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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析



高一数学竞赛训练试题(10) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (

?

?
4

, 2) 平移后, 得到的图像的解析式为

y ? sin( x ?

?
4

) ? 2

. 那么 y ? f ( x) 的解析式为_______________

2. 如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0( p, q ? N * ) 的正根小 于 3, 那么这样的二次方程 有 ___________个
2 3.设 a ? b ? 0 , 那么 a ?

1 的最小值是______________ b( a ? b )

4. 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 公 差 d ? 0 , a2 是 a1 与 a4 的 等 比 中 项 , 已 知 数 列 {kn}的通项 kn =____________ a1、a3、 ak1、 ak2 . .、 . akn、.成等比数列,则数列 .. 5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ? N*, 则 a2005 被 64 除的 余数为______________ 6.一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单
2

色的, 每种颜色的地砖都足够多 ), 要求相邻的两块地砖颜色不同 , 那么所有的不同拼色 方法有_______________个 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 _________
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??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则向量 OB ? 2

8.设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________ 9.函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 ________
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10.由三个数字 1、 2、 3 组成的 5 位数中 1、 2、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 _______

1

二.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 25 分) 11. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点

N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设

BC BM ? ? , 试求 (用 ? 表示) BN MN
A

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M B D

N C

2

12. 已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列
(d ? 0) . (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次类推,把 已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并 进行研究, 你能得到什么样的结论?

3

13. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn , 当

? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 )

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14. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由
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(2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 并说明理由
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2005

, 求 n 的最小值,

4

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (

?

?
4

, 2) 平移后, 得到的图像的解析式为

y ? sin( x ?

?
4

) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为
B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ? cos x ? 4 答: [ B ]

A. y ? sin x

解: y ? sin[( x ?

?

)? ], 即 4 4

?

y ?cos x . 故选 B

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2. 如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 答: [ C ] 解:由 ? ? p2 ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负. 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 f (3) ? 32 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9

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由于 p, q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意. 故选 C
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2 3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a ?

1 的最小值是 b( a ? b )
C. 4 D. 5 答: [ C ]

A. 2

B. 3

解:由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b( a ? b) ? ( 所以, a ?
2

b? a ?b 2 1 2 ) ? a , 2 4
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1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C b( a ? b ) a

4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形 , 用平面 ? 去截 此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个 :[D] 解: 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n , 直线 m 、n
5

? n

P

m

?

A1

D1

C1 B1 C B

答 D
A

确定了一个平面 ? 作与 ? 平行的平面
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则截得的四边 ? , 与四棱锥的各个侧面相截,
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形必为平行四边形 而这样的平面
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? 有无数多个.故选 D

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ? N*, 则 a2005 被 64 除的 余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ C ] 解: 数列 {an } 为 : 2,16,130,1072,8962,75856,649090,…… , 被 64 除 的余数为 2,16, 2,48,2,16,2,48,……四项一个循环, 又 2005 被 4 除余 1, 故选 C
2
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6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖都是 单色的, 每种颜色的地砖都足够多 ), 要求相邻的两块地砖颜色不同 , 那么所有的不同拼 色方法有 A. 30 个
8

B. 30 ? 25 个
7

C. 30 ? 20 个
7

D. 30 ? 21 个
7

答: [ D ] 解:铺第一列(两块地砖)有 30 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图), 那么, 第二列的上格不能铺 A 色 A B 若铺 色, 则有 6-1=5 种铺法; 若不铺 B B 色,则有 (6 ? 2)2 =16 种方法 于是第二列上
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共有 5+16=21 种铺法
7
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同理, 若前一列铺好,则其后一列都有 21 种铺法.因此,共
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有 30 ? 21 种铺法 故选 D

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 向量 OB ? ________

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2

??? ?

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解:设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以 2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9)

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

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? 2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .

23 ? m? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此 OB ? ( ?

??? ?

11 23 , ) 故填 5 5
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(?

