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1[1].3三角函数的诱导公式导学案第一课时(生)



1.3 三角函数的诱导公式<第一课时>
学习目标 1.知识目标:
(1)知道诱导公式的推导过程;能概括诱导公式的特点。 (2)能灵活运用诱导公式熟练正确地进行求值、化简及变形。

2.能力目标:
(1)提高对三角函数中单位圆思想的认识,培养借助图形直观进行观察、感知、探究、 发现及逻辑推理的能力,渗透掌握分类讨论及数形结合的思想方法。 (2)培养运算能力,渗透掌握未知到已知、复杂到简单的化归思想。

3.情感目标:体验数学探索的成功感,从而激发学生学习数学的兴趣和热情,培养学生科学
的探索精神。

教学设计:
一,问题的提出 求下列三角函数的值,公式一都能解决吗?是否有必要研究新的诱导公式?
第一组: sin 第二组: sin

?
3 8? 3

? ____, cos

7? 3

? _____ sin1110°= ? _____,t a n( 5? 3 ) ? _____ .

? _____, cos

10 ? 3

二,自主学习

(一)知识梳理:
1.回 顾 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 : ? 为 一 任 意 角 , 设 ? 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 P

? x, y ? ,

则 sin ? ? ____ , ? ? _____ , ? ? _____ . cos tan
2.回 顾 诱 导 公 式 一 : 终 边 相 同 的 角 的 同 名 三 角 函 数 的 值 相 等 .

sin(? ? 2 k ? ) ? _____, cos(? ? 2 k ? ) ? _____, tan(? ? 2 k ? ) ? _____( k ? z) .

诱导公式(一)的作用: 其方法是先在 0 ? 2? 即 0 ? ? 360 ? 内找出与角 ? 终边相同的角,再把它写成诱导公式(一) 的形式,然后得出结果。
3.设 点 P的 坐 标 为 (x,y),则 点 P 关 于 原 点 的 对 称 点 P1的 坐 标 为 ______ . 点 P 关 于 x 轴 的 对 称 点 P2的 坐 标 为 ______ . 点 P 关 于 y 轴 的 对 称 点 P3的 坐 标 为 ______ . 点 P 关 于 直 线 y ? x的 对 称 点 P4的 坐 标 为 ______ .

4.如图,设 α 为一任意角,α 的终边与单位圆的交点为 P (x,y), 角 ? ? ? 的终边与单位圆的交点

1

为 P0, 由于角 ? ? ? 的终边与角 α 的终边关于原点成中心对称,所以点 P0 与点 P 关于原点成中 心对称,因此点 P0 的坐标是(-x,-y),于是,我们有: y

诱导公式二:

用弧度制可表示如下: P(x,y) M
180 ? ? ?

?

M x P 0 (-x,-y)

O

类比公式二的得来,得:

y

探究:诱导公式三:

(4-5-1) 用弧度制可表示如下:
P(x,y)

?
M
O

??

x

P 0 (x,-y) (4-5-2)

类比公式二,三的得来,得:

y

探究:诱导公式四:

用弧度制可表示如下:

P(x,y) P 0 (-x,y)
180
0



?

?

M0

O

M

x

探究:对诱导公式一,二,三,四用语言可概括为:

(4-5-3)

探究:上述公式的作用:

探究:将 ? ? , ?

? ? 分别加上 2 k ? ( k ? Z ) ,三角函数值是否改变?

) 是否可以得出,形如 2 k ?? ? ? ( k ? Z )及 ( 2 k +1 ?? ? ? ( k ? Z )即 偶 数 ?? ? ? 及 奇 数 ?? ? ?

2

的角,求三角函数值的一般方法?

(二)基础训练:5 个来源于课本
1、将下列三角函数转化为锐角三角函数,并求值
(1)cos210?; (3) sin
11? 6

(2) cos( ? 1665 ? ) (4) sin( ?
3



17 ? 3

).

