， 设左右焦点分别为 F1，F2，P 是 C1 与 C2 在第一象限的交点， △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形， ∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为 2a1，2a2，焦距为 2c， 设|PF1|=x，|PF2|=|F1F2|=y，

由题意得

，

∵椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2， ∴e1?e2= = = ，

由三角形三边关系得|F1F2|+|PF2|＞|PF1|＞|PF2|， 即 2y＞x＞y，得到 1＜ ∴1＜（ ＜2， ）2﹣1＜3，

）2＜4，∴0＜（

根据复合函数单调性得到 e1?e2= 故选：C．

＞

．

二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分） 13．数列{an}中，an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5，则 a5 为 19 ．

- 13 -

【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】利用递推数列，直接进行递推即可得到结论． 【解答】解：∵an+1=an+2﹣an，a1=2，a2=5， ∴an+2=an+1+an， 即 a3=a2+a1=2+5=7， a4=a3+a2=7+5=12， a5=a4+a3=12+5=19， 故答案为；19．

14．设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长为 ai（i=1，2，3，4） ，P 是该四边形内一点， 点 P 到第 i 条边的距离记为

，类比上述结论，体积为 V 的三棱 锥的第 i 个面的面积记为 Si（i=1，2，3，4） ，Q 是该三棱锥内的一点，点 Q 到第 i 个面的距 离记为 di，若

等于

．

【考点】类比推理． 【分析】由 可得 ai=ik，P 是该四边形内任意一点，将

P 与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用 分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为 5 个已知底面积和高的小棱锥求体积． 【解答】解：根据三棱锥的体积公式 得： 即 S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴ ， ，

即

．

- 14 -

故答案为：

．

15．如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB=2，E 为 PB 的中点，cos＜ ＞=

，

，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标

为 （1，1，1） ．

【考点】空间直角坐标系． 【分析】设 PD=a（a＞0） ，确定 ， 的坐标，利用数量积公式，即可确定 E 的坐标． ） ，

【解答】解：设 PD=a（a＞0） ，则 A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，P（0，0，a） ，E（1，1， ∴ =（0，0，a） ， =（﹣1，1， ） ，

∵cos＜

，

＞=

，∴

=a

?

，∴a=2．

∴E 的坐标为（1，1，1） ． 故答案为： （1，1，1）

16．平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线

C2：x2=2py（p＞0）交于点 O，A，B，若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为

．

- 15 -

【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求出 A 的坐标，可得 = ，利用△OAB 的垂心为 C2 的焦

点，可得

×（﹣

）=﹣1，由此可求 C1 的离心率．

【解答】解：双曲线 C1：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±

x，

与抛物线 C2：x2=2py 联立，可得 x=0 或 x=±

，

取 A（

，

） ，设垂心 H（0，

） ，

则 kAH=

=

，

∵△OAB 的垂心为 C2 的焦点， ∴ ∴5a =4b ， ∴5a =4（c ﹣a ） ∴e= = ． ．
2 2 2 2 2

×（﹣

）=﹣1，

故答案为：

三、解答题 17．已知抛物线 C：y2=2px（p＞0） ，焦点为 F，准线为 l，抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3， 且点 A 到准线 l 的距离为 5． （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 P 为抛物线 C 上的动点，求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】 （1）先求抛物线 y2=2px（p＞0）的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得结论；

- 16 -

（2）利用代入法，即可求线段 FP 的中点 M 的轨迹方程． 【解答】解： （1）抛物线 y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣ ∵抛物线 C 上一点 A 的横坐标为 3，且点 A 到准线 l 的距离为 5， ∴根据抛物线的定义可知，3+ ∴p=4 ∴抛物线 C 的方程是 y =8x；
2

=5，

（2）由（1）知 F（2，0） ，设 P（x0，y0） ，M（x，y） ，则

，即

，

而点 P（x0，y0）在抛物线 C 上， ∴（2y） =8（2x﹣2） ，即 y =4（x﹣1） ， 此即所求点 M 的轨迹方程．
2 2

，

18．已知等差数列{an}首项 a1=1，公差为 d，且数列 （1）求 d； （2）求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn； （3）求数列 的前 n 项和 Tn．

是公比为 4 的等比数列，

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】 （1）利用数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列 列，即可求 d； （2）利用等差数列的通项与求和公式，即可求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn； （3）利用裂项法求数列{ }的前 n 项和 Tn． 是公比为 4 的等比 是公比为 4 的等比数

【解答】解： （1）∵数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列 数列，

- 17 -

∴

，求得 d=2?

（2）由此知 an=1+2（n﹣1）=2n﹣1， （3）令

?

? 则

=

?

19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 PB 上任意一点． （I）证明：平面 EAC⊥平面 PBD； （II）若 PD∥平面 EAC，并且二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 45°，求 PD：AD 的值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【分析】 （I）根据 PD⊥平面 ABCD，得到 AC⊥PD，结合菱形 ABCD 中 AC⊥BD，利用线面垂直判 定定理，可得 AC⊥平面 PBD，从而得到 平面 EAC⊥平面 PBD； （II）连接 OE，由线面平行的性质定理得到 PD∥OE，从而在△PBD 中得到 E 为 PB 的中点．由 PD⊥面 ABCD 得到 OE⊥面 ABCD，可证出平面 EAC⊥平面 ABCD，进而得到 BO⊥平面 EAC，所以 BO⊥AE．过点 O 作 OF⊥AE 于点 F，连接 OF，证出 AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO 为

