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人教版高中数学竞赛讲座:类比归纳猜想



竞赛专题讲座 18 -类比、归纳、猜想 数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测 的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想, 进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法. 所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有 可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要 确认其猜想的正确性,还须经过严格的逻辑论证. 运用类比法解决问题,其基本过程可用框图表示如下: 可见,运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不 同,类比法常分为以下三个类型. (1)降维类比 将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比. 【例 1】 如图, 过四面体 V-ABC 的底面上任一点 O 分别作 OA1∥VA, OB1∥VB, OC1∥VC, A1,B1,C1 分别是所作直线与侧面交点. 求证: + + 为定值. 分析 考虑平面上的类似命题:“过△ABC(底)边 AB 上任一点 O 分别作 OA1∥AC,OB1∥BC,分别交 BC、AC 于 A1、B1,求证 + 为定值”.这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为 定值 1.另外,过 A、O 分别作 BC 垂线,过 B、O 分别作 AC 垂线,则用面积法也不 难证明定值为 1.于是类比到空间围形,也可用两种方法 证明其定值为 1. 证明:如图,设平面 OA1 VA∩BC=M,平面 OB1 VB∩AC=N,平面 OC1 VC∩AB=L,则 有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1 ∽△ LCV.得 + + = + + 。 在底面△ABC 中,由于 AM、BN、CL 交于一点 O,用面积法易证得: + + =1。 ∴ + + =1。 【例 2】以棱长为 1 的正四面体的各棱为直径作球,S 是所作六个球的交集.证明 S 中没有一对点的距离大于 . 【分析】 考虑平面上的类比命题: “边长为 1 的正三角形, 以各边为直径作圆, S‘是 所作三个圆的交集”,通过探索 S’的类似性质,以寻求本题的论证思路.如图, 易知 S‘包含于以正三角形重心为圆心,以 为半径的圆内.因此 S’内任意两点 的距离不大于 .以此方法即可获得解本题的思路. 证明:如图,正四面体 ABCD 中,M、N 分别为 BC、AD 的中点,G 为△BCD 的中心, MN∩AG=O.显然 O 是正四面体 ABCD 的中心.易知 OG= ·AG= ,并且可以推 得以 O 为球心、 OG 为半径的球内任意两点间的距离不大于 证明如下. , 其球 O 必包含 S. 现 根据对称性,不妨考察空间区域四面体 OMCG.设 P 为四面体 OMCG 内任一点,且 P 不在球 O 内,现证 P 亦不在 S 内. 若球 O 交 OC 于 T 点。 △TON 中, ON= 由余弦定理: , OT= , cos∠TON=cos(π -∠TOM)=- 。 TN =ON +OT +2ON·OT· 2 2 2 = ,∴TN= 。 又在 Rt△AGD 中,N 是 AD 的中点,∴GN= 。由 GN= NT= , OG=OT, ON=ON, 得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON,且均为钝角. 于是显然在△GOC 内,不属于球 O 的任何点 P,均有∠PON>∠TON,即有 PN>T


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