2、化简:

sin ( ? ? ) cos( 5? ? ? ) tan( 2 ? ? ? ) cos ( ? ? ? 2? ) sin( ? ? ? 3? ) tan (? ? 4 ? )
3 3

3、化简

s i n1 4 4 0 ? ? ) ? c o s? ? 1 0 8 0 ) ( ? ( ? c o s ? 1 8 0 ? ? ) ? s i n ?? ? 1 8 0 ) ( ? ( ?

(三)能力训练:3 个略高于课本 1、化简: (1)sin( ? +180?)cos(— ? )sin(— ? —180?)
(2)sin (— ? )cos(2π + ? )tan(— ? —π )
3

2、化简:

1 ? 2 sin 290 cos 430
?

?

sin 250

?

? cos 790

?

3

3、已知 cos(π + ? )=-
(A)
3 2

1 2



3? 2

< ? <2π ,则 sin(2π - ? )的值是(
1 2
3 2 3 2

) .

(B)

(C)-

(D)±

三,合作探究: (合作交流 方法探究 问题质疑)

四,展示归纳: (小组展示 问题归纳 方法归纳)

五,反思提升: 1、易错反思

2、方法反思

3、能力提升

4

一、选择题
1、 sin
4? 3
3 4

?cos

25? 6

?tan
3 4

5? 4

的值是 C.-
3 4

( D.
3 4



A.-

B.

2、若 A、B、C 为△ABC 的三个内角,则下列等式成立的是( A、 sin( B ? C ) ? sin A C、 tan( B ? C ) ? tan A B、 cos( B ? C ) ? cos A D、 cot( B ? C ) ? cot A
2 2



3、在△ABC 中,若最大角的正弦值是

,则△ABC 必是(

) D、锐角三角形 )

A、等边三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 4、下列不等式中,不成立的是 ( A、 sin 130 C、 tan 130
?

? sin 140 ? tan 140

?

B、 cos 130 D、 cot 130

?

? cos 140 ? cot 140

?

?

?

?

?

5、已知函数 f ( x ) ? cos

x 2

,则下列等式成立的是 B、 f ( 2? ? x ) ? f ( x ) D、 f ( ? x ) ? f ( x )





A、 f ( 2? ? x ) ? f ( x ) C、 f ( ? x ) ? ? f ( x )

6 、 已 知 a , b ,? ,? 均 为 非 零 常 数 , 函 数 f ( x ) ? a s i n ( x ? ? ) ? b c o s ? x ? ? ) ? 4 , 若 ? (
f ( 2 0 0 1 ? 5 ,则 f ( 2002 ) 的值是 )

( C、8

) D、不能确定

A、5

B、3
12 13

二、填空题
7、若 sin(125 ? ? ? ) ? 8、 cos ,则 sin(? ? 55 ? ) ?
3? 7 ? cos 4? 7 ? cos 5? 7


? cos 6? 7 ?

?
7

? cos

2? 7

? cos



9、已知 tan( ? ? ? ) ? 3 ,



2 cos( ? ? a ) ? 3 sin( ? ? a ) 4 cos( ? a ) ? sin( 2? ? a )

的值.

三、解答题 sin ? k ? 10、化简
解:

? ? ? ? cos[( k ? 1)? ? ? ]

sin[( k ? 1)? ? ? ] ? cos( k ? ? ? )

(k ? Z )

5

1 ? (x ? ) ? cos ? x , ( x ? 0) ? sin ? x , ? 2 11、设 f ( x ) ? ? 和 g ( x) ? ? 1 ( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1, ? g ( x ? 1) ? 1, (x ? ) ? ? 2

求 g ( ) ? f ( ) ? g ( ) ? f ( ) 的值.
4 3 6 4

1

1

5

3

解:

12、若关于 x 的方程 2 cos 2 (? ? x ) ? sin x ? a ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围。 解:

选作 1、已知 f ? n ? ?

cos

n? 5

( n ? N ) ,求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2004) 的值。

2、是否存在 α、β,α∈(-

π 2

π 2



π 2

) ,β∈(0,π)使等式 sin(3π-α)= 2 cos

-β) 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α、β 的值;若不存在, ,

请说明理由. 解:

6



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