11 23 , ) 5 5
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6

8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________
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解:由题意知 由 a1 ? S1 得 又由 ① 式得

an ? 2 (a ? 2) 2 ? 2Sn , 即 Sn ? n 2 8
a1 ? 2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 2
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……… ①

(an ?1 ? 2 2 ) , Sn ?1 ? (n ? 2 ) 8

……… ②

于是有

an ? Sn ? S? n 1 ?

(an ? 2)2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8

整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an?1 ? 0 , 故 an ? an?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2
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所以数列 {an } 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列,其通项公式为 an ? 2 ? 4(n ? 1) , 即 an ? 4n ? 2 . 故填 N*) an ? 4 n ? 2 (n ?
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9. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 _________ 解:令 t ?| cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2t 2 ?1|

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1 9 2 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 4 8 2

2 ? y ? 2; 2 2 9 ? y? . 2 8

当 0?t ?

1 2 9 2 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 4 8 2

又 y 可取到 10. 在 长

2 2


, 故填 体

2 2

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ABCD ? A1B1C1D1
7



,
A1 H E

D1

F B1

C1

D G A B

C

AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G 分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么
四面体 B1 ? EFG 的体积是 _____
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解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ? 易证, HE || B1G , HE || 平面 B1FG
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1 4

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故 VB1 ?EFG ? VE ?B1FG ? VH ?B1FG ? VG ?B1FH 而 S ?B1FH ?
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9 ,G 到平面 B1FH 的距离 8

3 8 11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5
为 1
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故填

VB1 ? E F G ?

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位数共有 _______

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1 1 2 3 解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个; 2 1 2 若 1 只出现 2 次,有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个;
3 1 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个.则这样的五位数共有 150 个.故填 150 个

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12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ?

2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ? R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的 取值范围 是
____
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解:由题意知

M

y

是以原点为焦点、直线

x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集,
N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其内部的点集(如图)
考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令
2
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N

N

1

M

N x

o

y ? 1 , 代 入 方 程 | x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得

x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 .
所以,当 a ? 2 ? 6 ?1 ? 1 ? 6 时, 令

M ? N ??.

………… ③

y ?2 ,代入方程

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得
8

x2 ? 6 x ?1 ? 0 . 解 出 得

x ? 3 ? 10 .
所以,当 a ? 3 ? 10 时, M ? N ? ? . ………… ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ?[1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M ? N ? ? .故填 [1 ? 6,3 ? 10]

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三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB

BC BM ? ? , 试求 (用 ? 表示) BN MN BM NA CD ? ? ?1 证明: 在 ?BCN 中, 由 Menelaus 定理得 MN AC DB BM AC ? 因为 BD ? DC ,所以 ……………… 6 分 MN AN ?ABN ? ?ACB , 知 ?ABN ∽ ?ACB , 则 由 A B A C C B ? ? A N A B B N
是 ?NBC 的外接圆的切线, 设
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A

M B D

N C

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AB AC ? CB ? 所以, ? ?? ? , 即 AN AB ? BN ?
2

2

AC ? BC ? ?? ? AN ? BN ?

2
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… 12 分

因此,

BC BM BM ? BC ? ??, 故 ? ?2 ?? ? . 又 BN MN MN ? BN ?

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………………… 15 分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn , 当

?x
i ?1

n

i

? 0 时, 总有

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 )

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2 解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1x2 ? x2 x1 ? ?2x1 ? 0

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所以 n ? 2 时命题成立

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…………………… 3 分

当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0. 2 2
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所以 n ? 3 时命题成立

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………………… 6 分
9

当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0
所以 n ? 4 时命题成立
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……………… 9 分

当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1, x4 ? ?2 , x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 , 则
n

?x
i ?1

n

i

? 0.

但是,

?x x
n ?1

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立

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综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4

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…………… 15 分

15. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心
率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M
R Q' M'
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y
Q M F P

P'

o

x

过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? …………… 6 分 2 2 e e 2e
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假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 2
…………………… 12 分

| PQ | 3 3 ? | PQ | ,所以, e ? 2e 2 3
于是,cos?RMM ' ?