- 18 -

二面角 B﹣AE﹣C 的平面角，即∠BFO=45°．分别在 Rt△BOF 和 Rt△AOE 中利用等积关系的三 角函数定义，算出 OE= ，由此即可得到 PD：AD 的值．

【解答】解： （I）∵PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD，∴AC⊥PD ∵菱形 ABCD 中，AC⊥BD，PD∩BD=D ∴AC⊥平面 PBD 又∵AC? 平面 EAC，平面 EAC⊥平面 PBD； （II）连接 OE， ∵PD∥平面 EAC，平面 EAC∩平面 PBD=OE，PD? 平面 PBD ∴PD∥OE，结合 O 为 BD 的中点，可得 E 为 PB 的中点 ∵PD⊥平面 ABCD，∴OE⊥平面 ABCD， 又∵OE? 平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 ABCD， ∵平面 EAC∩平面 ABCD=AC，BO? 平面 ABCD，BO⊥AC ∴BO⊥平面 EAC，可得 BO⊥AE 过点 O 作 OF⊥AE 于点 F，连接 OF，则 ∵AE⊥BO，BO、OF 是平面 BOF 内的相交直线， ∴AE⊥平面 BOF，可得 AE⊥BF 因此，∠BFO 为二面角 B﹣AE﹣C 的平面角，即∠BFO=45° 设 AD=BD=a，则 OB= a，OA= a，

在 Rt△BOF 中，tan∠BFo= Rt△AOE 中利用等积关系，可得 OA?OE=OF?AE 即 a?OE= a? ，可得 PD：AD= ．

，可得 OF=

，解之得 OE= ：2

∴PD=2OE= 即 PD：AD 的值为

- 19 -

20．已知数列{an}中，a1=1，an+1=

（n∈N*） ．

（1）求证：{

+

}为等比数列，并求{an}的通项公式 an； ?an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．

（2）数列{bn}满足 bn=（3n﹣1）? 【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】 （1）根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明{ 并求{an}的通项公式 an； （2）利用错误相减法即可求出数列的和． 【解答】解（1）∵a1=1，an+1═ ，

+

}为等比数列，

∴

，

即 则{ 首项为 则 + = +

=

=3（

+

） ，

}为等比数列，公比 q=3， ， ，

即

=﹣

+

=

，即 an=

．

（2）bn=（3 ﹣1）?

n

?an=

，

- 20 -

则数列{bn}的前 n 项和 Tn= = 两式相减得 =1 +?+ ②， ﹣

①

=

﹣

=2﹣

﹣

=2﹣

，

则 Tn=4﹣

．

21．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥BC，D 为棱 CC1 上任一点． （1）求证：直线 A1B1∥平面 ABD； （2）求证：平面 ABD⊥平面 BCC1B1．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】 （1）根据直棱柱的性质判定线线平行，再由线线平行证线面平行即可； （2）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可． 【解答】证明： （1）由直三棱柱 ABC﹣A1B1C1，得 A1B1∥AB， 又 A1B1?平面 ABD，AB? 平面 ABD， ∴A1B1∥平面 ABD． （2）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC， ∴AB⊥平面 BCC1B1， 又∵AB? 平面 ABD， ∴平面 ABD⊥平面 BCC1B1．

- 21 -

22．如图，椭圆 C：

经过点 P（1，

） ，离

心率 e=

，直线 l 的方程为 x=4．

（1）求椭圆 C 的方程； （2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P） ，设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB， PM 的斜率分别为 k1，k2，k3．问：是否存在常数 λ ，使得 k1+k2=λ k3？若存在，求 λ 的值； 若不存在，说明理

由．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】 （1）由题意将点 P （1， ）代入椭圆的方程，得到 ，再由离心率为 e= 示出来代入方程，解得 c，从而解得 a，b，即可得到椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线 AB 的方程为 y=k（x﹣1） ，代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一 元二次方程，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利用根与系数的关系求得 x1+x2= ， ，将 a，b 用 c 表

， 再求点 M 的坐标， 分别表示出 k1， k2， k3． 比较 k1+k2=λ k3 即可求得参数的值；

- 22 -

方法二：设 B（x0，y0） （x0≠1） ，以之表示出直线 FB 的方程为 ，由此方程求得 M 的坐标，再与椭圆方程联立，求 得 A 的坐标，由此表示出 k1，k2，k3．比较 k1+k2=λ k3 即可求得参数的值 【解答】 解： （1） 椭圆 C： 经过点 P （1， ） ，

可得 由离心率 e= 得 =

① ，即 a=2c，则 b2=3c2②，代入①解得 c=1，a=2，b=

故椭圆的方程为 （2）方法一：由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k（x﹣1）③ 代入椭圆方程 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1+x2= ， ④ 并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

在方程③中，令 x=4 得，M 的坐标为（4，3k） ， 从而 ， ， =k﹣

注意到 A，F，B 共线，则有 k=kAF=kBF，即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+

﹣

（

+

）

=2k﹣

×

⑤

- 23 -

④代入⑤得 k1+k2=2k﹣

×

=2k﹣1

又 k3=k﹣

，所以 k1+k2=2k3

故存在常数 λ =2 符合题意 方法二：设 B（x0，y0） （x0≠1） ，则直线 FB 的方程为

令 x=4，求得 M（4，

）

从而直线 PM 的斜率为 k3=

，

联立

，得 A（

，

） ，

则直线 PA 的斜率 k1=

，直线 PB 的斜率为

k2= 所以 k1+k2= + =2×

=2k3， 故存在常数 λ =2 符合题意

- 24 -

- 25 -