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第七章 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd; (2) a ? b ? 0, n ? N? ? a n ? bn ; (3) a ? b ? 0, n ? N? ? n a ? n b ; (4) a ? 0, x ? a ? ?a ? x ? a, x ? a ? x ? a 或 x ? ?a ; (5

)a, b∈R,则 a ? b ? a ? b ? a ? | b |; 2 2 (6)a, b∈R,则 ? a ? b ? ? 0 ? a ? b ? 2ab ; 2 (7)x, y, z∈R+,则 x ? y ? 2 xy , x ? y ? z ? 33 xyz . 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 较大小,最后得出结论。 例 2 若 a<x<1,比较大小: log a ?1 ? x ? 与 log a ?1 ? x ? . A (A,B>0)与 1 比 B 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 3 abc ≥a+b ? 2 ab. 例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤ 2 1 1 1 ? ? . ,求证: 2 c(1 ? c) a(1 ? b) b(1 ? a) (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. (4)反证法。 例 6 设实数 a 0 , a1 ,?,a n 满足 a 0 ? a n ? 0 ,且 a 0 ? 2a1 ? a 2 ? 0, a1 ? 2a 2 ? a3 ? 0,?, a n ?2 ? 2a n ?1 ? a n ? 0 ,求证 a k ? 0(k ? 1, 2,?, n ?1). 1 (5)分类讨论法。 例 7 已知 x, y, z ? R ? ,求证: x2 ? y2 y2 ? z 2 z 2 ? x2 ? ? ? 0. y?z z?x x? y (6)放缩法,即要证 A ? B ,可证 A ? C1 , C1 ? C2 ,?,Cn ?1 ? Cn , Cn ? B(n ? N? ). 例 8 求证: 1 ? 1 1 1 ? ??? n ? n(n ? 2). 2 3 2 ?1 例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证: a b c ? ? . a?m b?m c?m (7)引入参变量法。 a 3 b3 例 10 已知 x, y ? R , l, a, b 为待定正数,求 f ? x, y ? ? 2 ? 2 的最小值。 x y ? 例 11 设 x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 2, x 2 ? x3 ? x 4 ? x1 ,求证: ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 2 ? 4x1x 2 x 3 x 4 . (8)局部不等式。 例 12 已知 x, y, z ?R ,且 x ? y ? z ? 1 ,求证: 2 2 2 ? 3 3 x y z ? . ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z 例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证: a b c ? ? ≤2。 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1 (9)利用函数的思想。 例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1, 求 f(a, b, c)= 1 1 1 ? ?


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