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1 | MM ' | | PQ | 2 1 ? ? ? , 故 cot ?RMM ' ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e2 ? 1
10

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若 | PF | ? | QF | (如图),则 k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?

1
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3e 2 ? 1

18 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 kPQ ? ?

1
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3e ? 1
2

……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1

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16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的 最小值, 并说明理由; (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 值, 并说明理由
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2005

, 求 n 的最小

解: (1) 因为 103 ? 1000, 113 ? 1331, 123 ? 1728, 133 ? 2197 , 12 ? 2005 ? 13 ,
3 3

故 n ?1

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3 3 3 3 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 , 所以存在 n ? 4 ,

使 nmin ? 4

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……………… 6 分

3 3 若 n ? 2 ,因 10 ? 10 ? 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12 ,计算

2005 ?113 ? 674, 2005 ?123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以
n ? 2 不可能是 n 的最小值
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……………… 9 分

3 3 若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3x ? 2005? 3 ? 8 , 知

最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 11 或 12

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3 3 3 3 由于 2005? 3 ? 9 , 2005? 2 ? 9 ? 547, 2005? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9

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由于 2005? 2 ? 10 ? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3
3 3 3 3

2005? 103 ? 2 ? 7 3 ? 0 , 所以

x ? 10

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11

由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331 , 2005? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3 3 3

3

3

所以 x ? 11

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3 3 3 3 3 由于 2005 ? 12 ? 6 ? 61, 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 12

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因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值

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综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 ,?, xn , 则

……………… 12 分

3 3 3 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 20022005 …………… ⑤
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由 2002 ? 4(mod9) , 43 ? 1(mod9) ,得

20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod9) …… ⑥
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…… 15 分

又当 x ?N* 时, x3 ? 0, ?1 (mod9) ,所以
3 3 3 3 3 ∕ 4(mod 9) , x1 ≡ ∕ 4 (mod9) , x1 ≡ ∕ 4 (mod9) . … ⑦ 21 分 x13 ≡ ? x2 ? x2 ? x3

⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4
3 3 3 3

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而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ,则

20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 )3 …… 24 分
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因此 n ? 4 为所求的最小值

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4.依题设得 an ? a1 ? ? n ?1? d , a22 ? a1a4 ∴ ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ,整理得 d 2 ? a1d
2

∵d ? 0,

∴ d ? a1 ,得 an ? nd 所以,由已知得 d, 3d,k1d,k2d,...knd,...是等

比数列.由于 d ? 0 ,所以数列 1, 3,k1,k2,...kn,...也是等比数列,首项为 1,公 比为 q ?

3 ? 3 , 由 此 得 k1 ? 9 等 比 数 列 {kn} 的 首 项 k1 ? 9 , 公 比 q ? 3 , 所 以 1
12

kn ? 9 ? qn?1 ? 3n?1 ? n ? 1 , 2, 3, ....? 即得到数列{kn}的通项为 kn ? 3n?1
12. (1) a10 ? 10.

a20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 .

(2) a30 ? a 20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2

?

?

(d ? 0) ,

a 30

2 ?? 1? 3? ? 10? ? d ? ? ? ? ,当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? . 2? 4? ?? ? ?

(3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? ,其中 a1 , a2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等 差数列,当 n ? 1 时,数列 a10n , a10n?1 , ?, a10 ( n?1) 是公差为 d n 的等差数列. 题可以是:试写出 a10 ( n?1) 关于 d 的关系式,并求 a10 ( n?1) 的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40 ? a30 ? 10d 3 ? 10 1 ? d ? d 2 ? d 3 ,依次类推可得 研究的问

?

?

a10(n?1) ? 10 1 ? d ? ? ? d n
? 1 ? d n ?1 ?10 ? , ?? 1? d ? ?10(n ? 1),

?

?

d ? 1, 当 d ? 0 时, a 10 ( n ?1) 的取值范围为 ( 10, ? ? ) 等. d ? 1.

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